第十章 定积分的应用 §1平面图形的面积 教学内容:平面图形面积的计算 教学目的:理解定积分的意义; 学会、掌握微元法处理问题的基本思想 熟记平面图形面积的计算公式 直角坐标系下平面图形的面积: 由定积分的几何意义,连续曲线y=f(x)(≥0与直 线x=a,x=b(b>a),x轴所围成 的曲边梯形的面积为 A= f(x)dx 若y=f(x)在[a,b上不都是非负的
第 十 章 定 积 分 的 应 用 §1 平 面 图 形 的 面 积 教学内容：平面图形面积的计算 教学目的： 理解定积分的意义； 学会、掌握微元法处理问题的基本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 直角坐标系下平面图形的面积 ： 由定积分的几何意义，连续曲线 y = f (x) ( 0) 与直 线 x = a , x = b (b a) , x 轴所围成 的曲边梯形的面积为 = b a A f (x)dx 若 y = f (x) 在 [a, b]上不都是非负的， b
A f(x)ldx 般的,有两条连续曲线y1=f1(x),y2=f2(x)及直线 x=a,x=b(b>a)所围成的平面图形的面积为 A=L2(x)-f,(x)]dx A=[g2()-g, ()]dy 简单图形:X-型和Y-型平面图形 简单图形的面积:给出X-型和Y-型平面图形的面积公式.对
= b a A | f (x) | dx 一般的，有两条连续曲线 ( ) , ( ) 1 1 2 2 y = f x y = f x 及直线 x = a , x = b (b a) 所围成的平面图形的面积为 = − b a A [ f (x) f (x)]dx 2 1 = − d c A [g (y) g (y)]dy 2 1 1． 简单图形： X − 型和Y −型平面图形 . 2 简单图形的面积 : 给出 X − 型和Y −型平面图形的面积公式. 对
由曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0围成的所谓“两线型”图形,介 绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.(参阅[4]P232—240E86-93) 例1求抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围的平面图形的 面积
1． 由曲线 F(x, y) = 0 和 G(x, y) = 0 围成的所谓“两线型”图形, 介 绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算. ( 参阅[4]P232—240 E86—93 ) 例 1 求抛物线 y = x 2 与直线 x − 2y − 3 = 0 所围的平面图形的 面积. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 3
所给的区域不是一个规范的x区域,如图需将其切成两块,即可化 成x-形区域的面积问题 第一块的面积等于 int(2*sqrt(x)’,’x,0,1) ans =4/3 A=[x-(-√x)x=2 第二块的面积等于 int(sqrt(x)-(x-3)/2,x,1,9) ans 28/3 28/3+4/3 ans 10.6667
所给的区域不是一个规范的 x-区域, 如图需将其切成两块, 即可化 成 x-形区域的面积问题 第一块的面积等于 int('2*sqrt(x)','x',0,1) ans = 4/3 3 4 [ ( )] 2 1 0 1 0 1 = − − = = A x x dx xdx 第二块的面积等于 int('sqrt(x)-(x-3)/2','x',1,9) ans = 28/3 28/3+4/3 ans = 10.6667
28 )dx 总面积 A=A1+A2=10 3 我们也可以把图形看成y-形区域计算其面积 int(’-y2+2*y+3’,y ans=32/3 例2求由曲线xy=1,x-y=0,x=2围成的平面图形的面积 例3求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积 参数方程下曲边梯形的面积公式:设区间[a,b上的曲边梯形的曲 边由方程.由参量方程表示x=x(),y=y(t)a≤t≤B
= − = − 9 1 2 3 28 ) 2 3 ( dx x A x 总面积 3 2 A = A1 + A2 = 10 我们也可以把图形看成 y-形区域计算其面积 int('-y^2+2*y+3','y',-1,3) ans = 32/3 例 2 求由曲线 x y = 1, x − y = 0, x = 2 围成的平面图形的面积. 例 3 求由抛物线 y = x 2 与直线 x − 2y − 3 = 0所围平面图形的面积. 1． 参数方程下曲边梯形的面积公式： 设区间[a,b]上的曲边梯形的曲 边由方程.由参量方程表示 x = x(t) , y = y(t) t
且x(1),y(t)在[a,β]上连续,a=x(a),b=x(B),x(t)>0(对于 x(t)0的一拱与x 轴所围的平面图形的面积 由图看出,t=0对应原点(0,0),t=2n对应一拱的终点 (2ax,0)所以其面积为 A=∫a1-coso)a(-smn)b=∫a(1-cos)2th
且 x(t) , y(t)在 [ , ]上连续，a = x() , b = x( ) ， x(t) 0 （对于 x(t) 0或 y(t) 0 的情况类似讨论）。 S y t dx y t x t dt = = | ( ) | | ( )| ( ) 计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法： 1）具体计算时常利用图形的几何特征 . 2）从 参数方程 x = x(t) , y = y(t) 定义域的分析确定 例 2 求摆线 x = a(t −sin t) , y = a(1− cost) , a 0 的一拱与 x 轴所围的平面图形的面积 由图看出, t = 0 对应原点 (0 , 0 ) , t = 2 对应一拱的终点 (2a , 0) 所以其面积为 = − − = − 2 0 2 2 2 0 A a(1 cost)[a(t sin t)] dt a (1 cost) dt
int('a2*(1-cos(t)2’,0,2*pi) ans=3米pi*a2 例2求由曲线x=t-t3,y=1-t+所围图形的面积.(cd3) 由图看出,积分的上下限应为t从-1到1,其面积为 A=[x()y()dt=「(1-t2)43)dr=r+A 极坐标下平面图形的面积: F三F 若曲线是极坐标方程 △ r=r(),≤b≤B ∑S≈∑ 2(0)A S=r(0)de
i r = r =i i i i r = r + r A o D int('a^2*(1-cos(t))^2',0,2*pi) ans = 3*pi*a^2 例2 求由曲线 3 4 x = t − t , y =1− t 所围图形的面积. (cd3) 由图看出, 积分的上下限应为 t 从 –1 到 1, 其面积为: − − = = − − 1 1 3 3 1 1 A x(t) y (t)dt t(1 t )( 4t )dt 极坐标下平面图形的面积 : 若曲线是极坐标方程 r = r( ) , = = = = S r d S S r n i n i i ( ) 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 1
和参数方程一样,极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确 定。确定上下限方法通常也是 02(6) 1)利用图象;2)分析r=r()定义域 r=01() r=06) 9-6
r =( ) o A D ( ) 2 r = ( ) 1 r = A o D D 和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确 定。确定上下限方法通常也是 1）利用图象；2）分析 r = r( ) 定义域 A D o ( ) 2 r = ( ) 1 r =
() 02(6) r=(6) [z2(6)-r2()d DJ (b)d0 例3求双扭线r2=a2cos2 围成的平面图形的面积 解先看一下双纽线的图象, t=0:pi/50:2*pi;
[r ( ) r ( )]d 2 1 2 1 2 1 2 2 − A D o ( ) 2 r = ( ) 1 r = 2 0 2 ( ) 2 1 r d D A r = ( ) o 0.2 0.4 0.6 0.8 1 30 210 60 240 90 270 120 300 150 330 180 0 例 3 求双扭线 cos 2 2 2 r = a 围成的平面图形的面积 解 先看一下双纽线的图象， t=0:pi/50:2*pi;
r-sart(cos(2*t)) r1=real (r) polar(t, r1, 'r') 它由两支,因r2≥0→c0s20≥0→b∈[-x/4,x/4],所以双扭线 2=a2cos20所围成的平面图形的面积为 r(0d0=|a cos 20 d0 /4 /4 int( a 2*cos(2*x)', -pi/4, pi/4) ans 例1求曲线(x2+y2)2=2a2(x2-y2)与x2+y2>a2所围部分的面 积 例2.三叶形曲线r=asn30(a>0)所围成的平面图形的面积
r=sqrt(cos(2*t)); r1=real(r); polar(t,r1,'r') 它由两支，因 0 cos2 0 [ / 4, / 4] 2 r − ，所以双扭线 cos 2 2 2 r = a 所围成的平面图形的面积为 S r ( )d a cos 2 d 2 1 2 / 4 / 4 2 / 4 / 4 2 − − = = int('a^2*cos(2*x)', -pi/4,pi/4) ans = a^2 例 1 求曲线( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 x + y = a x − y 与 2 2 2 x + y a 所围部分的面 积 例 2．三叶形曲线r = a sin 3 (a 0)所围成的平面图形的面积
