东南大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 集合论（函数）

集合论 第四章函数 §1函数的概念 §2逆函数和复合函数 §3基数的概念 §4*可数集与不可数集

集 合 论 第四章 函 数 §1 函数的概念 §2 逆函数和复合函数 §3 基数的概念 §4* 可数集与不可数集

第四章函数 函数是二元关系中特殊的一类,也就是说,函数是一种 特定类型的二元关系。本章讨论的是离散函数,它能 把一个有穷集合变换到另一个有穷集合 例:在计算机上执行程序可以看作是函数的变换: (自变量)输入--计算机--输出(函数值) 在这章我们主要讨论:函数定乂、特殊函数及其性质、 函数的运算。最后利用函数的概念,特别是双射函数, 介绍一下无限集合的基数问题

第四章 函数 函数是二元关系中特殊的一类，也就是说，函数是一种 特定类型的二元关系。本章讨论的是离散函数，它能 把一个有穷集合变换到另一个有穷集合。 例：在计算机上执行程序可以看作是函数的变换： （自变量）输入-----计算机-----输出（函数值） 在这章我们主要讨论：函数定义、特殊函数及其性质、 函数的运算。最后利用函数的概念，特别是双射函数， 介绍一下无限集合的基数问题

§1函数的概念 1.函数的定义: 《定义》设X和Y是任意两个集合,是从X→Y的一种关 系,若对于每一个ⅹ∈X,都存在一个唯一的y∈Y,能 使∈f,则称关系f为函数(映射),并记为: f:X→Y 讨论定义: (1)f:Ⅹ→Y中,若∈∫,则称x为自变量, 与X对应的y称作f作用下的象点(值); 也可用y=f(x表示∈J,y称作函数f在X点处的值

§1 函数的概念 １．函数的定义： 《定义》设X和Y是任意两个集合，f是从X→Y的一种关 系，若对于每一个x∈X，都存在一个唯一的 y∈Y，能 使 ∈f ，则称关系f为函数（映射）,并记为： f：X→Y。 讨论定义： （1）f：X→Y中，若  x, y  f ，则称x为自变量， 与x对应的y称作f作用下的象点（值）； 也可用y=f(x)表示  x, y  f ，y称作函数f在x点处的值

§1函数的概念 (2)X中每一个元素均有定义, 函数f的定义域dom/=X (3)对应于某一个x∈X,其值f(x)是唯一的,即 ∈f∧∈∫→(y=2) (4)f值域rmf∈Y有时也记为R Rr={y3x(x∈X)入(y=f(x 集合Y称为f的共域

§1 函数的概念 （2）X中每一个元素均有定义， ∴函数f的定义域 domf = X （3）对应于某一个 x X ，其值f(x)是唯一的，即  x, y  f   x,z  f  ( y = z) （4）f 值域 ranf  Y R {y | x(x X ) ( y f (x))} f =    = 有时也记为Rf 集合 Y称为f 的共域

§1函数的概念 例:判定下列关系是否为函数 34X abcdY 34X abcY 123 D=X D。≠X 值不是唯一的 不是函数 不是函数 是函数

§1 函数的概念 例：判定下列关系是否为函数 Df = X Rf  Y 是函数 Df  X 不是函数 值不是唯一的 不是函数

§1函数的概念 例:设X=Y=R(实数) (1)f={x,y∈R∧y=x2} D=Ry=x值是唯一的 (2)g={x,y>x,y∈R∧x=y2} x=y +1 X=R Y=R 这不是函数,不满足值唯一性

§1 函数的概念 例：设X=Y=R（实数） (1) { , | , } 2 f =  x y  x yR  y = x 值是唯一的 2 D R, y x f = = (2) { , | , } 2 g =  x y  x yR  x = y 2 x = y 这不是函数，不满足值唯一性

§1函数的概念 《定义》:给定函数fA→B和g:C→D,如果A=C,B=D, 并对所有的 x∈A或x∈C 都有fx)=9(×),则称函数f和g是相等的,即千=g。 2.函数的构成 例:设X={ab,c},Y={0,1},则 X×Y={a0× X×Y中,有26=64个子集

§1 函数的概念 《定义》：给定函数f:A→B和g:C→D，如果A=C，B=D， 并对所有的 x A 或 xC 都有f(x)=g(x)，则称函数f和g是相等的，即f=g。 ２．函数的构成 例：设X={a,b,c}，Y={0,1}，则 X Y = { a,0  a,1  b,0  b,1  c,0  c,1 } X Y 中，有 2 64 6 = 个子集

§1函数的概念 但在64个子集中只有8个(23) 符合函数的定义,这8个函数为: f6={a10><b0×<60×}=/qbc abc f1 000 001 labc Jf2 abc 010 f3 011 abc abc 100 101 abc abc 110

§1 函数的概念 但在64个子集中只有8个 (2 ) 3 符合函数的定义，这8个函数为：         =     = 000 { ,0 ,0 ,0 } 0 abc f a b c         = 001 1 abc f         = 010 2 abc f         = 011 3 abc f         = 100 4 abc f         = 110 6 abc f         = 101 5 abc f         = 111 7 abc f

§1函数的概念 讨论:从此例中可得到三点结论: (1)设×=m,Y|=n,则函数f:X→Y中均是m个序偶的集合; (即序偶个数=定义域的基数) (2)X中每一个元素所对应的象点f(×)可能是Y中n个, 从XY的所有函数个数 Y X n=Y m,/n个对应 Ⅹ f又→Y

§1 函数的概念 讨论：从此例中可得到三点结论： （1）设|X|=m，|Y|=n，则函数f: X→Y中均是m个序偶的集合； （即序偶个数=定义域的基数） （2）X中每一个元素所对应的象点f(x)可能是Y中n个， 从X-Y的所有函数个数 X m |Y |= n | | | | X = Y

§1函数的概念 (3)X→Y有别函数的个数和X×Y子集个数的关系为: YF=n”<<X×Y=2 即二个集合之间能构成的函数个数比能构成的二元关系数少得多 3几种特殊函数 《定义》:给定函数fⅩ→Y,如果值域R=Y 则称f为满射函数

§1 函数的概念 （3）X→Y有别函数的个数和 X Y 子集个数的关系为： X m m n Y n X Y  | |= |  |= 2 即二个集合之间能构成的函数个数比能构成的二元关系数少得多 3.几种特殊函数 《定义》：给定函数f: X→Y，如果值域 Rf = Y 则称f为满射函数