第九章定积分 教学目标 掌握定积分概念及基本性质; 理解可积的充要条件、充分条件、必要条件; 掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱 布尼兹公式; 掌握定积分的计算方法(换元法、分部积公法 等) 上一页 下一页
上一页 下一页 掌握定积分概念及基本性质； 理解可积的充要条件、充分条件、必要条件； 掌握积分中值定理、微积分基本定理、牛顿莱 布尼兹公式； 掌握定积分的计算方法（换元法、分部积公法 等）。 教学目标： 第九章 定积分
§1定积分的概念 定积分概念的引入 背景: 曲边梯形的面积 2.变力所作的功 函数的平均值: 4.原函数的构造型定义: 1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形,三角形,梯形等面积的计算, 这些图形有一个共同的特征:每条边都是直线段。但我们生活与工 程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢?我 们通常用一些小矩形面积的和来近似它
定积分概念的引入 一． 背景： 1. 曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功: 3. 函数的平均值: 4. 原函数的构造型定义: 1 曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算， 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工 程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我 们通常用一些小矩形面积的和来近似它。 §1 定积分的概念
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况 精度高,但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲 边图形的准确面积呢? 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体力学 原理设计的,如图1所示,上端一段是是抛物线,中间部分是直
a b x yo a b x yo 上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况 精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲 边图形的准确面积呢？ 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学 原理设计的，如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体力学 原理设计的,如图1所示,上端一段是是抛物线,中间部分是直线, 下面部分是圆弧。建造这样的大坝自 然要根据它的体积备料,计算它的体积就 需要尽可能准确的计算出它的断面面积。 该断面最上面抛物线所围的那一块面积该 怎样计算呢?在介绍微分定义 时我们已经知道,直与曲虽然是一对矛盾 ,但它们可以相互转化,早在三国时代, 我国古代代数学家刘徽就提出了“割圆术” 图1长江三峡溢流坝断面
B A C D 图1 长江三峡溢流坝断面 比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学 原理设计的，如图 1 所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线， 下面部分是圆弧。建造这样的大坝自 然要根据它的体积备料，计算它的体积就 需要尽可能准确的计算出它的断面面积。 该断面最上面抛物线所围的那一块面积该 怎样计算呢？在介绍微分定义 时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾 ，但它们可以相互转化，早在三国时代， 我国古代代数学家刘徽就提出了“割圆术
以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在 我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 假设抛物线方程为y=1-x2,x∈0,1l,将[O,1等分成n 等份,抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边梯形用 宽为,高为 的矩形代替
，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在 我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 假设抛物线方程为 y 1 x , x [0 , 1] 2 = − , 将[0,1] 等分成 n 等份，抛物线下面部分分割成 n 个小曲边梯形第 i 个小曲边梯形用 宽为 n 1 ，高为 2 n i 1 − 的矩形代替， 2 1 − n i n 1
2 它的面积AS:≈(1-2n 所求的总面积 2n2-3n+12 6n 2 我们分别取n=10,50,100用计算机把它的图象画出来,并计 算出面积的近似值: clf. n=10 x=0:1/n:1;
它的面积 n 1 ) 2 n 2 i ( 1 i Δ S − 所求的总面积 3 2 2 6 n 3 n 1 2 2 n 1 n i 1 2 i 3 n 1 1 n n 1 i 1 ) 2 n 2 i ( 1 n S → − + = − = = − = − 我们分别取 n=10, 50, 100 用计算机把它的图象画出来，并计 算出面积的近似值： clf, n=10; x=0:1/n:1; y=1-x.^2; y1='1-x.^2';
sn=sum((1/n)*(1-x.-2)),bar(x,y,’m') sn 0.7150 =10情况 0.9 0.6 0.5 0.2 0.10.20.30.40.50.60.70.80.9
sn=sum((1/n)*(1-x.^2)), bar(x,y,'m') sn = 0.7150 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n=10 情况
n=50情况,S(50)=0.6717 0.9 0.8 0.7 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.20.30.40.50 0.70.80.9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n=50 情况, S(50) = 0.6717
n=100情况S(100=0.6717 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 S(10)=0.7150;S(50)=0.6766;S(100)=0.6717 分割越细,越接近面积准确值0.6666
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 n=100 情况 S(100)=0.6717 。 S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717 0.6666 。 分割越细，越接近面积准确值 0.6666
再看一个变力做功的问题。 设质点m受力F(x)的作用,沿直线由A点运动到B点, 求变力F(x)作的功 F(x) F虽然是变力,但在很短一段间隔内Δx,F的变化不大,可近似看 作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想, 1)对[a,b作分割 a<x1<…<x1<x1<…<xn=b
F(x) A B 再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受力 F(x) 的作用，沿直线由 A 点运动到 B 点， 求变力 F(x)作的功 F 虽然是变力，但在很短一段间隔内 x ，F 的变化不大，可近似看 作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想， 1） 对[a, b]作分割 a x1 xi−1 xi x n = b
