东南大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 代数系统（代数结构）

代数系统 本篇用代数方法来研究数学结构,故又叫代数结构,它将 用抽象的方法来研究集合上的关系和运算 代数的概念和方法已经渗透到计算机科学的许多分支中, 它对程序理论,数据结构,编码理论的研究和逻辑电路 的设计已具有理论和实践的指导意义。 本篇讨论一些典型的代数系统及其性质(包括格)

代数系统 本篇用代数方法来研究数学结构,故又叫代数结构,它将 用抽象的方法来研究集合上的关系和运算。 代数的概念和方法已经渗透到计算机科学的许多分支中, 它对程序理论,数据结构,编码理论的研究和逻辑电路 的设计已具有理论和实践的指导意义。 本篇讨论一些典型的代数系统及其性质（包括格）

代数系统 第五章代数结构 s1代数系统的引入 §6*陪集与拉格朗日定理 §2运算及其性质 §7同态与同构 §3半群 §4群与子群 §5阿贝尔群和循环群

代数系统 第五章 代 数 结 构 §1 代数系统的引入 §2 运算及其性质 §3 半群 §4 群与子群 §5 阿贝尔群和循环群 §6* 陪集与拉格朗日定理 §7 同态与同构

§1代数系统的引入 《定义》:设Z是一个集合,是一个函数f;:Zn→z,则称f为 Z中的n元运算,整数n称为运算的阶(元次) 若n=1,则称f:Z-→Z为一元运算 若n=2,则f:z2→Z为二元运算。 本章主要讨论一元运算和二元运算。 例:(1)在整数l和实数R中,+,-,×均为二元运算,而对 ÷而言就不是二元运算 (2)在集合Z的幂集p(z)中,∩,均为二元运算而 ”是一元运算;

§1代数系统的引入 《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：Z n→Z,则称f为 Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： Z→Z为一元运算； 若n=2,则f： Z 2→Z为二元运算。 本章主要讨论一元运算和二元运算。 例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而对 ÷而言就不是二元运算 （2）在集合Z的幂集(z)中,,均为二元运算,而 “~”是一元运算；

§1代数系统的引入 (3){命题公式}中,,∧均为二元运算,而“”为一元 运算 (4){双射函数}中,函数的合成运算是二元运算; 二元运算常用符号: *,⑧,⊕,∩,∪等等 《定义》:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运 算f1,f2,……,f所组成的系统就称为一个代数系统, 记作

§1代数系统的引入 （3）{命题公式}中,∨,∧均为二元运算,而“”为一元 运算 （4）{双射函数}中,函数的合成运算是二元运算； 二元运算常用符号：+,−,,,,,,等等。 《定义》:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运 算f1,f2,….,fk所组成的系统就称为一个代数系统， 记作

§1代数系统的引入 《定义》:若对给定集合中的元素进行运算,而产生的象 点仍在该集合中,则称此集合在该运算的作用下是封闭 的 在f:Z2→Z二元运算的定义中,本身要求满足运算是封 闭的。 例:(1)在正整偶数的集合E中,对×,运算是封闭的; 在正整奇数的集合中,对×运算是封闭的, 而对+运算不是封闭的。 (2)在前例中,R,I集合中+,,×运算;p(z)的元 素中⌒,∪,,运算等均为封闭的

§1代数系统的引入 《定义》:若对给定集合中的元素进行运算,而产生的象 点仍在该集合中,则称此集合在该运算的作用下是封闭 的。 在f：Z 2→Z二元运算的定义中,本身要求满足运算是封 闭的。 例：（1）在正整偶数的集合E中,对×,+运算是封闭的； 在正整奇数的集合中,对×运算是封闭的, 而对+运算不是封闭的。 （2）在前例中,R,I集合中+,-,×运算； (z)的元 素中, ,~,运算等均为封闭的

§2运算及其性质 《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一Xy∈S有 Xy∈S则称*运算在S上是封闭的 《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y∈S有 x*y=y*x,则称*运算在S上是可交换的(或者说*在S 上满足交换律)

§2运算及其性质 《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy∈S则称运算在S上是封闭的。 《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy=y  x,则称运算在S上是可交换的（或者说在S 上满足交换律）

§2运算及其性质 《定义》:设*是集合S上的二元运算对任xyz∈S 都有 (x*y)*z=X*(y*z),则称*运算在S上是可结 合的(或者说*在S上满足结合律) 《定义》:设*和°是集合S上的二个二元运算 对任一xyz∈S有 X*(y°z) (X y )°(X*Z); (y°z)*X=(y*X)°(z*X),则称运算*对是 可分配的(或称*对°满足分配律)

§2运算及其性质 《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y,z S 都有 （x  y）  z=x  （y  z）,则称运算在S上是可结 合的（或者说*在S上满足结合律）。 《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x  （y  z）=（x  y）  （x  z）； （y  z）  x=（y  x）  （z  x）,则称运算对是 可分配的（或称对满足分配律）

§2运算及其性质 《定义》:设*,△是定义在集合S上的两个可交换二元运 算,如果对于任意的xy∈S,都有: X*(XAy)=X;X△(X*y)= 则称运算*和运算△满足吸收律 《定义》:设*是S上的二元运算若对任 ⅹ∈S有X*￥=x,则称*满足等幂律 讨论定义: 1)S上每一个元素均满足X*X=X,才称*在S上满足幂等律; 2)若在S上存在元素X∈S有X*X=x则称x为S上的幂等元 素 3)由此定义,若X是幂等元素,则有X*X=x和=x成立

§2运算及其性质 《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二元运 算，如果对于任意的x,yS，都有： x (x y)=x；x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。 《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一 x S有x  x=x,则称满足等幂律。 讨论定义： 1)S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2)若在S上存在元素xS有x  x=x,则称x为S上的幂等元 素； 3)由此定义,若x是幂等元素,则有x  x=x和x n=x成立

§2运算及其性质 例:(1)在实数集合R中+,是可交换,可结合的,X对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的; (2)在p(z)中,∩,均是可交换可结合的,∩对∪,∪对 ∩均是可分配的; p(az)中任一元素,对⌒,均是等幂元素。∴满足等幂律; 而p(2)中,对称差分⊕是可交换,可结合的 除p(s)={}以外不满足等幂律。∵Φ⊕Φ=Φ而除Φ 以外的A∈p(2)有AeAA

§2运算及其性质 例：（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(z)中, ,均是可交换,可结合的, 对, 对 均是可分配的； (z)中任一元素,对,均是等幂元素。∴满足等幂律； 而(z)中,对称差分是可交换,可结合的。 除(s) ={}以外不满足等幂律。∵    = ,而除 以外的A (z)有A  A≠A

§2运算及其性质 《定义》:设*是S上的二元运算,对任一X∈S,则 x=x. x=x*x.x=xn-1*x 《定理》:设*是S上的二元运算,且X∈S,对任一m,n∈ 有 (1)xm*x=xm+n (2)(x)=xmn 证明: (1)xx=(X0*x)*X*,*X=(x叶1*x)*X*…*X n-1 Xu (2)(x)=Ⅻ*.*mⅫ*,,=…=xmn n-1

§2运算及其性质 《定义》：设*是S上的二元运算,对任一xS,则： x 1=x, x2=x*x,…xn=xn-1 *x 《定理》：设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n I+ 有 （1）x mx n=xm+n （2）(xm) n =xmn 证明： （1） x mx n= (xm x)  x… x = (xm+1 x)  x… x n n-1 =….= xm+n （2）(xm) n = xm …  x m= xm+m x m … x m=…=xmn n n-1