第六章微分中值定理及其应用 ☆教学目标: 1°使学生深刻理解微分中值定理及其分析意 义与几何意义。掌握它的证明方法,了解 它在微分中值定理中的地位。 2°通过知识学习,使学生初步具有应用中值 定理进行分析论证的能力,能用以证明某 些有关的命题,特别是掌握通过构造辅助 函数解决问题的办法。 3°使学生学会应用值定理研究函数在某区间 上的某些整体性质,如单调性,有界性等 4°使学生掌握中值定理,领会其实质,为微 分学的应用打好坚实的理论基础
数 学 分 析 1°使学生深刻理解微分中值定理及其分析意 义与几何意义。掌握它的证明方法，了解 它在微分中值定理中的地位。 2°通过知识学习，使学生初步具有应用中值 定理进行分析论证的能力，能用以证明某 些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助 函数解决问题的办法。 3°使学生学会应用值定理研究函 数在某区间 上的某些整体性质，如单调性，有界性等 4°使学生掌握中值定理，领会其实质，为微 分学的应用打好坚实的理论基础。 第六章 微分中值定理及其应用 教学目标：
§1拉格朗日中值定理 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质,而研究函数性质的最重要工具 之一就是微分中值定理,微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 极值概念: 1.回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:ν 定理( Fermat)设函数∫在点x的某 f(r) 邻域内有定义,且在点x0可导,若点x0为f 的极值点,则必有f(x0)=0 、罗尔中值定理:若函数∫满足如下 条件 (i)在闭区间[a,b]上连续 (ⅱ)在开区间(a,b)内可导;
1 2 x y o y = f (x) C 一 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具 之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 一． 极值概念： 1． 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数 f 在点 0 x 的某 邻域内有定义，且在点 0 x 可导，若点 0 x 为 f 的极值点，则必有 f (x0 ) = 0 1、罗尔中值定理：若函数 f 满足如下 条件： （i）在闭区间 [a，b] 上连续； （ii）在开区间（a，b）内可导； §1 拉格朗日中值定理
(i)f(a)=f(b), 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 f(5)=0 (分析)由条件(i)知f在a,b]上 有最大值和最小值,再由条件(ii)及(ii),应用费马定理便可得到结论。 证明:因为∫在[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用M与m表示,现分两 种情况讨论 (i)若M=m,则f在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立。 (i)若m<M,则因f(a)=f(b),使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某 点ξ处取得,从而ξ是∫的极值点,由条件(ⅱi)∫在点ξ处可导,故由费马定理推知
（iii） f (a) = f (b) ， 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f （ξ）= 0 （分析）由条件（i）知 f 在[a，b ]上 有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可得到结论。 证明：因为 f 在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M 与 m 表示，现分两 种情况讨论： (i)若 M = m , 则 f 在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。 (ii)若 m ＜ M，则因 f (a)= f (b)，使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在(a,b)内某 点ξ处取得，从而ξ是 f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知
度相等,则至少存在一条水平切线。 注2:习惯上把结论中的ξ称为中值,罗尔定理的三个条件是充分而非必要的。 x|<1 例如:F(x)=10 1<x<2 易见,F在x=-1不连续,在x=±1不可导,F(-2)≠F(2),即罗尔定理的三个条件均不成 立,但是在(-2,2)内存在点ξ,满足F()=0
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 度相等，则至少存在一条水平切线。 注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的。 例如： − − = 1 , 1 x 2 0 , 2 x 1 x , | x | 1 F(x) x 易见，F 在 x=-1 不连续，在 x=±1 不可导，F (-2 )≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成 立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 F( ) = 0
但缺少其中在何一个条件,定理的结论将不一定成立,见下图: b 缺条件1 缺条件2 缺条件3
但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图： 缺条件1 a b a b a b 缺条件2 缺条件3
注3:罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多个,例如: x‘sin21,x≠0 f(x) 0,x=0 x=0.2:0.005:0.2;y=(x.4).*(sin(1./x)).2) plot(x,y,’r3) axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002]) 在[-1,1]上满足罗尔定理的条件, xsin2￥-2x2sin￥cos 显然f(x)= 0.5 0. 在(-1,1)内存在无限多个Cn=(n∈z) -0.20.15-0.1-0.05 0.050.10.150.2 2n丌 -0.5 使得∫(cn)=0
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10 注 3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如： = = 0 ,x 0 x sin , x 0 f(x) x 4 2 1 x =-0.2:0.005:0.2; y=(x.^4).*((sin(1./x)).^2); plot(x,y,'r') axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002]) 在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件， 显然 = − = 0, x 0 4x sin 2x sin cos f (x) x 1 x 1 x 3 2 1 2 在（-1，1）内存在无限多个 n c = ( ) 2 1 n z n 使得 ( ) n f c =0
2、拉格朗日( Lagrange)中值定理:若函数f满足如下条件: (i)f在闭区间[a,b]上连续; (ii)f在开区间(a,b)内可导; y y=f(x) 在(a,b)内至少存在一点ξ, B 使得 r)=(b)-/a (分析)罗尔定理是拉格朗日 中值定理:f(a)=f(b)时的特殊情况,应用 罗尔定理证明此定理要构造辅助函数F(x),使得F(x)满足罗尔定理的条件 (i)-(iii)H.(x)=f(r)-/(b)-f(a
1 x 2 b o x y y = f (x) A B 2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 ƒ满足如下条件： （i）ƒ在闭区间[a,b ]上连续； （ii）ƒ在开区间(a,b )内可导； 则在（a，b）内至少存在一点ξ， 使得 b a f b f a f − − = ( ) ( ) ( ) （分析）罗尔定理是拉格朗日 中值定理：ƒ（a）=ƒ(b)时的特殊情况，应用 罗尔定理证明此定理要构造辅助函数 F(x) ，使得F(x) 满足罗尔定理的条件 （i）-(iii) 且 b a f b f a F x f x − − = − ( ) ( ) ( ) ( )
F(x)=f(x)-f(a) -f(a) (x-a,X∈|a,b a 证明:作辅助函数 F(x)=f(x)-fa) f(b)f( b-a 显然,F(a)=F(b)(=0),且F在[a,b上满足罗尔定理的另两个条件,故存在点 ∈(a,b),使得 F()=f() f(b)-f(a) b-a 即 f'(=f(b)-f(a) b-a 注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理∫(a)=∫(b)时的特例 注2°几何意义:在满足拉格朗日中值定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点 P(5,∫(2),该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,我们在证明中引入的辅
(x a), x [a,b] b a f(b) f(a) F(x) f(x) f(a) − − − = − − 证明：作辅助函数 (x a) b a f(b) f(a) F(x) f(x) f(a) − − − = − − 显然，F（a）=F(b)（=0），且 F 在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点 ξ(a，b)，使得 0 ( ) ( ) ( ) ( ) = − − = − b a f b f a F f 即 b a f b f a f − − = ( ) ( ) ( ) 注 1°罗尔定理是拉格朗日中值定理 f (a) = f (b) 时的特例 注 2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线 y = f (x)上至少存在一点 P( , f ( )) ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线 AB，我们在证明中引入的辅
助函数F(x),正是曲线y=f(x)与直线AB y=/(a)+(6 X-d b-a 之差,事实上,这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转,使在新坐标系下, 线段AB平行于新x轴(F(a)=F(b)) 注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范;同时通过巧妙 地数学变换,将一般化为特殊,将复杂问题化为简单问题的论证思想,也是数学分析的重要 而常用的数学思维的体现。 注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式,它有几种常用的等价形式,可根 据不同问题的特点,在不同场合灵活采用 f(b)-f(a)=f'((b-a),∈(a,b) f(b)-f(a)=fa+6(b-a)(b-a),6∈(0,1)
助函数F(x) ，正是曲线 y = f (x) 与直线 AB ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a y f a − − − = + 之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下， 线段 AB 平行于新х轴（F（a）=F（b））。 注 3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙 地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要 而常用的数学思维的体现。 注 4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根 据不同问题的特点，在不同场合灵活采用： f (b) − f (a) = f ( )(b − a), (a,b) f (b) − f (a) = f [a + (b − a)](b − a), (0,1)
f(a+h)-f(a)=f(a+0h)h, E(O, 1) 注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关,并不彼此独立,因为:f在(a,b) 可导可以推出∫在(a,b)连续,但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉, 改成“函数f(x)在(a,b)可导且f(x)在a右连续在b左连续”这样,两个条件互相 独立,但文字累赘且不便记忆,因此一般不这样叙述 中值定理的简单应用:(讲1时) 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论 推论1函数f(x)在区间I上可导且f(x)≡0,→f(x)为I上的常值函数 证明:任取两点x1,x2∈I(设x1<x2),在区间[x1,x2]上应用拉格朗日 中值定理,存在ξ∈(x12x2)∈I,使得 f(x2)-f(x1)=f'()(x2-x1)=0
f (a + h) − f (a) = f (a +h)h, (0,1) 注 5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为： f 在（a,b） 可导可以推出 f 在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉， 改成“函数 f (x) 在（a，b）可导且 f (x) 在 a 右连续在 b 左连续”这样，两个条件互相 独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。 中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 ) 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论 推论 1 函数 f (x) 在区间 I 上可导且 f (x) 0, f (x) 为 I 上的常值函数. 证明： 任取两点 x x I 1 2 , （设 1 2 x x ），在区间 [ 1 2 x , x ] 上应用拉格朗日 中值定理，存在 ξ（ 1 2 x , x ） I，使得 f (x2 ) − f (x1 ) = f ( )(x2 − x1 ) = 0
