(二十九)一年级《数学分析》期末考试题 (满分20分,每小题2分)判断题: 1.设ξ是数集E的聚点.则存在d>0,使在(5-δ,5+d)外仅有数集E的 有限个点 2.单调有界数列必为基本列 3.闭区间[a,b]上仅有一个间断点的函数必(R)可积 4当无穷积分∫/(x)和8(x)d都收敛时,积分∫/(x)g(x必收敛 5.若级数 ∑ 收敛,则必有a>0 6.设un>0且n→0,(n→∞).则级数∑(-1)y“un必收敛 7设在区间上对Vn有u1(x)|≤v,(x),若级数∑v(x)在区间上一致收 敛,则级数∑u,(x)也在区间上一致收敛 8设在区间I上函数列{fn(x)}收敛于函数∫(x).若存在数列{xn}∈,使 lfn(xn)-f(xn)A0,则函数列{n(x)}在区间I上非一致收敛 9设函数f(x)在区间(-R,R)(R>0)内有任意阶导数,且其 Maclaurin 级数 x”在(-R,R)内收敛.则在(-R,R)内有 n 10.设函数(x)在区间[-x,x1上按段光滑,“+∑ a cos nx+bmx为其 Fourier级数.则对Vx。∈(-丌,丌),当∫(x)在点x0连续时,有 f(xo)=t+2a,cos nxo +b, sin nxo (满分10分,每小题2分)填空题 1∫(x1x
1 （二十九）一年级《数学分析》期末考试题 一 （ 满分 2 0 分，每小题 2 分）判断题： 1． 设 是数集 E 的聚点 . 则存在 0,使在 ( − , + ) 外仅有数集 E 的 有限个点. ( ) 2. 单调有界数列必为基本列 . ( ) 3. 闭区间 [ a , b ] 上仅有一个间断点的函数必( R )可积 . ( ) 4 当无穷积分 + a f (x)dx 和 + a g(x)dx 都收敛时 , 积分 + a f (x)g(x)dx 必收敛 . ( ) 5. 若级数 1+ 1 n 收敛 , 则必有 0 . ( ) 6. 设 un 0 且 u → 0 , ( n → ) n . 则级数 + − n n u 1 ( 1) 必收敛 . ( ) 7 设在区间 I 上对 n 有 | u (x) | v (x) n n . 若级数 v (x) n 在区间 I 上 一致收 敛 , 则级数 u (x) n 也在区间 I 上 一致收敛 . ( ) 8 设在区间 I 上函数列 { f (x)} n 收敛于函数 f (x) .若存在数列 { xn } I, 使 | f n (xn ) − f (xn ) |→ 0 ,则函数列 { f (x)} n 在区间 I 上非一致收敛 . ( ) 9 设函数 f (x) 在区间 (−R , R ) ( R 0) 内有任意阶导数 , 且其 Maclaurin 级数 =0 ( ) ! (0) n n n x n f 在 (−R , R ) 内收敛 . 则在 (−R , R ) 内有 f (x) = =0 ( ) ! (0) n n n x n f . ( ) 10. 设函数 f (x) 在区间 [ − , ] 上按段光滑 , = + + 1 0 cos sin 2 n an nx bn nx a 为其 Fourier 级数 . 则对 ( , ) x0 − ,当 f (x) 在点 0 x 连续时 , 有 f (x0 ) = = + + 1 0 0 0 cos sin 2 n an nx bn nx a . ( ) 二 ( 满分 1 0 分，每小题 2 分）填空题: 1 ( ) − − + − + = 1 1 2 2 5 x | x | x sin 2x x x 1 dx
In(1+r ) dt 2. lim n(n+1) 4.f,(x) 1+n2|x x∈(-∞,+∞).limf(x) 5.幂级数 nl2n-的收敛区间为 二(满分24分,每小题6分)计算题 1 lim nn(13+23+…+n3) 2把函数f(x)=sin2x展开成x的幂级数 3在区间[-x,x]上把函数f(x)=x展开成 Fourier级数 n+3 4求幂级数∑ 的和函数 n(n+2) 三(满分10分,每小题5分)判敛题: 1判断级数∑ n+2 的敛散性 f√n(n2+2n-1) 2fn(x)=x",x∈[0,1].讨论函数列{fn(x)}在区间[0,1]上的一致收敛性 四(满分36分,每小题9分)证明题 1叙述并证明微积分学基本定理 2证明函数项级数∑在(0,x)内条件收敛 3设函数项级数∑un(x)和∑v(x)在区间上一致收敛,试证明级数 ∑(un(x)+n(x)也在区间上一致收敛 4f(x)= 试证明函数f(x)在区间(1,+∞)内连续 (三十)一年级《数学分析》期末考试题 (满分20分,每小题4分)单项选择题: 如果数列{xn}发散但有界,则
2 2. = + → 3 0 2 0 ln(1 ) lim x t dt x x . 3. = + =1 ( 1) 2 n n n . 4. 1 | | ( ) 2 2 2 n x n x f x n + = , x ( − , + ) . = → lim f (x) n n . 5. 幂级数 = − 1 2 1 ! n n n x n n 的收敛区间为 . 二 (满分 2 4 分，每小题 6 分）计算题: 1 (1 2 ) 1 2 lim 3 3 3 4 4 4 n n n n + + + + + + → . 2 把函数 f (x) = x 2 sin 展开成 x 的幂级数 . 3 在区间 [ − , ] 上把函数 f (x) = x 展开成 Fourier 级数 . 4 求幂级数 = + 0 + 3 !( 2) n n n n x 的和函数 . 三 (满分 1 0 分，每小题 5 分）判敛题: 1 判断级数 = + − + 1 2 ( 2 1) 2 n n n n n 的敛散性 . 2 f (x) = x , x [ 0 ,1] n n . 讨论函数列 { f (x)} n 在区间 [ 0 ,1] 上的一致收敛性. 四 (满分 3 6 分，每小题 9 分）证明题: 1 叙述并证明微积分学基本定理 . 2 证明函数项级数 =1 cos n n nx 在 ( 0 , ) 内条件收敛 . 3 设函数项级数 u (x) n 和 v (x) n 在区间 I 上一致收敛 . 试证明级数 (u (x) + v (x)) n n 也在区间 I 上一致收敛 . 4 = = 1 1 ( ) n x n f x . 试证明函数 f (x) 在区间 (1, + ) 内连续 . （三十）一年级《数学分析》期末考试题 一（ 满分 2 0 分，每小题 4 分）单项选择题： 1. 如果数列 { }n x 发散但有界， 则 ( )
A。{xn}的每个子列都发散;B.子列{x2x=1}和{x2x}中至少有一个发散 C.数列{xn}必不单调 D.{xn}有且仅有一个聚点 2.如果函数f(x)在区间[a,b]上不是(R)可积,则 Af(x)在区间[a,b]上有无穷多个间断点; B彐E0>0,使对区间[a,b的任何分法T,有∑o,Ax1≥E0,其中 @,=sup f(x)-inf f(x) x[x-1,x1 C.f(x)在区间[a,b]上无界;D.f(x)在区间[a,b]上有界 设u>0且对Vn,有 A. u,+0,( n→ B.级数∑Un=+0 C.级数∑unf(x),(n→>∞),则 当函数f(x)在[a,b]上间断时,{fn(x)}在[a,b]上非一致收敛; B当函数∫(x)在[a,b]上连续时,{fn(x)}在[a,b]上一致收敛 C当函数列{fn(x)}在[a,b]上非一致收敛时,函数f(x)在[a,b]上间断 D函数f(x)在[a,b]上有界 5.设幂级数∑anx”在点x=-3收敛,则在点 A.x=-3绝对收敛; B.X=2绝对收敛 C.X=3收敛 D.x=4发散 二.(满分10分,每小题2分)填空题 6.由曲线y=e2,y=e和直线x=h3所围平面图形的面积为
3 A。 { }n x 的每个子列都发散; B. 子列 { } 2k−1 x 和 { } 2k x 中至少有一个发散; C. 数列 { }n x 必不单调; D. { }n x 有且仅有一个聚点 . 2. 如果函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上不是( R )可积 , 则 ( ) A f (x) 在区间 [ a , b ] 上有无穷多个间断点; B 0 0 , 使对区间 [ a , b ] 的任何分法 T , 有 0 1 = n i i i x , 其中 sup ( ) inf ( ) [ , ] [ , ] 1 1 f x f x i i i i x x x x x x i − − = − . C. f (x) 在区间 [ a , b ] 上无界; D. f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界 . 3. 设 un 0 且对 n,有 1 1 + n n u u , 则 ( ) A. u → 0 , ( n → ) n ; B. 级数 un = + ; C. 级数 un + ; D. 级数 un 可能收敛 , 也可能发散 . 4 如果函数列 { f (x)} n 的每个函数都在区间 [ a , b ] 上连续 , 且在 [ a , b ] 上 f (x) → f (x), ( n → ) n , 则 ( ) A 当函数 f (x) 在 [ a , b ] 上间断时,{ f (x)} n 在 [ a , b ] 上非一致收敛; B 当函数 f (x) 在 [ a , b ] 上连续时,{ f (x)} n 在 [ a , b ] 上一致收敛; C 当函数列 { f (x)} n 在 [ a , b ] 上非一致收敛时, 函数 f (x) 在 [ a , b ] 上间断; D 函数 f (x) 在 [ a , b ] 上有界 . 5. 设幂级数 n n a x 在点 x = −3 收敛 , 则在点 ( ) A. x = −3 绝对收敛; B. x = 2 绝对收敛; C. x = 3 收敛; D. x = 4 发散. 二. （ 满分 1 0 分，每小题 2 分）填空题: 6. 由曲线 x x y e y e − = , = 和直线 x = ln 3 所围平面图形的面积为
dt 1)"3 9. f,(x) 1+n|x x∈(-∞,+∞). lim f,(x) 10.幂级数S(5x-1)2 的收敛域为 (满分24分,每小题6分)计算题 2.把双曲正弦函数shx=2-e展开成x的幂级数 3.在区间[-x,丌]上把函数f(x)=x|展开成 Fourier级数 4求幂级数下n+1 x”的和函数 四.(满分24分,每小题6分)判敛题: 1判断级数只(-1)-的敛散性·若收敛,判断是绝对收敛还是条件收敛 2 f,(x)= 判断函数列{fn(x)}在(-∞,+∞)内是否一致收敛 1+n2x 五.(满分36分,每小题9分)证明题 1叙述并证明计算定积分的 Newton- Leibniz公式 2f(x)=∑ 证明函数f(x)在(-∞,+∞)内连续 3设∑u和∑,为正项级数,且对n有“≤"址,试证明 ∑ lL<+∞ 4设函数列{fn(x)}在区间I上一致收敛于函数∫(x).试证明:若f(x)在 I上有界,则至多除有限项外,函数列{f(x)}在区间I上一致有界
4 7. = →+ x t x t x e dt e dt 0 2 2 0 2 2 lim . 8. = + − = − − 0 1 1 5 4 ( 1) 3 n n n n n . 9. + = x n x nx f x n , 1 | | ( ) ( − , + ) . = → lim f (x) n n . 10. 幂级数 = − 1 2 5 (5 1) n n n x 的收敛域为 . 三. （ 满分 2 4 分，每小题 6 分）计算题: 1. = → + n i n n i i 1 2 2 lim . 2. 把双曲正弦函数 2 x x e e shx − − = 展开成 x 的幂级数 . 3. 在区间 [− , ] 上把函数 f (x) =| x | 展开成 Fourier 级数 . 4 求幂级数 = + 0 ! 1 n n x n n 的和函数 . 四.（ 满分 2 4 分，每小题 6 分）判敛题： 1 判断级数 = + − 1 1 ( 1) n n n 的敛散性 . 若收敛 , 判断是绝对收敛还是条件收敛 . 2 2 2 1 ( ) n x x f x n + = . 判断函数列 { f (x)} n 在 ( − , + ) 内是否一致收敛 . 五.（ 满分 3 6 分，每小题 9 分）证明题: 1 叙述并证明计算定积分的 Newton - Leibniz 公式 . 2 = = 1 2 sin ( ) n n nx f x . 证明函数 f (x) 在 ( − , + ) 内连续 . 3 设 un 和 n v 为正项级数 , 且对 n 有 n n n n v v u u 1 1 + + . 试证明 : n v + un + . 4 设函数列 { f (x)} n 在区间 I 上一致收敛于函数 f (x) . 试证明: 若 f (x) 在 I 上有界 , 则至多除有限项外 , 函数列 { f (x)} n 在区间 I 上一致有界
(三十一)一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 填空(共15分,每题5分): H 1设xn=n+1+sm 则 lin H→C 2极限Iim 的值为 已知f(x)=」Je-,则(x) - COs sin a 二计算下列积分:(共15分,每题5分) x In xdx In xxx d In dx 2 sin(In x)dx 解:由于,sin(nx)dx xsm(In x o米- J,xdsin(h:)=esm1-∫ cos(In xxx e sin 1-xcos(In x)If +f xd cos(h x) =esin 1-ecos 1+1-. sin(In x)dx 所以 sIn(In x)dx=e snl-cosl)+。 dx +x+1
5 （三十一） 一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一 填空（共 15 分，每题 5 分）： 1 设 , 1,2, 3 = +1 + sin n = n x n n n , 则 ; ； 2 极限 − − → 1 1 1 lim 0 x x x e 的值为 ； 已知 ( ) , cos 1 2 f x e dt x t − = 则f (x) = 。 二 计算下列积分：（共 15 分，每题 5 分） 1 xln xdx ; 解： xln xdx = 2 ln 2 1 xdx = x x − x d x = x x − xdx 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 2 2 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1 2 e x dx 1 sin(ln ) 解：由于 e x dx 1 sin(ln ) x x x d x e x dx e e e = − = − 1 1 1 sin(ln ) sin(ln ) sin 1 cos(ln ) = − + e e e x x xd x 1 1 sin 1 cos(ln ) cos(ln ) = − + − e e e x dx 1 sin 1 cos1 1 sin(ln ) ， 所以 e x dx 1 sin(ln ) = 2 1 (sin 1 cos1) 2 − + e 。 3 + − + +1 2 x x dx 。 解： = + + + − 1 2 x x dx + − + + 4 2 3 ) 2 1 ( x dx = → n n lim x = → n n lim x 2 3 1+ 2 3 1− 2 1 e x x sin 2 − cos −
3 2 32 (t-sin t) 二(10分)求旋轮线 y=a(1-cost) 的一拱(O≤t≤2丌)的弧长 解:由曲线弧长计算公式 (dt (a(1-cost)2+(asin (dt=a v2(1-cost)dt dt=2a sin -dt 4a cosco (10分)设 当x是有理数时 f(x) 1,当x是无理数时, 讨论∫(x)在[0,1的可积性 解:任意划分[0,1]:0 用表示f(x)在x1,x]上的振幅(=1,2,…,n), 则a=2(i=1,2,…,n)又令λ=max△x, 则 OA △x=2lim>△x,=2≠0 故由函数可积的充要条件知,f(x)在[0,1上不可积 四判断下列级数的敛散性(15分): 们(n+1)++/列3 解:由于Im (n+1)!3
6 + − = + ) 2 1 ( 3 2 arctan 3 2 x ) 2 ( 3 2 3 2 2 = − − = = 3 2 3 . 3 2 二 （10 分）求旋轮线 = − = − (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t 的一拱 (0 t 2 ) 的弧长。 解：由曲线弧长计算公式 l x t y t dt = + 2 0 2 2 ( ) ( ) a t a t dt = − + 2 0 2 2 ( (1 cos )) ( sin ) a t dt = − 2 0 2(1 cos ) dt t a = 2 0 2 2 2 2sin dt t a = 2 0 2 2 sin 2 0 2 4 cos t = − a = 8a 。 三 （10 分）设 讨论 f (x) 在[0，1]的可积性。 解： 任意划分[0，1]： 0 = x0 x1 xn =1， 用 ( ) [ , ] 1,2, , ), i表示f x 在 xi−1 xi 上的振幅（i = n 2 1,2, , ). max , 1 i i n i = i = n = x 则 （ 又令 lim lim 2 2lim 2 0 1 0 1 0 1 0 = = = = → = → = → n i i n i i n i i xi x x 则 ， 故由函数可积的充要条件知， f (x) 在[0，1]上不可积。 四 判断下列级数的敛散性（15 分）： 1． =1 !3 n n n n n ； 解：由于 n n n n n n n n n !3 / ( 1) ( 1)!3 lim 1 1 + + → + + − = 1, , 1, , ( ) 当 是无理数时 当 是有理数时 x x f x
lim 故∑m3”发散 h=1F2 Vn.n 解:因为limn lim =01上单减, 故数列{}单调减少。又lmm=0 故∑(-1)m为 Leibniz级数,所以它收敛 五(10分)设Sn(x) 1+x 证明函数列{Sn(x)}在(1+∞)上不一致收敛 证明:由于x∈(1+∞),imSn(x)=lmn,x 1→1+x 故{Sn(x)}在(1,+∞)上的极限函数为Sn(x)=1 Xd,=sup s, (x)-s(x)I= sup 1+x=2(=12…)
7 n n n ) 1 (1 3 lim + = → 1, 3 = e 故 =1 !3 n n n n n 发散。 2. = + 1 2 2 n 1 n n n n ; 解： 因为 ( ) n n n n n 2 1 2 lim → + lim 0 1 2 1 = + = → n n n n n n n 所以 ( ) =1 + 2 1 2 n n n n n 收敛。 3. = + − 1 1 ( 1) n n n n 。 解： 令f (x) = x+ x 1 ,则当x 1时， ( ) 0, 2 ( 1) = 1 + − x x x f x 从而f (x)在x 1上单减， 故数列{n+ n 1 }单调减少。又lim +1 = 0， → n n n 故 （ ） n n 为Leibniz级数， n n 1 1 1 + = − 所以它收敛。 五 （10 分）设 ( 1,2, ) 1 ( ) = + = n x x S x n n n 证明函数列 Sn (x) 在 (1,+) 上不一致收敛。 证明： 由于 1, 1 (1, ),lim ( ) lim = + + = → → n n n n n x x x S x 故 {Sn (x)}在(1,+)上的极限函数为Sn (x) 1。 又 ( 1,2, ), 2 1 1 1 sup | ( ) ( ) | sup 1 1 = = + = − = n x d s x s x n x n x n
则lmd=≠0,故函数列{sn(x)}在(1,+∞)上不一致收敛 六(15分)求幂级数∑(n+1)x”的收敛半径,收敛域与和函数。 解:(1)由于 lim/n(n+1)= lim nlim n+1=1, 故∑n(n+1)x的收敛半径为R==1 又当x=±时,之m(m+1)x”发散, 所以∑mn+1x的收敛域×(1 (2)因为 故 (xk1) 即有∑( (xk<1) 于是有C∑(n+1)x")= (1-x)(1-x) 即知 7+1)nxn-1 2 所以 (n+ Onx (xk<1) 八(10分)设∑an收敛,且 lim na=0,证明:∑n(an-an)收敛 证明:因为∑k )=∑[ka4-(k+1)ak+1+ak+1
8 0, { ( )} (1, ) . 2 1 则lim = 故函数列 在 + 上不一致收敛 → d s x n n n 六（15 分）求幂级数 = + 1 ( 1) n n n n x 的收敛半径，收敛域与和函数。 解：（1） 由于 lim ( +1) = lim lim +1 =1, → → → n n n n n n n n n n 故 1. 1 1 ( 1) 1 + = = = n n x R n n的收敛半径为 又当 时 发散， = = + + 1 1 , ( 1) n n x n n x = + − 1 ( 1) ( 11 n n 所以 n n x 的收敛域为 ，）。 （2） 因为 (| | 1), 1 2 1 2 1 1 1 − = = = − = + x x x x x x n n n n 故 (| | 1), (1 ) 2 ) 1 ( ) ( 2 2 2 1 1 − − = − = = + x x x x x x x n n 即有 + = =1 ( 1) n n n x (| | 1), (1 ) 2 2 2 − − x x x x 于是有 + = = ( ( 1) ) n 1 n n x , (1 ) 2 ) (1 ) 2 ( 2 3 2 x x x x − = − − 即知 + = = − 1 1 ( 1) n n n nx , (1 ) 2 3 − x 所以 + = =1 ( 1) n n n nx (| x | 1) . (1 ) 2 3 − x x 八 （10 分）设 n=1 an 收敛，且 lim = 0 → n n na ，证明： = − + 1 1 ( ) n n an an 收敛， 且 = = − + = 1 1 1 ( ) n n n n an an a 。 证明： 因为 ( ) [ ( 1) ] 1 1 1 1 1 + + = = − + = − + k + k n k k n k k ak ak k a k a a
∑kak-(k+1)ak+]+ (n+1)an++∑ (n+1)a k=1 又>a,收敛,lin m na (an-an败敛,且∑n(a n=1
9 = + + = = − + + n k k k n k k ak k a a 1 1 1 1 [ ( 1) ] = = − + + + + n k a n an ak 1 1 1 1 ( 1) ( 1) , 1 1 1 + + = = − + n n k ak n a 又 lim 0, 1 = → = n n n an收敛， na 故 收敛，且 = − + 1 1 ( ) n n an an ( ) . 1 1 1 = = − + = n n n n an an a