(六)一年级《数学分析》考试题 判断题:(满分10分,每小题2分) 1、设数列{an}递增且an=a(有限,则有a=sp{an ) 2、设数列f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义,若对vxn∈U°(x0),当xn→>x0时, 数列{(xn)都收敛于同一极限,则函数f(x)在带点x连续:() 3、设数列y=f(x)在点x0的某领域内有定义,若存在实数A,使△x→>0时 f(x+△x)-f(x0)-AAx=o(Ax),则f(x0)存在且f(x0)=A;() 4、若∫(x1)=f∫(x2)=0,f(x1)f(x2);() 5、设∫f(x)=F(x)+c,∫g(x)=G(x)+c,则当F(x)≠G(x)时,有 f(x)≠g(x) 填空题:(满分15分,每小题3分) n2+k 2、函数/如/全部问断点是 3、f(x)=h(1+x2),已知m2(x)-f(x0-2h)_6 h 4、函数f(x)=x3-3x2-9x+1的既递减又下凸的区间是 5,f(x)dx=sin x+c,xf(x)dr 三计算题:(满分36分,每小题6分) l、lm 2、求函数f(x)=4x-(5x+1)5的极值 3、 xyx+ 4、h(x+y1+x)dhx
（六）一年级《数学分析》考试题 一 判断题：（满分 10 分，每小题 2 分） 1、设数列 an 递增且 an a n = → lim （有限），则有 a = supan ； （ ） 2、设数列 f (x) 在点 0 x 的某领域 ( ) 0 U x 内有定义，若对 ( ) 0 0 x U x n ，当 0 x x n → 时， 数列 f (xn ) 都收敛于同一极限，则函数 f (x) 在带点 0 x 连续；（ ） 3、设数列 y = f (x) 在点 0 x 的某领域内有定义，若存在实数 A ，使 x →0 时， ( ) ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x − Ax = o x ，则 ( ) 0 ' f x 存在且 f (x0 ) = A ' ；（ ） 4、若 ( ) ( 2 ) 0 ' 1 ' f x = f x = ， ( ) 0 ( ) 2 '' 1 '' f x f x ，则有 ( ) ( ) 1 2 f x f x ；（ ） 5 、 设 f (x)dx = F(x) + c ， g(x)dx = G(x) + c , 则 当 F(x) G(x) 时，有 f (x) g(x) ； （ ） 二 填空题：（满分 15 分，每小题 3 分） 1、 + = + = 6 1 1 2 9 1 n k n n k a ， = → n n lim a ； 2、函数 ln 3 3 ( ) − − = x x f x 全部间断点是 ； 3、 ( ) ln(1 ) 2 f x = + x ，已知 5 ( ) ( 2 ) 6 lim 0 0 0 = − − → h f x f x h h ， x0 = ； 4、函数 ( ) 3 9 1 3 2 f x = x − x − x + 的既递减又下凸的区间是 ； 5、 f x dx = x + c 2 ( ) sin ， xf (x)dx = ' ； 三 计算题：（满分 36 分，每小题 6 分） 1、 1 1 1 1 lim 3 0 + − + − → x x x ； 2、求函数 5 4 f (x) = 4x − (5x +1) 的极值； 3、 +1 2 x x dx ； 4、 ln( x + 1+ x )dx 2 ；
6、在边长为a的正三角形的三个角上剪去长为x的四边形(如右上图),然后折起来做 成底为正三角形的盒子,求最大体积 四验证题:(满分7分) x2+4 1、用“E-o”定义验证函数f(x) 在点x0=2连续 五证明题:(满分32分,每小题8分) 1、设函数∫在区间02a]上连续,且f0)=f(2a),试证明:彐c∈0,d],使 f(c=f(c+a): 2、设函数f(x)在区间I可导,且导函数∫(x)在该区间上有界,试证明函数在f(x)在 区间I上一致连续; 3、设函数∫(x)在区间[0d]上二级可导,且f(a)=0,F(x)=x2f(x),试证明: 35∈(0,a),使F()=0; 4、试证明:对Vx1,x2…,xn∈R,有不等式 (七)《数学分析》I考试试题 叙述题 1叙述数列{xn}的 Cauchy准则 写出函数f(x)在点x0带 Lagrange型余项的 Maglor公式; 3叙述函数y=f(x)的一阶微分形式的不变性 计算题 1求函数∫(x)=x"(n=1、2…)x∈[.]的上确界supf(x) 2求极限lm cosx-e 3求不定积分∫(1+x
5、 − + + dx x x x 2 5 3 2 ； 6、在边长为 a 的正三角形的三个角上剪去长为 x 的四边形（如右上图），然后折起来做 成底为正三角形的盒子，求最大体积； 四 验证题：（满分 7 分） 1、用“ − ”定义验证函数 5 2 4 ( ) 2 − + x x f x 在点 x0 = 2 连续； 五 证明题：（满分 32 分，每小题 8 分） 1、设函数 f 在区间 0,2a 上连续，且 f (0) = f (2a) ，试证明： c0,a ，使 f (c) = f (c + a) ； 2、设函数 f (x) 在区间Ⅰ可导，且导函数 ( ) ' f x 在该区间上有界，试证明函数在 f (x) 在 区间Ⅰ上一致连续； 3、设函数 f (x) 在区间 0,a 上二级可导，且 f (a) = 0 ， ( ) ( ) 2 F x = x f x ，试证明： (0,a) ，使 ( ) 0 '' F = ; 4、试证明：对 x1 , x2 , xn R ,有不等式 n x x x n x x xn n 2 2 2 2 1 2 1 + + + + ++ . （七）《数学分析》Ⅰ考试试题 一、叙述题 1 叙述数列 xn 的 Cauchy 准则； 2 写出函数 f (x) 在点 0 x 带 Lagrange 型余项的 Taglor 公式； 3 叙述函数 y = f (x) 的一阶微分形式的不变性； 二、计算题 1 求函数 f (x) = x n =1 2 x0.1 n （ 、、） 的上确界 sup ( ) 0.1 f x x ； 2 求极限 4 2 0 2 cos lim x x e x x − → − ； 3 求不定积分 ln(1+ x )dx 2 ；
4设f(x)= 2xsin 00,∫(x0)<0,证明x0是f(x)的极小值点; 3证明∫(x)=x2在D,+∞)上内闭一致连续(即在[o,+∞)中的任何闭子区间上 致连续)。 (八)《数学分析》I考试试题 叙述题 1述函数关系与数列极限关系的 Heine定理 2叙述 Lagrange微分中值定理; 3用肯定的语言叙述f(x)在数列集D上不一致连续 二、计算题 1求数集D={1+(+)y|m=1、2、}的上确界 2求极限m(1+…x小 3求不定积分 arctan√x 4求不定积分 dx x(1+x)
4 设 f (x) = = 0 , 0 , 0 1 x 1 cos x 2 - 1 2 sin 2 2 x x x x 求 f (x) 在 0,1 上的一个原函数； 三、讨论举例题 1 举出最大、最小值均不存在，但上、下确界均存在的数集的例子； 2 指出函数 x f x x 1 ( ) = sin 的不连续点，并确定其不连续点的类型； 四、证明题 1 用“ − N ”定义验证 3 2 3 2 2 1 lim 2 2 = + − → n n n ； 2 设 ( 0 ) 0 ' f + x ， ( 0 ) 0 ' f − x ，证明 0 x 是 f (x) 的极小值点； 3 证明 2 f (x) = x 在 0 , + ) 上内闭一致连续（即在 0 , + ) 中的任何闭子区间上一 致连续）。 （八）《数学分析》Ⅰ考试试题 一 叙述题 1 述函数关系与数列极限关系的 Heine 定理； 2 叙述 Lagrange 微分中值定理； 3 用肯定的语言叙述 f (x) 在数列集 D 上不一致连续； 二、计算题 1 求数集 = + + ) =1、2、 1 1 (1 n n D n 的上确界； 2 求极限 n n n 1 ) 1 3 1 2 1 lim (1+ + + + → ； 3 求不定积分 + 2 2 x 1 x dx ； 4 求不定积分 dx x x x (1+ ) arctan ； 三、讨论题
1指出函数f(x)=-x的不连续点,并确定其不连续点的类型 SIn x x2 2讨论函数f(x)=-e的单调性、极值点、凸性、拐点 四、证明题 1用定义证明im 2不等式x<sinx<x,x∈(0,) 3在有限开区间(a,b)内连续,且f(a+),∫(b-)存在,则f(x)在(a,b)上一致连续 (九)《数学分析》I考试试题 叙述题 1叙述lmf(x)=-∞的定义 叙述函数f(x)在数集D上一致连续的定义 3写出 Taylor公式中,f(x)在x0点处的 Taylor多项式T(x), Lagrange型余项和 Peano 型余项 二、计算题 1求极限m(,) 2任意次可导,求f(): 3积分 COS x 1+sin x 4定积分t 、讨论题 2x 1讨论函数f(x)= 在x=0点的左、右极限 2讨论f(x) 2的单调性、极值点、凸性和拐点 四、证明题
1 指出函数 x x f x sin ( ) = 的不连续点，并确定其不连续点的类型； 2 讨论函数 2 2 2 1 ( ) x f x e − = 的单调性、极值点、凸性、拐点； 四、证明题 1 用定义证明 2 1 2 7 1 lim 2 2 = − + n n n ； 2 不等式 ) 2 sin , (0, 2 x x x x ； 3 在有限开区间 (a,b) 内连续，且 f (a+) ， f (b−) 存在，则 f (x) 在 (a,b) 上一致连续。 （九）《数学分析》Ⅰ考试试题 一、叙述题 1 叙述 = − →+ lim f (x) x 的定义； 2 叙述函数 f (x) 在数集 D 上一致连续的定义； 3 写出 Taylor 公式中， f (x) 在 0 x 点处的 Taylor 多项式 T (x) n ，Lagranre 型余项和 Peano 型余项； 二、计算题 1 求极限 n x n n x ) 1 lim ( − + → ； 2 任意次可导，求 ' ' ' ) 1 ( x f ； 3 积分 + dx x x 1 sin cos ； 4 定积分 x dx ； 三、讨论题 1 讨论函数 2 1 2 1 ( ) 1 1 − + = x x f x 在 x = 0 点的左、右极限； 2 讨论 2 ( ) x x e e f x − + = 的单调性、极值点、凸性和拐点； 四、证明题
1用定义证明mx(x=)=1 设f(x)、g(x)在[ab]上连续,在(ab)内可导,其g(x)≠0,则35∈(a,b)使得 h(5)=0 其中 h(x)=f(x)、(b)-f(a) g(x) g(b)-g(a 3设数列{xn}满足条件n-x<(n=1、2、…),证明{xn}是基本数列
1 用定义证明 2 1 1 ( 1) lim 2 1 = − − → x x x x ； 2 设 f (x) 、 g(x) 在 a,b 上连续，在 (a,b) 内可导，其 ( ) 0 ' g x ，则 (a,b) 使得 ( ) 0 ' h = 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g b g a f b f a h x f x − − = − ； 3 设数列 xn 满足条件 n n n x x 2 1 +1 − （n =1、2、） ，证明 xn 是基本数列