(十大)数学分析2考试题 、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 1、函数f(x)在[a,b上可积的必要条件是() A连续B有界C无间断点D有原函数 2、函数f(x)是奇函数,且在[-a,a]上可积,则() ALf(x)dx=2 f(x)dx Bf(x)dx=0 Cf(x)dx=-2 f(xidu f(xdx= 2f(a) 3、下列广义积分中,收敛的积分是() A dx B dx C sin xdx dx 4、级数∑an收敛是∑an部分和有界且nan=0的 A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件 5、下列说法正确的是( A∑an和∑b收敛,∑ab也收敛B∑an和∑b发散,∑(an+b)发散 C∑an收敛和∑b发散∑(an+b)发散D∑an收敛和∑b发散,∑ab 发散 6、∑an(x)在a,b]收敛于a(x),且a(x)可导,则( A∑an(x)=a(x) Ba(x)可导 an(x)x=a(x)D∑ax)-致收敛,则a(x)必连续 7、下列命题正确的是() A∑an(x)在[a,b绝对收敛必一致收敛
（十六）数学分析 2 考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分， 共 20 分） 1、 函数 f (x) 在[a,b]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数 f (x) 是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（ ） A = − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) B ( ) = 0 − a a f x dx C = − − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) D f (x)dx 2 f (a) a a = − 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A 1 0 1 dx x B + 1 1 dx x C + 0 sin xdx D − 1 1 3 1 dx x 4、级数 n=1 n a 收敛是 n=1 n a 部分和有界且 lim = 0 → n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A n=1 n a 和 n=1 n b 收敛， n=1 anbn 也收敛 B n=1 n a 和 n=1 n b 发散， = + 1 ( ) n an bn 发散 C n=1 n a 收敛和 n=1 n b 发散， = + 1 ( ) n an bn 发散 D n=1 n a 收敛和 n=1 n b 发散， n=1 anbn 发散 6、 ( ) 1 a x n n = 在[a，b]收敛于 a（x），且 an（x）可导，则（ ） A ( ) ( ) ' 1 ' a x a x n n = = B a（x）可导 C = = b a n b a an (x)dx a(x)dx 1 D =1 ( ) n n a x 一致收敛，则 a（x）必连续 7、下列命题正确的是（ ） A ( ) 1 a x n n = 在[a，b]绝对收敛必一致收敛
B∑an(x)在【a,b]一致收敛必绝对收敛 C若lmn|an(x)=0,则∑an(x)在[a,b必绝对收敛 W0.y>0} B(x,y)ly>-x) cx, y)Ilx+y>o, D{(x,y)x+y≠0} 10、函数f(x,y)在(xo,y)偏可导与可微的关系() A可导必可微 可导必不可微 C可微必可导 D可微不一定可导 、计算题:(每小题6分,共30分) 1、f(x)d=4 求 xf(2x+l)dx 2、计算 3、计算兄1x”的和函数并求∑( 4、设x3-2xx+y=0,求 5、求lm 讨论与验证题:(每小题10分,共20分) 1、讨论∫(x,y)= (x,y)≠(0,0) 在(0,0)点的二阶混合偏导数 (x,y)=(0,0)
B ( ) 1 a x n n = 在[a，b] 一致收敛必绝对收敛 C 若 lim | ( ) |= 0 → a x n n ，则 ( ) 1 a x n n = 在[a，b]必绝对收敛 D ( ) 1 a x n n = 在[a，b] 条件收敛必收敛 8、 = + + − 0 2 1 2 1 1 ( 1) n n n x n 的和函数为 A x e B sin x C ln(1+ x) D cos x 9、函数 z = ln( x + y) 的定义域是（ ） A (x, y)| x 0, y 0 B (x, y) | y −x C (x, y) | x + y 0 D (x, y)| x + y 0 10、函数 f(x,y)在（x0,,y0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题 6 分，共 30 分） 1、 = 9 1 f (x)dx 4 ，求 + 2 0 2 xf(2x 1)dx 2、计算 0 + + 2 2 2 1 dx x x 3、计算 =1 1 n n x n 的和函数并求 = − 1 ( 1) n n n 4、设 2 0 3 z − xz + y = ，求 (1,1,1) x z 5、求 2 2 2 0 0 lim x y x y y x + → → 三、讨论与验证题：（每小题 10 分，共 20 分） 1、 讨论 = + − = 0 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 2 2 x y x y x y x y x y f x y 在（0，0）点的二阶混合偏导数
2、讨论∑(-)y 的敛散性 四、证明题:(每小题10分,共30分) 1、设∫(x)在[a,b上 Riemann可积 fn(x)=f(x)t(n=1.2…),证明函数列{f(x)在[a,b上一致收敛于0 x 2、设z=e”,证明它满足方程x+y=0 3、设/()在[,b连续,证明「x(mx)=2「/(mxk,并求 xsin x dx 1+cos-x 参考答案 、1、B2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 1、(2x+=2/(2x+1(2+D(3分)令n=2x2+1, x(2x2+1)x=f(u)dh=2(3分) 2+2x+x 女回1+0+010+)=厘m如m(1+x=465分) 3、解:令∫(x)=1 x”,由于级数的收敛域[-1)(2分),f(x)=∑ (x)-C,1=m1-x)(2分),令x=-1,得∑=D=h2 I-t 4、解:两边对x求导3z2-2z-2xx.=0(3分)z (2分) 2 (1分) x y 5、解:0≤ Kx(5分)lim xy=0(1分) 由于-2,x2时,级数均不收敛,所以收敛域为(-2,2)(3分) x*+4x2) 、1、解、f2(x,y)= (2分) y2=0
2、 讨论 = + − 2 2 1 2 sin ( 1) n n n n n x 的敛散性 四、证明题：（每小题 10 分，共 30 分） 1、设 ( ) 1 f x 在[a，b]上 Riemann 可积， ( ) ( ) ( 1,2, ) f +1 x = f x dx n = b a n n ，证明函数列 { f (x)} n 在[a，b]上一致收敛于 0 2、设 y x z = e ，证明它满足方程 = 0 + y z y x z x 3、 设 f (x) 在 [a ， b] 连 续 ， 证 明 = 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx ，并求 + 0 2 1 cos sin dx x x x 参考答案 一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二 、 1 、 + = + + 2 0 2 2 2 0 2 (2 1) (2 1) 2 1 x f (2x 1)dx f x d x （ 3 分）令 2 1 2 u = x + ， + = = 9 1 2 0 2 ( ) 2 2 1 xf (2x 1)dx f u du （3 分） 2、 0 + + 2 2 2 1 dx x x = 4 (1 ) lim arctan(1 ) 1 (1 ) 1 lim 0 0 2 + = + = → + + → A A A A d x x x （6 分） 3、解：令 f (x) = =1 1 n n x n ，由于级数的收敛域 [−1,1) （2 分）， ( ) ' f x = x x n n − = = − 1 1 1 1 ， f (x) = ln(1 ) 1 1 0 dt x t x = − − （2 分），令 x = −1 ，得 ln 2 ( 1) 1 = − n= n n 4、解：两边对 x 求导 3 2 2 0 2 z z x − z − xzx = （3 分） z x z z x 3 2 2 2 − = （2 分） 2 (1,1,1) = x z （1 分） 5、解： x x y x y + 0 | | 2 2 2 （5 分） lim 0 2 2 2 0 0 = + → → x y x y y x （1 分） 由于 x=-2，x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3 分） 三、1、解、 + = + + + − = 0 0 0 ( ) 4 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 x y x y x y x x y y y f x y x （2 分）
x2+y2≠0 f(x,y)={(x2+y2) 9分(0,0)=hmnf0.4y)-(09=-1 ao2(00)=lm f(Ax,0)-f,(00) =1(6分) △x 2 2sn2x(3分),即2sn2x1级数发散(7分) 所以原级数发散(2分) 四、证明题(每小题10分,共20分) 1、证明:因为f(x)在[a,b上可积,故在[a,b]上有界,即彐M>0,使得 f(x)≤Mx∈),(3分)从而2(x)≤(o)d≤M(x-a)-般来说, 若对n有f(x)≤ (n-1)0分)则几(x)≤Mb-a)-(m→∞),所以 M(x-a) {fn(x)}在[a,b上一致收敛于0(2分) 厂"f(xx=7+/(+m)1(+n=C/(0t(2)(4分) 将式(2)代入(1)得证(2分) =),(7分),,2=-, 3、证明:令x=x-t xf(sin x)dx=-(T-o)f(sin(I-o)dt=[f(sn t)dt-t(sin t)dt fE( xsin x 女sx sin x 分) - dx +cos2x 2 Jo 1+cos2x (十七)数学分析2考试题 、单项选择题(从给出的四个答案中,选出一个最恰当的答案填入括号内,每小题2分, 共20分) 1、函数f(x)在[a,b]上可积的充要条件是
+ = + + − − = 0 0 0 ( ) 4 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 x y x y x y x x y y x f x y y (4 分） 1 (0, ) (0,0) (0,0) lim 0 2 = − − = → y f y f y x z x x y 1 ( ,0) (0,0) (0,0) lim 0 2 = − = → x f x f x y z y y x （6 分） 2、解：由于 x n x n n n n n 2 2 1 | 2sin 2 sin lim | (−1) = + → （3 分），即 2sin 1 2 x 级数绝对收敛 2sin 1 2 x = 条件收敛， 2sin 1 2 x 级数发散（7 分） 所以原级数发散（2 分） 四、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1、证明：因为 ( ) 1 f x 在[a，b]上可积，故在[a，b]上有界，即 M 0 ，使得 ( ) ( [ , ]) f 1 x M x a b ，（3 分）从而 ( ) | ( ) | ( ) f 2 x f 1 t dt M x a x a − 一般来说， 若对 n 有 ( 1)! ( ) ( ) 1 − − − n M x a f x n n （5 分）则 ( ) ( 1)! ( ) ( ) 1 → − − − n n M b a f x n n ，所以 { f (x)} n 在[a，b]上一致收敛于 0（2 分） = + + + = a+T a a T f x dxx T t f t T d t T f t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) （2）（4 分） 将式（2）代入（1）得证（2 分） 2、 y e x z y x 1 = ， 2 y x e y z y x = − ，（7 分）则 0 1 2 = − = + y x ye y xe y z y x z x y x y x （3 分） 3、 证明：令 x = − t = − − − = − 0 0 0 0 x f(sin x)dx ( t) f (sin( t))dt f (sin t)dt tf (sin t)dt 得证（7 分） 1 cos 8 sin 1 cos 2 sin 2 0 2 0 2 = + = + dx x x dx x x x （3 分） （十七）数学分析 2 考试题 二、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分， 共 20 分） 1、 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积的充要条件是（ ）
AVe>0,彐o>0和δ》0使得对任一分法Δ,当λ(△)0,o>0,8>0使得对某一分法Δ,当λ(Δ)0,38>0使得对任一分法A,当λ(△)0,σ>0,彐δ》0使得对任一分法Δ,当λ(Δ)an( A必收敛B必发散C必条件收敛D敛散性不定 5、若级数∑b是∑an更序级数,则( A∑an和∑b同敛散 B∑b可以发散到+∞ C若∑an绝对收敛,∑b也收敛D若∑an条件收敛,∑b也条件收敛 6、∑an(x)在[a,b]一致收敛,且a(x可导(r=1,2…),那么( Af(x)在[a,b可导,且f(x)=∑an(x) Bf(x)在[a,b]可导,但f(x)不一定等于∑aa(x) an(x)点点收敛,但不一定一致收敛 D∑an(x)不一定点点收敛
A >0, >0 和>0 使得对任一分法，当（）0,>0, >0 使得对某一分法，当（）0,>0 使得对任一分法，当（）0, >0， >0 使得对任一分法，当（）<时，对应于i的那些区间xi 长度之和∑xi< 2、函数 f (x) 连续，则在[a,b]上 x f t dt dx d 2 1 ( ) =（ ） A f (2x) B 2 f (2x) C 2 f (x) D 2 f (2x) − f (x) 4、 = − 1 1 2 1 dx x （ ） A -2 B 2 C 0 D 发散 4、 lim 0 → n n a ，则 n=1 n a ( ) A 必收敛 B 必发散 C 必条件收敛 D 敛散性不定 5、若级数 n=1 n b 是 n=1 n a 更序级数，则（ ） A n=1 n a 和 n=1 n b 同敛散 B n=1 n b 可以发散到+∞ C 若 n=1 n a 绝对收敛， n=1 n b 也收敛 D 若 n=1 n a 条件收敛， n=1 n b 也条件收敛 6、 ( ) 1 a x n n = 在[a，b]一致收敛，且 an(x)可导（n=1,2…），那么( ) A f（x）在[a，b]可导，且 = = 1 ' ' ( ) ( ) n f x a n x B f（x）在[a，b]可导，但 ( ) ' f x 不一定等于 =1 ' ( ) n a n x C =1 ' ( ) n a n x 点点收敛，但不一定一致收敛 D =1 ' ( ) n a n x 不一定点点收敛
7、函数项级数∑an(x)在D上一致收敛的充要条件是() Ave>O,3N(E)>0,使vmnN有an1(x)+…an(x)0,NO0,使mn>N有an(x)+…an(x)0,N()>0,使mnN有an(x)+…an1(x)O,3N(E)>0,使mn>N有an(x)+…an(x)<E 8、∑-(x-1)”的收敛域为 0,2]C[0,2)D[-1,1) 9、重极限存在是累次极限存在的( A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件 af(x,y) A lim y(o+ Ar,yo + Ay)-f(xo, yo) B lin f(xo + Ax, yo)-f(o, yo) △x C lim f(xo +Ax, yo+Ay)-/(xo + Ax, yo) D lim 1(xo +Ax, yo) 计算题:(每小题6分,共30分) sin x cosx +1 2、计算由曲线y=x+1,y=0,xy=2和x=e2围成的面积 e的幂级数展开 5、已知=f(x+y,xy),f(u,)可微,求 6、求f(x,y) X-y在(0,0)的累次极限 、判断题(每小题10分,共20分) 1、讨论∑hcos-的敛散性 2、判断∑,的绝对和条件收敛性
7、函数项级数 ( ) 1 a x n n = 在 D 上一致收敛的充要条件是（ ） A >0, N（）>0，使m>n> N 有 + + ( ) ( ) 1 a x a x n m B >0, N>0，使m>n> N 有 + + ( ) ( ) 1 a x a x n m C >0, N（）>0，使m>n> N 有 + + ( ) ( ) 1 a x a x n m D >0, N（）>0，使m>n> N 有 + + ( ) ( ) 1 a x a x n m 8、 = − 1 ( 1) 1 n n x n 的收敛域为（ ） A (-1,1) B (0,2] C [0,2） D [-1,1） 9、重极限存在是累次极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 10、 = ( , ) 0 0 | ( , ) x y x f x y （ ） A x f x x y y f x y x + + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 B x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 C x f x x y y f x x y x + + − + → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 D x f x x y x + → ( , ) lim 0 0 0 三、计算题：（每小题 6 分，共 30 分） 1、 dx x x x − + 1 + 1 2 1 sin cos 1 2、计算由曲线 y = x +1, y = 0, xy = 2 和 2 x = e 围成的面积 3、求 2 x e − 的幂级数展开 5、 已知 z = f (x + y, xy), f (u,v) 可微，求 x y z 2 6、 求 x y x y f x y + − ( , ) = 在（0，0）的累次极限 三、判断题（每小题 10 分，共 20 分） 1、 讨论 =3 ln cos n n 的敛散性 2、 判断 =1 + 2 n 1 n n x x 的绝对和条件收敛性
四、证明题(每小题10分,共30分) 1、设f(x)是[-a,a]上的奇函数,证明[f(x)dt=0 2、证明级数y= 满足方程 3、证明S为闭集的充分必要条件是S是开集 参考答案 1、D2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B sin x cosx+ sin x cos x (2分)由于 sin x cosx +x 奇函数 sin x cosx dx=0(2分) 1/x+dx= arctan x=(2分)所以积分值为(1 分) 2、解:两曲线的交点为(1,2)(2分) 所求的面积为:1/222d=6(4分) 3、解:由于ex=1+x++ +…(3分),ex=1-x2++ (-1)x (3分) f+2y=f1+f2x(3分)-=f1+f2+(x+y)f12+xyf2 分) 5、解:Imx=y=Im=y=-1,(3分)mxy=lmx=1(3分) y 1、解:由于hcos~2(6分),又∑收敛(2分) 所以原级数收敛(2分) 2、解:当|xk1时,有x4x鬥,所以级数绝对收敛(4分), 当|x}=1时, 原级数发散(2分) 当|x1时,有∑ 1+x2 ,由上讨论知级数绝对收敛(4分) 1+(-)
四、证明题（每小题 10 分，共 30 分） 1、设 f(x)是[-a，a]上的奇函数，证明 ( ) = 0 − a a f x dx 2、证明级数 = = 0 4 (4 )! n n n x y 满足方程 y = y (4) 3、 证明 S 为闭集的充分必要条件是 S c 是开集。 参考答案 一、1、D 2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B 二、1、解： dx x x x − + 1 + 1 2 1 sin cos 1 = + + − dx x 1 x x 1 2 1 sin cos dx x − + 1 1 2 1 1 （2 分）由于 2 1 sin cos x x x + 为 奇函数 dx x x x − + 1 1 2 1 sin cos =0（2 分） dx x − + 1 1 2 1 1 = 2 arctan | 1 1 x − = （2 分）所以积分值为 2 （1 分） 2、 解：两曲线的交点为（1，2）（2 分） 所求的面积为：1/222+ 6 2 2 1 = e dx x （4 分） 3、解：由于 = + + + + 2! ! 1 2 n x x e x n x （3 分）， + − = − + + − ! ( 1) 2! 1 4 2 2 2 n x x e x n n x （3 分） 4、解： x z = f f y 1 + 2 y z = f f x 1 + 2 （3 分） 11 2 12 22 2 f f (x y) f xyf x y z = + + + + （3 分） 5、解： lim lim 1 0 0 0 = − − = + − → → → y y x y x y x y y ，（3 分） lim lim 1 0 0 0 = = + − → → → x x x y x y y x y （3 分） 三、1、解：由于 2 2 2 ln cos ~ n n （6 分），又 =1 2 1 n n 收敛（2 分） 所以原级数收敛（2 分） 2、解：当 | x | 1 时，有 n x n x x x | | 1 2 + ，所以级数绝对收敛（4 分）， 当 | x |= 1 时， 2 1 1 2 = + x n x x ，原级数发散（2 分） 当 | x | 1 时，有 = = + = 1 + 1 2 2 ) 1 1 ( ) 1 ( n 1 n n n n n x x x x ，由上讨论知级数绝对收敛（4 分）
四、证明题(每小题10分,共30分) 1、证明:上(x)=(x女+C/(x)h (1)(4分) f(x)dtx=-f(-1)d(-1)=-f(l( 2)(4分) 将式(2)代入(1)得证(2分) 2、证明:所给级数的收敛域为(-∞+∞),在收敛域内逐项微分之,得 4n=2 4m-3 (8分)代入得 (4n-3) 证(2分) 3、证明:必要性若S为闭集,由于S的一切聚点都属于S,因为,对于任意的x∈S x不是S的聚点,也就是说,存在x的邻域O(x,o)使得O(x,)∩S≠,即O(x,)cS, 因此S是开集。 充分性对任意的x∈S°,由于S是开集,因此存在x的邻域O(x,δ)使得O(x,o)cS 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点,它就一定属于S
四、证明题（每小题 10 分，共 30 分） 1、证明： = + − − a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( ) （1）（4 分） = − − − = − − a a a f x dxx t f t d t f t dt 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) （ 2）（4 分） 将式（2）代入（1）得证（2 分） 2 、 证 明 ： 所 给 级 数 的 收 敛 域 为 (−,+) ， 在 收 敛 域 内 逐 项 微 分 之 ， 得 = − − = 1 4 1 ' (4 1)! n n n x y = − − = 1 4 2 '' (4 2)! n n n x y = − − = 1 4 3 ''' (4 3)! n n n x y = − − = 1 4 4 (4) (4 4)! n n n x y （8 分）代入得 证（2 分） 3、证明：必要性 若 S 为闭集，由于 S 的一切聚点都属于 S，因为，对于任意的 c x S 。 x 不是 S 的聚点，也就是说，存在 x 的邻域 O(x, ) 使得 O(x, ) S ，即 c O(x, ) S ， 因此 S c 是开集。 充分性 对任意的 c x S ，由于 S c 是开集，因此存在 x 的邻域 O(x, ) 使得 c O(x, ) S ， 即 x 不是 S 的聚点。所以如果 S 有聚点，它就一定属于 S