数学：《群论》第三章 点群（左维）

第三章点群 ■定义:三维实正交群O(3)的有限子群 第一类点群:只含转动元素,SO(3)的有限子群,也称为 固有点群; 第二类点群:除含有转动元素外,还含有转动反演元素 ■n阶转动轴:设点群G是由绕固定轴k转动生成的n阶群,则 G由Ck2π/n)生成固定轴k称为n阶轴.将元素C(2π/n)记 为Cn,群G是由Cn生成的n阶循环群{Cn,Cn2,,Cn=E, 记为Cn

第三章 点群 ■ 定义: 三维实正交群O(3)的有限子群. 第一类点群: 只含转动元素, SO(3)的有限子群, 也称为 固有点群; 第二类点群: 除含有转动元素外,还含有转动反演元素. ■ n阶转动轴: 设点群G是由绕固定轴k 转动生成的n阶群,则 G由Ck(2/n)生成.固定轴k 称为n阶轴. 将元素Ck(2/n)记 为Cn, 群G是由Cn生成的n阶循环群{Cn, Cn 2 , …, Cn n=E}, 记为Cn

■定理:设G是点群,K是G的转动子群,即K=G∩SO(3),则有 三种可能: 1)G=K,G是SO(③3)的有限子群,即G是第一类点群; 2)G≠K,G包含空间反演元素I,则G=KUIK=K⑧{,I,称 为型非固有点群; 3)G≠K,且IgG,则G与转动群G=KUK+同构,其中 K+={Ig|g∈G,g∈K} 称为P型非固有点群 ■由第一类点群可构造出第二类点群 1)G=KUIK=KOE, IS 2 ) G=KUIK+

■ 定理:设G是点群, K是G的转动子群, 即K=G∩SO(3), 则有 三种可能: 1) G=K, G是SO(3)的有限子群, 即G是第一类点群; 2) G≠K, G包含空间反演元素I, 则G=K∪IK=K{E,I}, 称 为I型非固有点群; 3) G≠K, 且IG, 则G与转动群G=K∪K+同构, 其中 K+ ={Ig|g∈G, g  K} 称为P型非固有点群. ■ 由第一类点群可构造出第二类点群: 1) G=K∪IK=K{E,I} 2) G=K∪IK+

3.第一类点群 ■点群是群,满足群的封闭性;点群是有限群,具有有限的元 素;第一类点群是SO(3的子群,群元具有SO(③3〕群元特点 点群G的阶n和转动轴阶n的关系 ∑(1-)=2(1-),n≥n≥2 1)l是极点G轨道的个数,同一轨道上的极点是具有相同阶数 n的转动轴与球面的交点。 2)n是第条G轨道中极点对应的转动轴的阶 3)n是点群G的阶数。 4)n/n;是第条G轨道上点的个数。一个转动轴对应两个G轨 道点

■ 点群是群, 满足群的封闭性; 点群是有限群, 具有有限的元 素;第一类点群是SO(3)的子群, 群元具有SO(3)群元特点. 点群G的阶n和转动轴阶ni的关系. 1) l是极点G轨道的个数, 同一轨道上的极点是具有相同阶数 ni的转动轴与球面的交点。 2）ni是第i条G轨道中极点对应的转动轴的阶。 3）n是点群G的阶数。 4）n/ni是第i条G轨道上点的个数。一个转动轴对应两个G轨 道点。 ), 2 1 ) 2(1 1 (1 1        i l i i n n n n 3. 第一类点群

■第一类点群的分类 5种可能情况 n,=n.n=2.3 2)7=3,n1=n2=2,n3=n/2,n=46 3)7=3,n1=2,n2=3,n3=3,n=12 4)=3,n1=2,m2=3,n3=4,n=24 5)7=3,n1=2,m2=3,n2=5,n=60

■ 第一类点群的分类. 5种可能情况: 1) l  2, n1  n2  n, n  2,3, 2) l  3, n1  n2  2, n3  n / 2, n  4,6, 3) l  3, n1  2, n2  3, n3  3, n 12 4) l  3, n1  2, n2  3, n3  4, n  24 5) l  3, n1  2, n2  3, n3  5, n  60

1)n阶循环群Cn群: 7=2,n1=n2=n,n=2,3 2条极点G轨道,每一条轨道上有一个点,则点群中所有转 动元素保持极点不变 转动轴阶数为n.转动轴与球面的两个交点各自组成一条G 轨道 →一个以固定n阶转动轴k生成的n阶循环群cn={CnCn2,…, Cn=E},Cn=CA(2π/n) 每个元素自成一类,共有n个类:{E},{Cn3,{Cn2,…,Cn-1 2)共有n个一维不可约不等价表示 分别由AP(Cn)=exp[(p-1)2πi/n],p=1,2,n生成 3)每一个表示的特征标为xPCn)=exp(p-1)2πmi/n]

1) n阶循环群Cn群: 2条极点G轨道, 每一条轨道上有一个点, 则点群中所有转 动元素保持极点不变. 转动轴阶数为n. 转动轴与球面的两个交点各自组成一条G 轨道.  一个以固定n阶转动轴k生成的n阶循环群cn ={Cn. Cn 2 ,…, Cn n=E}, Cn =Ck (2/n). l  2, n1  n2  n, n  2,3, 1) 每个元素自成一类, 共有n个类: {E}, {Cn}, {Cn 2}, …,{Cn n-1} 2) 共有n个一维不可约不等价表示. 分别由AP(Cn)=exp[(p-1)2i/n], p=1,2,…n生成. 3) 每一个表示的特征标为p(Cn m)=exp[(p-1) 2mi/n]

2)二面体群D群 7=3,n1=n2=2,n3=m,n=2m,m=2,3, 3条极点G轨道:第一条和第二条轨道上各有n/2)=m个点, 均对应于二阶轴,共有2(m/2)=m条;第三条轨道上有 n/m)=2个点,对应于一个m阶转动轴的两个极点 因为m阶转动轴的两个极点rm与(-rm)在同一条轨道上,故 对点群中任意元素g,使grm=rm或grm=-rm,因而所有m 个二阶轴与m阶转动轴垂直 →保持正多边形空间位置不变的有限转动群,称为二面体群 ={E,Cn,Cn,…,Cm,C2,C2,…,C{m)},Cn⊥C2 相邻二阶轴的夹角相等. m=奇数时,为2π/m;m=偶数时,为π/m 与m阶轴垂直的二阶轴将绕m阶轴的转动 元素与其逆转动通过相似变换联系起来

2) 二面体群Dm群: 3条极点G轨道: 第一条和第二条轨道上各有(n/2)=m个点, 均对应于二阶轴, 共有2(m/2)=m条; 第三条轨道上有 (n/m)=2个点, 对应于一个m阶转动轴的两个极点. 因为m阶转动轴的两个极点rm与(–rm)在同一条轨道上, 故 对点群中任意元素g, 使g rm = rm或g rm =–rm,因而所有m 个二阶轴与m阶转动轴垂直.  保持正多边形空间位置不变的有限转动群, 称为二面体群. l  3, n1  n2  2, n3  m, n  2m, m  2,3, ( ) 2 ( ) 2 (2) 2 (1) 2 2 1 { , , , , , , , , }, i m m m Dm  E Cm Cm Cm C C C C  C    相邻二阶轴的夹角相等. m=奇数时,为2/m; m=偶数时,为/m 与m阶轴垂直的二阶轴将绕m阶轴的转动 元素与其逆转动通过相似变换联系起来

m=奇数时 单位元素E自成一类;Cm和Cm成一类, k=1,2,,(m-1)/2; m个二阶轴为一类;共有(m+3)/2类 m=偶数时 单位元素E自成一类;Cm和Cm-成一类, k=1,2,(m-2)/2; Cmm/2自成一类;m个二阶轴分为两类 夹角为2丌/m的二阶轴各为一类; 共有m/2+3类

单位元素E自成一类; Cm k和Cm m-k成一类, k=1,2,…(m-1)/2; m个二阶轴为一类; 共有(m+3)/2类. m=奇数时 m=偶数时 单位元素E自成一类; Cm k和Cm m-k成一类, k=1,2,…(m-2)/2; Cm m/2自成一类; m个二阶轴分为两类: 夹角为2/m的二阶轴各为一类; 共有m/2+3类

D2群:由三个垂直的二阶轴生成 1)共分为4个类 E}2{C2},{ 2,{C(3) (2) {E,C2(1),{,C2),{,C2(3}均是D2的不变子群 D2是E,C2和{,C2(2}的直积群,D2=C2⑧C2 2)4个一维不可约不等价表示 2+S2+S3+S4 可由两个二阶循环群C2表示的直积给出

D2群: 由三个垂直的二阶轴生成 1) 共分为4个类 { }, { },{ }, { } (3) 2 (2) 2 (1) E C2 C C 2) 4个一维不可约不等价表示 4 2 4 2 3 2 2 2 S1  S  S  S  {E,C2 (1)}, {E,C2 (2)}, {E,C2 (3)}均是D2的不变子群. D2是{E,C2 (1)}和{E,C2 (2)}的直积群, D2=C2C2 可由两个二阶循环群C2表示的直积给出

正方形对称群D4:1)共分为5个类 4 2 E},{C4,C4},{C4},{ },{2),C2} 2)5个不可约不等价表示S2+s2+S2+S2+S2=8 4个一维不可约不等价表示,一个二维表示 D4有三个三阶不变子群: E、C4,C2,C4},{E,C2,C2,C2},{E,C4,C2)C24 D4有到二阶循环群的三个同态,可得到D4的三个 维非恒等不可约不等价表示 EO 2A3c(1)(2)(3)c(4) 4:4:4252

正方形对称群D4 : 1) 共分为5个类 { }, { , }, { }, { , }, { , } (4) 2 (2) 2 (3) 2 (1) 2 2 4 3 E C4 C4 C C C C C 2) 5个不可约不等价表示 8 2 5 2 4 2 3 2 2 2 S1  S  S  S  S  4个一维不可约不等价表示, 一个二维表示. D4有三个三阶不变子群: { , , , }, { , , , }, { , , , } (4) 2 (2) 2 2 4 (3) 2 (1) 2 2 4 3 4 2 E C4 C4 C E C C C E C C C D4有到二阶循环群的三个同态, 可得到D4的三个 一维非恒等不可约不等价表示 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 , , , , , , , (4) 2 (3) 2 (2) 2 (1) 2 3 4 2 4 4             E C C C C C C C x y 1 3 2 4