数学：《群论》第六章 李代数基础（左维）

第五章对称群 行置换算子集:杨盘T的所有的行置换算子组成的集合 R()={p} 列置换算子集:杨盘T的所有的列置换算子组成的集合 C(7)={(} P(T)=∑pQ(7)=∑ q∈C(T 杨算子 E()=P()Q(7)=∑∑6 p∈R(T)q∈C(T)

行置换算子集: 杨盘T的所有的行置换算子组成的集合. 第五章 对称群 R(T)   p 列置换算子集: 杨盘T的所有的列置换算子组成的集合. C(T)  q ( ) ( ) ( ) ( ) q p R T q C T P T p Q T  q       杨算子: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q p R T q C T E T P T Q T  pq      

引理1:设T和T是两个杨盘,由置换r相联系,即T"=rT 置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(ij处的数字变 到ST中的(k)处,则s=rsr-1作用在T”上将T中位于(Gij) 处的数字变到ST中的(k,)位置 推论:设T和T是由置换r相联系的两个杨盘,即T=rT, 则有下列关系成立 R(T)=rRT)r, C(T)=rC(T)r P(T)=rP(T)r, Q(T)=rO)- E(T)=rE(T)r

引理1: 设T和T是两个杨盘, 由置换r相联系, 即T=rT. 置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(i,j)处的数字变 到sT中的(k,l)处, 则s=rsr –1作用在T上将T中位于(i,j) 处的数字变到sT中的(k,l)位置. 推论: 设T和T是由置换r相联系的两个杨盘, 即T=rT, 则有下列关系成立 1 1 1 1 1 ( ') ( ) , ( ') ( ) ( ') ( ) , ( ') ( ) ( ') ( ) R T rR T r C T rC T r P T rP T r Q T rQ T r E T rE T r          

引理2:设T是杨盘,p和q分别是T的任意行置换和列 置换,T与T通过置换pq相联系,即T=pqT 则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在T的同一列 设两个杨盘由置换r相联系,即T"=T.如果T中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T的同 列,则置换r必可表示为r=pq 引理3:设T和T′是属于不同杨图]和[]的两 个杨盘,[λ]λ勹,则总能找到两个数字同时出现在 T的同一行和T′的同一列

引理2: 设T是杨盘, p和q分别是T的任意行置换和列 置换, T 与 T 通过置换 pq 相联系, 即T=pqT. 则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在 T 的同一列. 设两个杨盘由置换 r 相联系,即T=rT. 如果 T 中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T 的同 一列, 则置换 r 必可表示为 r = pq. 引理3: 设 T 和 T  是属于不同杨图 [λ] 和 [λ ] 的两 个杨盘, [λ]>[λ ], 则总能找到两个数字同时出现在 T 的同一行和 T  的同一列

引理4:如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘T的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足 E(T)E(T)=0 推论:属于不同杨图的两个杨盘T和T,必有 E(T)E(T)=0 引理5:设x=2x(S) 是置换群Sn的群代数中的一个向量.如果对于杨盘 T的任意行置换p和列置换q满足 SX 则x与杨算子E()差一个常数因子,即x=6E(T)

引理4: 如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘 T 的同一列, 则这两个杨盘的杨算子满足 推论: 属于不同杨图的两个杨盘 T 和 T  , 必有 E(T ')E(T)  0 E(T ')E(T)  0 引理5: 设 ( ) n s S x x s s   是置换群 Sn 的群代数中的一个向量. 如果对于杨盘 T 的任意 行置换 p 和列置换 q, 满足 则 x 与杨算子 E(T) 差一个常数因子, 即 q pxq x x  E(T)

引理6:对应于杨盘T的杨算子E(T)是一个本质的本 原幂等元相应的不变子空间RG是对称群Sn的一个 不可约表示空间,其维数是n!的因子 引理7:同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的

引理6: 对应于杨盘 T 的杨算子 E(T) 是一个本质的本 原幂等元. 相应的不变子空间 RG 是对称群 Sn 的一个 不可约表示空间, 其维数是 n! 的因子. 引理7: 同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的. 不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的

52对称群的不可约表示 定理:杨算子F(T是本质幂等元,相应的不变子空间 RGE(T)是对称群Sn的一个不可约表示空间,给 出Sn的一个不可约表示;由同一杨图的不同杨盘 给出的表示是等价的,而不同杨图的杨盘给出的 表示是不等价的 标准杨盘在杨图上,每一行数字按从左向右增大 每一列数字按从上到下增大的顺序来填充,得到 的杨盘称为标准杨盘.记作r 定理杨图对应的不可约表示的维数等于该杨 图的标准杨盘的个数f因∑()=n!

5.2 对称群的不可约表示 定理: 杨算子E(T)是本质幂等元, 相应的不变子空间 RG E(T) 是对称群Sn的一个不可约表示空间, 给 出Sn 的一个不可约表示; 由同一杨图的不同杨盘 给出的表示是等价的, 而不同杨图的杨盘给出的 表示是不等价的. 标准杨盘: 在杨图上, 每一行数字按从左向右增大, 每一列数字按从上到下增大的顺序来填充, 得到 的杨盘称为标准杨盘. 记作 定理: 杨图[λ]对应的不可约表示的维数等于该杨 图的标准杨盘的个数 f [λ]. [ ] 2 [ ] ( f ) n!     [ ] Tr 

杨图D1的标准盘个数的计算公式八1 g为杨图上位置(1j)处的钩长 543 321 半正则表示 标准盘系列:从Sn的一个标准杨盘T出发,作标 准盘系列 ]m[xm[4]2m 相应杨算子为E1,B),EP,E(,…,Bm=E 相应本原幂等元为 EL/0 EL/EEL/E. r/e

杨图[λ]的标准盘个数的计算公式: gij为杨图上位置(i,j)处的钩长. 半正则表示: 标准盘系列: 从 Sn 的一个标准杨盘Tr [λ]出发, 作标 准盘系列: [ ] ( , ) ! ij i j n f g    1 2 3 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [1] , , , ,..., n Tr Tr Tr Tr Tr T        相应杨算子为 1 2 3 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [1] , , , ,..., n Er Er Er Er Er E        相应本原幂等元为 1 1 2 2 1 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] / , / , / ,..., / n n Er Er Er Er               5 4 3 1 3 2 1

半正规单位(半正则母单位):定义算子 04=n!/f [y2[ [y2[y-3,[ay e1为本原幂等元,且满足 [au rsr [] FIa]ola] e4=(1)eE4e叫Ee 1 olAy elar elj 对。 E

半正规单位(半正则母单位): 定义算子 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 1 2 1 2 1 1 1 [ ] [1] 0 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 .................. 1 1 n n n n n n n n n n n r r r r r r r r r r r r r r r r r r e e s e e E e e e E e e e E e e e E e                                           [ ] [ ] n!/ f     er [] 为本原幂等元, 且满足 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 n n n n n n n r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r e e e E e e E e e E e E e E e e E e E e E e                                                                  [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 0 [ ] r s rs r r r e e e e s            

半正规单位(半正则母单位)定义:设属于同一杨图的 标准盘T和T由置换σn∈Sn相联系,即T=o7 定义算子=PaQ.=PQ=E为杨算子 构造Sn群代数RG的一组基c=1ell 其中[=[m,[n-1]1n-2,2n-2,1 r,S=1,2,,f la 上述这组基矢称为Sn群代数的半正规单位,满足 [J[4 1)半正规单位共有n!个,在群代数空间是完备的 2)每一个杨图[內对应与对称群Sn的一个不等价不可约表示 3)Sn群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵 4)在半正规基下,表示约化为()=∑田 5)Sn任意群元可写为相邻数字对换的乘积

半正规单位(半正则母单位)定义: 设属于同一杨图的 标准盘 和 由置换 相联系, 即 定义算子 . 为杨算子. 1 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 rs r rs s e e E e        [ ] Tr  [ ] Ts  rs n  S [ ] [ ] Ts rsTr     [ ] [ ] [ ] Ers Pr rsQs      [ ] [ ] [ ] [ ] Err Pr Qr Er       构造 Sn群代数 RG 的一组基 其中 [ ] [ ],[ 1,1],[ 2, 2],[ 2,1,1],...,[1 ] n   n n  n  n  [ ] r,s 1, 2,..., f   上述这组基矢称为 Sn群代数的半正规单位, 满足 [ ] [ ] [ ] rs tu [ ][ ] st ru e e e         1) 半正规单位共有n!个, 在群代数空间是完备的. 2) 每一个杨图[λ]对应与对称群 Sn 的一个不等价不可约表示. 3) Sn 群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵. 4) 在半正规基矢下, 表示约化为 5) Sn 任意群元可写为相邻数字对换的乘积. [ ] [ ] [ ] V (s) f V     

求表示矩阵元V(s)的规则,其中s=(k-1k): 1)当数字k-1和k在T的同一行时对角元 S)= 2)当数字k-1和k在T的同一列时,对角元 λ] 3)当数字k-1和k不在T的同一行和同一列时,设 T=STA,则 ()=-p,D0l(s)=1-p Vir (S) Vm(s)=p, 其中ρ为T中数字k-1到k的轴距离的倒数 4)其它情况矩阵元为零

求表示矩阵元V[λ](s)的规则, 其中s=(k –1,k) : [ ]( ) 1 Vrr s   1) 当数字k – 1和k在Tr [λ]的同一行时,对角元 2) 当数字k – 1和k在Tr [λ]的同一列时,对角元 [ ]( ) 1 Vrr s    3) 当数字k – 1和k不在Tr [λ]的同一行和同一列时, 设 Tu [λ] = s Tr [λ] , 则 [ ] [ ] 2 [ ] [ ] ( ) , ( ) 1 , ( ) 1, ( ) , rr ru ur uu V s V s V s V s              其中ρ为Tr [λ]中数字k –1到k 的轴距离的倒数. 4) 其它情况矩阵元为零