ut ed 第三节任数及共审敛法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛
第三节 任意项级数及其审敛法 一 交错级数及其审敛法 二 绝对收敛与条件收敛
交错级数及其审敛法 1.定义:正、负项相间的级数称为交错级数. ∑(-1)”un或∑(-1)an(其中un>0) H=1 2定理1(莱布尼茨定理)如果交错级数满足条件: (1)Ln≥Ln1(n=1,2,);(2) limu=0. n→c 则级数收敛,且其和s<L1,其余项r的绝对值 IP,< n+1 上一页下一页返回
1. 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 2.定理1(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件: (1) ( 1,2, );(2)lim 0. 1 = = → + n n un un n u 则级数收敛,且其和 s u1 ,其余项 r n 的绝对值 1 | | n un+ r ( 1) ( 1) 1 1 1 n n n n n n u u = = − − − ( 0) 或 其中 un 一 交错级数及其审敛法
证明∵Ln1-Ln≥0, L1-L,)+(W2-L)+…+( n 2n-1 2n 数列S2n是单调增加的.又 2n (2-3)-…-(l2n2-l2n1)-2n≤l1 imS2n=S≤u1·lim2n+1=0, lims2n+1=lim(S,n+u2n1)=s, n→0 n→0 上一页下一页返回
证明 ( ) ( ) ( ) 2n u1 u2 u3 u4 u2n 1 u2n s = − + − ++ − − n u u u u n u n u n s2 1 2 3 2 2 2 1 2 = − ( − ) −− ( − − − ) − u1 0, un−1 − un lim . 2 u1 s s n n = → lim 0, 2 +1 = → n n u 数列 s2n 是单调增加的. 又 lim lim( ) 2 1 2 2 +1 → + → = n + n n n n s s u = s
级数收敛于和,且S≤1 余项rn=士(unm1-Ln+2+…), n+1 n+2 满足收敛的两个条件,∴r≤un1 定理证毕 上一页下一页返回
, rn = un+1 − un+2 + 满足收敛的两个条件, . n un+1 r 定理证毕. 级数收敛于和 s ,且 . u1 s ( ), 余项 r n = un+1 − un+2 +
例1讨论交错级数∑(-11的敛散性 解 n+1 且lim-=0 nn+1 ∑(-1)+收敛,且其和为<1, 用S替代S,误差rk n+1 类似得∑(-1)1,∑(-1)”均收敛 H-=1 H-=1 上一页下一页返
解 例1 讨论交错级数 的敛散性. n 1 ( 1) 1 1 = + − n n 1 1 1 1 = + + n = un n n u 0 1 lim = n→ n 且 n 1 ( 1) 1 1 = + − n n 收敛,且其和为 s 1, 用 sn 替代 s ,误差 . 1 1 | | + n r n 类似得 , 均收敛. n 1 ( 1) 1 1 = − − n n 2 1 ( 1) n 1 1 = − − n n
例2讨论级数∑(-1)(n+1-√m)的敛散性 解 limunn-no lim(n+1-√n) n→0 =0 n→>∞√n+1+√n 又 ln-Ln1=(n+1-√m)-(n+2-√n+1) n+1+、n√n+2+√n+1 上一页下一页返回
例2 讨论级数 ( 1) ( 1 ) 的敛散性. 1 1 n n n n − + − = + limu lim( n 1 n) n n n = + − → → ( 1 ) ( 2 1) un − un+1 = n + − n − n + − n + 又 解 0. 1 1 lim = + + = n→ n n 2 1 1 1 1 + + + − + + = n n n n
(n+2-√n) >0 (√n+1+√m)(√n+2+√n+1 n+1 ∑(-1)(n+1-~m)收敛 上一页下一页返回
0 ( 1 )( 2 1) ( 2 ) + + + + + + − = n n n n n n 即 un un+1 ( 1) ( 1 ) 1 1 n n n n − + − = + 收敛
2n-1 例3讨论级数∑(-) 2的敛散性 n 2n-1 解 n→>0 n 2x-12(1-x) 又 3<0(x≥2) 2n-1 故函数 单减,从而Ln≥ LL.,, n+1 所以原级数收敛 上一页下一页返回
例3 讨论级数 2 的敛散性. 1 1 2 1 ( 1) n n n n − − = − 0 2 1 lim lim 2 = − = → → n n u n n n 解 0 ( 2) 2(1 ) ) 2 1 ( 2 3 − = − x x x x x 又 故函数 2 单减,从而 2 1 n n − . un un+1 所以原级数收敛
注意 1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹 型级数如 ∑(-1y113 n,∑(-1)1 n 均为莱布尼兹型级数 2.莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件,但 limu =o n→0 也是必要条件 上一页下一页现回
注意 1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹 型级数.如 均为莱布尼兹型级数. n 1 ( 1) 1 1 = − − n n n 1 , ( 1) 1 1 = − − n n 2. 莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件,但 也是必要条件. lim = 0 → n n u
绝对收敛与条件收敛 1.定义1.正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 定义2.若∑un收敛则称∑4为绝对收敛; =1 若∑|an发散而∑41收敛则称∑4为条件收敛; n=1 2定理2若∑|ln|收敛则∑u收敛 上一页下一页返回
1.定义1. 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 2.定理2 若 收敛,则 收敛. =1 | | n un n=1 un 定义2. 若 收敛,则称 为绝对收敛； =1 | | n un n=1 un 若 发散,而 收敛则称 为条件收敛； =1 | | n un n=1 un n=1 un 二 绝对收敛与条件收敛