ut ed 第一节微分方的基本概念 、问题的提出 微分方程的基本概念 、小结
一、问题的提出 二、微分方程的基本概念 三、小结 第一节 微分方程的基本概念
、问题的提出 例1一曲线通过点(1,1),且在该曲线上任一点M(x,y)处 的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线为y=y(x) dy≥2x其中x=1时,y=1 y=∫2xdk即y=x2+C,求得C=0, 所求曲线方程为y=x2 上一页下一页现回
例1 一曲线通过点(1,1),且在该曲线上任一点M(x, y)处 的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 其中 x = 1时, y = 1 = y 2xdx , 2 即 y = x + C 求得C = 0, . 2 所求曲线方程为 y = x 一、问题的提出
例2一质量为m的物体以初速度v自高H处自 由落下,求物体下落的距离s与时间t的函数关 系(不计空气阻力) 解根据牛顿第二定律 d s d t2- mg t=OBA, s=0v= ds=vo, ds d ot+C S 20+C,t+Cl 上一页下一页返回
mg dt d s m = 2 2 0 , 0, v 0, dt ds t = 时 s = v = = gt C1 dt ds v = = + 1 2 2 2 1 s = gt + C t + C 例2 一质量为m的物体以初速度v0自高H处自 由落下，求物体下落的距离s与时间t的函数关 系（不计空气阻力） 解 根据牛顿第二定律
代入初始条件后知C1=v,C2=0 故s gt +y. 2 上式中令s=H得到物体落到地面所需的时间 t=(vo+2gH-vo) 上一页下一页返回
代入初始条件后知 C1 = v0 ,C2 = 0 , 2 1 0 2 故 s = gt + v t ( 2 ). 1 0 2 0 v gH v g t = + − 上式中令s=H得到物体落到地面所需的时间
微分方程的基本概念 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例y=xy, (5) 0. (t +rdt +xd=U, ax rt y 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式 上一页下一页返回
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 0, (5) y = x y, x z = + 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的基本概念
分类1:常微分方程,偏常微分方程 微分方程的阶:指微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数 分类2: 阶微分方程F(x,y,y)=0,y=f(x,y); 阶(n)2)微分方程F(x,y,y,,y")=0, y=∫(x,y,y,…,y1n") 上一页下一页返回
微分方程的阶:指微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y ) = 0, y = f (x, y); 分类2: ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y 高阶(n>2)微分方程
分类3:线性与非线性微分方程 y+P(ry=o(), x(y)-2yy+x=0, y+P(x)y+o(y=f(x) 分类4:单个微分方程与微分方程组 =3y 2 xy+(x+ y)y=cos x. 2 上一页下一页返回
分类3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0, 2 x y − yy + x = y + P(x) y + Q(x) y = f (x); 分类4: 单个微分方程与微分方程组. , 2 , 3 2 , = − = − y z dx dz y z dx dy xy + (x + y) y = cos x
微分方程的解 指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 设y=g(x)在区间I上有n阶导数, F(x,q(x),q(x),…,qp((x)=0. 则y=φ(x)为方程的解 微分方程的解的分类 (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独 立任意常数的个数与微分方程的阶数相同 上一页下一页现回
微分方程的解: 指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独 立任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 则y = (x)为方程的解
例y'=y,通解y=ce"; y"+y=0,通解y=c;sinx+c2cosx; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解 解的图象:微分方程的积分曲线. 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件 上一页下一页返回
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = ce y + y = 0, sin cos ; 1 2 通解 y = c x + c x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件
初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题. y=∫(x,y) 阶 过定点的积分曲线 x=to 阶 「y”=f(x,y,y) X=x 09 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 上一页下一页返回
过定点的积分曲线; = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题