ut ed 第六节函数图形的描绘 曲线的渐远线 二图形描绘的步骤
二 图形描绘的步骤 一 曲线的渐近线 第六节 函数图形的描绘
曲线的渐近线 C×b 双曲线x+y=1向无限远处延伸时,与直线 b b y=±"x无限逼近 上一页下一页返回
X Y 0 1 2 2 2 2 + = b y a x x a b y = x a b y = − x a b y = 双曲线 1 2 2 2 2 + = b y a x 向无限远处延伸时，与直线 无限逼近. 一、曲线的渐近线
1.铅直渐近线 如果lmf(x)=∞或ⅲimf(x)=0 那么则称κ=x是y=∫(x)的一条铅直渐近线 也就是垂直于x轴的渐近线 例如 x+2 有铅直渐近线: x=-2 上一页下一页返回
1. 铅直渐近线 也就是垂直于x 轴的渐近线. ( ) , lim ( ) lim ( ) 0 0 0 那 么则 称 是 的一条铅直渐近线 如 果 或 x x y f x f x f x x x x x = = = = → + → − 例如 , 2 1 + = x y 有铅直渐近线: x = −2 -3 -2 -1 1 -40 -20 20 40
2.水平渐近线 如果im∫(x)=b或limf(x)=b(b为常数) x→+0 那么y=b就是y=∫(x)的一条水平渐近线 也就是平行于x轴的渐近线 例如y=e-x 有水平渐近线:y=0 上一页下一页返回
2 .水平渐近线 也就是平行于x 轴的渐近线. ( ) . lim ( ) lim ( ) ( ) 那 么 就 是 的一条水平渐近线 如 果 或 为常数 y b y f x f x b f x b b x x = = = = →+ →− 例如 , 2 x y e − = 有水平渐近线: y = 0
3斜渐近线 如果lim[f(x)-(kx+b)=0(k≠0,b为常数) x→+0 那么y=kx+b就是y=∫(x)的一条斜渐近线 (其中x→∞可以是x→+∞或x→-∞) 斜渐近线求法: lim f(x) =k, limlf(x)kx]=b. 上一页下一页返回
3.斜渐近线 ( ) . lim [ ( ) ( )] 0 ( 0, ) 那 么 就 是 的一条斜渐近线 如 果 为常数 y kx b y f x f x kx b k b x = + = − + = →+ 斜渐近线求法: , ( ) lim k x f x x = → lim[ f (x) kx] b. x − = → (其中x →可以是x → + ,或x → − )
例1求∫(x) (x-1)2的渐近线 解D:(-o,1)∪(1,+∞) imf(x)=0∴x=1是曲线的铅直渐近线 x→)1 f(a 又i。xxx(x-1)x(x-12~1 =lim 再由imf(x)-kx=lim 2-x inx3-x(x-D)2(x-1)2 x→0 x→0 2=b y=x+2是曲线的一条斜渐近线 上一页下一页返回
例 1 . ( 1) ( ) 2 3 求 的渐近线 − = x x f x 解 D :(−,1)(1,+). = → lim ( ) 1 f x x x = 1是曲线的铅直渐近线. = → xf x x ( ) 又lim 2 3 ( 1) lim→ x x −x x ] ( 1) lim[ ( ) ] lim[ 2 3 x x x f x kx x x − − − = → → 再 由 b x x x x x = = − − − = → 2 ( 1 ) ( 1 ) lim 2 3 2 y = x + 2是曲线的一条斜渐近线. 2 2 ( 1) lim − = → x x x = 1
60 20 20 -10 10 20 f(x)= 的图形 上一页下一页返回
-20 -10 10 20 -20 20 40 60 . ( 1) ( ) 2 3 的图形 − = x x f x
图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形,一般遵循下列步骤. (1)确定函数y=f(x)的定义域对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数∫(x) (2)求出方程∫(x)=0和f"(x)=0在函数定义 域内的全部实根,用这些根同函数的间断点或导数不 存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间 上一页下一页返回
利用函数特性描绘函数图形，一般遵循下列步骤. （2） 确定函数y = f (x)的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, 求出函数的一阶导数 ( ) ' f x 和二阶导数 ( ) " f x ; 求出方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 在 函 数 定 义 域 内 的 全 部 实 根 ，用 这 些 根 同 函 数 的 间 断 点 或 导 数 不 存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间 . （1） 二、图形描绘的步骤
(3)确定在这些部分区间内f(x)和f(x)的符 号,并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点(可列表进行讨论); 4)确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; (5)描出与方程∫(x)=0和∫(x)=0的根对 应的曲线上的点,有时还需要补充一些点,再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形 上一页下一页返回
（3） 确定在这些部分区间内 ( ) ' f x 和 ( ) " f x 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论）； （4） 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势; （5） 描出与方程 ( ) 0 ' f x = 和 ( ) 0 " f x = 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形
例2作函数∫(x) 的图形 解D:x≠-1,非奇非偶函数且无对称性 f(r) (x-1)(x+5) f"(x) 24(x-1) (x+1) (x+1) 令f(x)=0,得驻点x=1,x=-5 令∫"(x)=0,得点x=1 limf(x)=∞,所以x=-1为铅直渐近线 无水平渐近线 又:im f(=lim (x-1 1=k x→0 x+ 上一页下一页现回
例 2 . ( 1) ( 1) ( ) 23 作函数 的图形 +− = xx f x 解 D : x − 1 , 非奇非偶函数 ,且无对称性 . , ( 1 ) ( 1 ) ( 5 ) ( ) 3 2+ − + = x x x f x . ( 1 ) 24 ( 1 ) ( ) 4 + − = x x f x 令 f ( x ) = 0, 得驻点x = 1, x = −5 令 f (x) = 0, 得点x = 1. lim ( ) , 1 . 1 = 所 以 = − 为铅直渐近线 →− f x x x 无水平渐近线 k x xx xf x x x = = +− = → → 1 ( 1) ( 1) lim ( ) lim 2 3 又