ut ed 第三节几类特殊函数的积分 、有理函数的积分 二、三角函数有理数的积分 、简单无理函数的积分 四、小结
第三节 几类特殊函数的积分 一、 有理函数的积分 二、三角函数有理数的积分 三、简单无理函数的积分 四、小结
有理函数的积分 有理函数的定义:两个多项式的商表示的函数 P(x)a0x”+a1x”+……+an-1x+mn e(r box"+bx+.+bmx+b 其中m、n都是非负整数;a,1;…an及 b,b1,…bmn都是实数,并且a≠0,b≠0 上一页下一页返回
. 一 有理函数的积分 m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数. 其中 都是非负整数； 及 都是实数，并且 a 0,b 0 m、n a a an , , 0 1 b b bm , , 0 1
假定分子与分母之间没有公因式 (1)n<m,这有理函数是真分式; (2)n≥m,这有理函数是假分式 有理函数有以下性质: 1)利用多项式除法,假分式可以化成 个多项式和一个真分式之和 例如,我们可将+x+1 x2+1 化为多项式与真分式之和x++1 上一页下一页返回
假定分子与分母之间没有公因式 (1)n m, 这有理函数是真分式； (2)n m, 这有理函数是假分式； 有理函数有以下性质： 1）利用多项式除法, 假分式可以化成一 个多项式和一个真分式之和. 例如，我们可将 化为多项式与真分式之和 1 1 2 3 + + + x x x 1 1 2 + + x x
2)在实数范围內真分式总可以分解成几个最简式之和 最简分式是下面两种形式的分式 Ax+ B (x-a) (x t px+q 其中A,B,a,P,q都是待定的常数 k为正整数,p2-4q<0 上一页下一页返回
其中 都是待定的常数. 4 0 2 k为正整数，p − q A,B,a, p,q k x a A ( − ) 2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和 最简分式是下面两种形式的分式 k x px q Ax B ( ) 2 + + +
3)有理函数化为部分分式之和的一般规律 (1)分母中若有因式(x-a),则分解后为 A 十 (x-)4x k 其中A,42,…A4k都是待定的常数 特殊地=1,分解后为A r-l 上一页下一页返回
. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A − , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 3）有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中 都是待定的常数 （1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) A A Ak , 1, 2
(2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 p2-4q<0则分解后为 (x2+px+q)(x2+px++…、,x÷Ny Mx+n Mx+n r t+ q 其中M1,N都是待定的常数(i=1,2,,k) Mr + n 特殊地:k=1,分解后为 r t px t q 上一页下一页返回
（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x p x q M x N x p x q M x N x p x q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是待定的常数(i = 1,2,,k). 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + +
例1 2x+3 2x+3 x2+3x-10(x-2)(x+5) A,BA(x+5)+B(x-2) x-2x+5(x-2)(x+5) 方法一(比较系数法) 2x+3=4(x+5)+B(x-2) 2x+3=(A+B)+(5A-2B) 上一页下一页返回
例1 ( 2)( 5) 2 3 3 10 2 3 2 − + + = + − + x x x x x x 2 + 5 + − = x B x A ( 2)( 5) ( 5) ( 2) − + + + − = x x A x B x 方法一（比较系数法) 2x + 3 = A(x + 5) + B(x − 2) 2x + 3 = (A+ B) + (5A− 2B)
∫A+B=2、4=1 5A-2B=3B=1 方法二(赋值法) 2x+3=A(x+5)+B(x-2) ∴令x=2得A=1.令x=-5得B=1 两种方法都能得到 2x+3 2x+3 十 x2+3x-10(x-2)(x+5)x-2x+5 上一页下一页返回
− = + = 5 2 3 2 A B A B = = 1 1 B A ； 方法二（赋值法） 2x + 3 = A(x + 5) + B(x − 2) 令 x = 2 得 A = 1 ；令 x = −5 得 B = 1 两种方法都能得到 5 1 2 1 ( 2)( 5) 2 3 3 10 2 3 2 + + − = − + + = + − + x x x x x x x x
A Bx+c 例2 (1+2x)(1+x2)1+2x'1+x2 1=A(1+x2)+(Bx+C(1+2x), l=(4+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, B+2C=0→4 B 5 A+C=1, (1+2x)(+x)1+2:*5+ 1+x 上一页下一页返回
+ = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx +C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x +C + A , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + 例2 =
例3求积分 (1+2x)(1+x2) 21 解 5 (1+2x)(1+x) 1+2tdx+5 1+x 1 2x =n(1+2x) d x t 5 51+x 51+x In(1+2x)-=In(1+x)+arctan+c 5 5 上一页下一页返回
例3 求积分 . (1 2 )(1 ) 1 2 + + dx x x 解 dx x x dx x + − + + + = 2 1 5 1 5 2 1 2 5 4 + + dx (1 2x)(1 x ) 1 2 dx x dx x x x + + + = + − 2 2 1 1 5 1 1 2 5 1 ln(1 2 ) 5 2 arctan . 5 1 ln(1 ) 5 1 ln(1 2 ) 5 2 2 = + x − + x + x +C