ut ed 第四节多元复合函数求导法则 链式法购 全微分形式不变性
第四节 多元复合函数求导法则 一 链式法则 二 全微分形式不变性
、链式法贝 复合函数的中间变量为一元函数的情形 定理1如果函数u=q(t及ν=y(t)都在点t可 导,函数=f(对应点(M,v)具有连续偏导 数,则复合函数z=f[q(t)2v(t)在对应点t可 导,且其导数可用下列公式计算: dz oz du a di dt au dt av dt 证设t获得增量△t 则△=q(t+)-q(t),Aν=v(t+△n)-y(t) 上一页下一页回
1 复合函数的中间变量为一元函数的情形 定理 1 如果函数 及 都在点 可 导，函数 在对应点 具有连续偏导 数，则复合函数 在对应点 可 导，且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz + = u = (t) v = (t) t z = f (u,v) (u,v) z = f [(t), (t)] t 证 设 t 获得增量 t 则u =(t + t) −(t), v = (t + t) − (t) 一、链式法则
由于函数x=∫(u,v)在点(2v)连续偏导数 z △+y+E,A+a△ au av 当A→>0,△卩→>0时,1→>0,62>0 △z△uOz△ν 41t △ E At du at dy△t△t2△t 当M→>O时,A→>0,Ap→0 △dle △dh △tdt 上一页下一页返回
, 1 2 v u v v z u u z z + + + = t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 , dt du t u → , dt dv t v → 由于函数 z = f (u,v) 在点 (u,v) 有连续偏导数 当 u →0,v →0 时， 1 → 0, 2 → 0 当 t → 0 时， u →0,v →0
az △, Oz du o dy 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. dz dt au dt av dt Ow dt 以上公式中的导数称为全导数 at 上一页下一页返回
lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz
2复合函数的中间变量为多元函数的情形 z=∫[p(x,y)2v(x,y)] 定理2 如果=q(x,y)及=y(x,y都在点(x,y 具有对和y的偏导数且函数z=f(n,v)在对应 点(2ν)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫[0(x,y)y(x,)在对应点x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 ozoz au az av + ax au ax"oν ax Oy au Oy Ov ay 上一页下一页回
z = f[(x, y), (x, y)]. 2 复合函数的中间变量为多元函数的情形 定理2 ， x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + = 如果 及 都在点 具有对 和 的偏导数且函数 在对应 点 具有连续偏导数，则复合函数 在对应点 的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 u = (x, y) v = (x, y) (x, y) x y z = f (u,v) (u,v) z = f [(x, y), (x, y)] (x, y)
链式法则如图示 Oz o Ou oz av ax au ax ay ax oz oz Ou az dv dy ou dy Ov ay 上一页下一页返回
u v x z y 链式法则如图示 x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + =
类似地再推广,设=φp(x,y)、ν=v(x,y) W=(x,y)都在点x,p具有对和y偏导数,复合 函数z=f[p(x,y)y(x,y)O(x,y)在对应点(x,y 两个偏导数存在,且可用下列公式计算 ax au ax ay ax ow ax z=v ay au ay av ay ow dy 上一页下一页返回
z w v u y x y w w z y v v z y u u z y z + + = x w w z x v v z x u u z x z + + = 类似地再推广，设 、 、 都在点 具有对 和 的偏导数，复合 函数 在对应点 两个偏导数存在，且可用下列公式计算 u = (x, y) v = (x, y) w =(x, y) (x, y) x y z = f[(x, y), (x, y),(x, y)] (x, y)
特殊地z=∫(u2x,y)其中W=y(x,y) 即z=∫[y(x,y),x,y],令V=x,W=y ay O 0 ax au0,Ow az af au. of azof0x」似 别 ax au ax ax Oy ou ay 类 两者的区别 把z=∫(u,x,y 复合函数z=f(x,y,x,y中的u及y看作不 中的y看作不变而对的偏导数变而对x的偏导数 上一页下一页返回
, x f x u u f x z + = . y f y u u f y z + = 即 z = f[(x, y), x, y], 令 v = x, w = y, =1, x v = 0, x w = 0, y v =1. y w 把复合函数 z = f [ (x, y), x, y] 中的y看作不变而对x的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的u及 y 看作不 变而对x的偏导数 两者的区别 区 别 类 似 特殊地 z = f (u, x, y) 其中 u = (x, y)
例1设z=e“sinν,而l=x,v=x+y az a 求和 解 az az. au az av ax au ax ay ax esinv.y+e" cosv]-=e(sin v+cos v) az a au az av Oy au ay av =e"sinv:x+e"cosp·le“( Rainy+cosv) 上一页下一页返回
解 = e sinv y + e cos v 1 u u e ( ysinv cos v), u = + = e sinv x + e cos v 1 u u e (xsinv cos v). u = + 例 1 设 ， 而 ， 求 和 . xz yz z e v u = sin u = xy v = x + y xv vz xu uz xz + = yv vz yu uz yz + =
例2设了≡Wv+sint,而u=e,ν≡cost, 求全导数 解dOz.m0z.cDz dt au dt av dt at =ve -usint+ cos t =e cost-e sint+ cos t e(cost-sint)+ cost. 上一页下一页返回
例 2 设z = uv + sint，而 t u = e ，v = cost， 求全导数 dt dz . 解 t z dt dv v z dt du u z dt dz + + = ve u t t t = − sin + cos e t e t t t t = cos − sin + cos e (cost sin t) cost. t = − +