ut ed 第五节空间直线及其方程 、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称方穆与参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 五、点到直线的距离 六、杂例
第五节 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、点到直线的距离 六、杂例
空间直线的一般方程 定义空间直线可看成两平面的交线 II,: Ax+B,y+C13+D=0 ∏2:A2x+B2y+C2z+D2=0 x+ B,y+C1+ D=0 Ax+ B,y+C+D,=0 空间直线的一般方程x 上一页下一页返回
x y z o 1 2 定义 空间直线可看成两平面的交线． 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 空间直线的一般方程 L 一、空间直线的一般方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义: 如果一非零向量平行于 条已知直线,这个向量称 为这条直线的方向向量 M(x0,y0,x),M(x,y,z), M∈L,MM∥/sx s=m,n,P,, MoM=x-xo,y-o,z-zoi 上一页下一页返回
x y z o 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量． s L ( , , ), 0 0 0 0 M x y z M0 M M L, M(x, y,z), M M s 0 // s = {m, n, p}, { , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z 二、空间直线的对称式方程与参数方程
y=yo 3-30 直线的对称式方程 令x=yy=x-=t n P x=xo+ t 直线的一组方向数 1y=yo+nt 方向向量的余弦称为 t pt 直线的方向余弦 直线的参数方程 上一页下一页返回
p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 直线的对称式方程 t p z z n y y m x x = − = − = 令 − 0 0 0 = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 直线的一组方向数 方向向量的余弦称为 直线的方向余弦. 直线的参数方程
例1用对称式方程及参数方程表示直线 x+y+z+1=0 2x-y+3x+4=0 解在直线上任取一点(x,y,z) 「yo+zn+2=0 取x0=1→ 3 6=0 解得y=0,z0=-2 点坐标(1,0,-2), 上一页下一页返回
例1 用对称式方程及参数方程表示直线 . 2 3 4 0 1 0 − + + = + + + = x y z x y z 解 在直线上任取一点 ( , , ) 0 0 0 x y z 取 x0 = 1 , 3 6 0 2 0 0 0 0 0 − − = + + = y z y z 解得 y0 = 0, z0 = −2 点坐标 (1,0,−2)
因所求直线与两平面的法向量都垂直 取§=n×n 对称式方程 x-1y-0x+2 3 y=1+4t 参数方程{y=-t 2-3t 上一页下一页返回
因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 n1 n2 s = = {4,−1,−3}, 对称式方程 , 3 2 1 0 4 1 − + = − − = x − y z 参数方程 . 2 3 1 4 = − − = − = + z t y t x t
例2一直线过点A(2,-3,4),且和y轴垂直相 交,求其方程. 解因为直线和y轴垂直相交 所以交点为B(0,-3,0) 取s=BA={2,0,4}, 所求直线方程 x-2y+3x-4 2 0 上一页下一页返回
例 2 一直线过点A(2,−3,4),且 和 y轴垂直相 交，求其方程. 解 因为直线和 y 轴垂直相交, 所以交点为 B(0,−3, 0), 取 s = BA = {2, 0, 4}, 所求直线方程 . 4 4 0 3 2 2 − = + = x − y z
两直线的夹角 定义两直线的方向向量的夹角称之.(锐角) 直线L1:m;1 x-x y-y1 4- 直线L2: -x2 y=y2 3-L2 I m,m,+nn,+p,p, COS(Lr,L2) 2 m+n1+p1·√m2+m2+p 两直线的夹角公式 上一页下一页返回
定义 直线 : L1 , 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x − = − = − 直线 : L2 , 2 2 2 2 2 2 p z z n y y m x x − = − = − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 | | cos( , ) m n p m n p m m n n p p L L + + + + + + ^ = 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角） 两直线的夹角公式 三、两直线的夹角
两直线的位置关系 (1)L1⊥L2∈→m1m2+n12+P1P2=0, (2)L1∥/L2<→ 例如,直线L1:51={1,-4,0}, 直线L2:52={0,0,1, 即L1⊥L2 上一页下一页返回
两直线的位置关系： 1 2 (1) L ⊥ L 0, m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 1 2 (2) L // L , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = = 直线 : L1 直线 : L2 {1, 4, 0}, s1 = − {0,0,1}, s2 = 0, s1 s2 = , 1 2 s s ⊥ 例如， . 即 L1⊥L2
例3求下列两直线: L1:{422=0 4x+y-6z+2=0 与L 2x+y-2z=0 3z-2=0 的夹角 解直线L1的方向向量S1=(3,-4,2)×(2,1,2)=(10,2,1) 直线L2的方向向量s2=(4,1,6)×(0,-1)=(3,12,4) 10×3+2×12+11×4 98 cos pp √102+22+112、32+122+42195 98 所求L1与L2的夹角φ为=rc0s 195 上一页下一页返回
例3 求下列两直线： + − = − − = 2 2 0 3 4 2 0 : 1 x y z x y z L 与 − − = + − + = 3 2 0 4 6 2 0 : 2 y z x y z L 的夹角. 解直线L1的方向向量 (3, 4, 2) (2,1, 2) (10,2,11) 1 = − − − = → s 195 98 10 2 11 3 12 4 |10 3 2 12 11 4 | cos 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + = 所求L1与L2的夹角 直线L2的方向向量 (4,1, 6) (0,1, 1) (3,12,4) 2 = − − = → s 195 98 为 = ar cos