ut ed 第九章重积分 元函数定积分是求与定义在某一区 的函激有关的其种总量的数学模型, 作为推广,二元函数的重积分是求与定 义在某一平面区域上的函数有关的某种总 量的数学模型,三元函数的三重积分是求 与定义在某一空间区域上的函数有关的某 种总量的数学模型,这些模型的数学结构 相同,都是和式的极限
第九章 重积分 一元函数定积分是求与定义在某一区 间上的函数有关的某种总量的数学模型， 作为推广，二元函数的二重积分是求与定 义在某一平面区域上的函数有关的某种总 量的数学模型，三元函数的三重积分是求 与定义在某一空间区域上的函数有关的某 种总量的数学模型，这些模型的数学结构 相同，都是和式的极限
ut ed 第一节二重积分的概念及性质 问题的提出 二二重积分的定义 二重积分的性质 四小结
第一节 二重积分的概念及性质 一 问题的提出 二 二重积分的定义 三 二重积分的性质 四 小结
、问题的提出 1曲顶柱体的体积 曲顶柱体其顶为曲面z=f(x,y) 底面为平面区域D,求此曲顶柱体的体积 解:对区域D进行网状分割(如图) D区域D可分割成n个小区域: 1 上一页下一页返回
一、问题的提出 解：对区域D进行网状分割（如图） 1 曲顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平面区域 D,求此曲顶柱体的体积。 z = f (x, y) i n , , D n ， ， ） 区域 可分割成 个小区域： 1 2 1
f(,y) O 曲顶柱体的体积V=lm∑f(5, -0 上一页下一页返回
x z y o D z = f (x, y) i • ( , ) i i lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = → 曲顶柱体的体积
2)近似:每个个小区域△G1内任取一点(5 则每个小曲顶柱体的体积近似为: △V1≈f(2;,1)△o 3)求和:所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为 ∑Av≈∑∫(,n)可 i=1 4)取极限:F=m∑/(,m)△ 其中2=max{a的直径} l≤i<n 上一页下一页返回
2）近似： 每个个小区域 i 内任取一点 ( , ), i i 则每个小曲顶柱体的体积近似为： i i i i V f ( , ). 3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为 = = n i i i i n i i V f 1 1 ( , ) 4）取极限： ( ) = → = n i i i i V f 1 0 lim , 其中 i 的直径 i n = 1 max
2平面薄片的质量 设平面薄片占有xoy面上的区域为D,它在点 (x,y)处的密度为(x,y) 求:此薄片的质量 1)区域D可分割成个小区域: 1>O02 2)取点(,n)e△ 3)作和∑(,m)△σ 4)取极限M=Lim∑r(;,n)△a 上一页下一页返回
2 平面薄片的质量 2）取点 3）作和 4）取极限 ( ) i i i , ( ) = → = n i i i i M Lim r 1 0 , i n D n , , 1) 1 ， 2 ， 区 域 可分割成 个小区域： 设平面薄片占有xoy面上的区域为D，它在点 （ x , y )处的密度为 求：此薄片的质量 r(x, y) ( ) = n i i i i r 1 ,
二、二重积分的定义 定义设∫(x,y)是有界闭区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小闭区域△G1 △a2,…,△an,其中△G表示第i个小闭区域 也表示它的面积,在每个△σ,上任取一点 作乘积∫(5;,n)△o; 并作和∑∫(51,m)△a, 上一页下一页返回
二、二重积分的定义 定 义 设 f ( x, y)是有界闭区域D 上的有界函 数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 1 ， 2 , ， n，其中 i 表示第i个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点 ( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数∫(x,y) 在闭区域D上的二重积分, 记为f(x,y)da, 即址/(,Im∑/5,n) 积被积 被面 分积分 积积积 区函变 域数量 表达式 元分 素和 上一页下一页返回
积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上 的二重积分， 记 为D f (x, y)d ， 即D f (x, y)d i i ni i f = = → lim ( , ) 1 0 . 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素
注:1在二重积分定义中,对区域D的 划分是任意的,_果在直角坐标系中用平 行于坐标轴的直线网来划分D,则除了包含, 边界的一些小闭区域外,其余的小闭区域 都是矩形闭区域。设矩形小闭区域△O 的边长为Ax,和△y 则△σ=△xAyk 故在直角坐标系中, 上一页下一页返回
注： 1 在二重积分定义中，对区域D的 划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平 边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域 j x 则 i j k = x y 故在直角坐标系中， 都是矩形闭区域。设矩形小闭区域 i 的边长为 , k 和 y 行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含
直角坐标系下面权元素们图示』八()g do =dxdy f∫(x,y)d △ 0 △ 上一页下一页返回
0 x y D j x i k y 直角坐标系下面积元素 d 图示 D f (x, y)dxdy d = dxdy, ( ) D f x, y d
