ut ed 第三节功/水和压力 变力沿直线所作的功 水压力 三引力 四小结
一 变力沿直线所作的功 二 水压力 三 引力 四 小结 第三节 功 水和压力
变力沿直线所作的功 由物理学知道,如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F作用在这物体上,且 这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在 物体移动了距离时,力F对物体所作的功为 W=F s 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的,就会遇到变力作功的问题,不能直接使用 此公式,而可以采用“元素法”解决。 上一页下一页返回
由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离s 时，力 F 对物体所作的功为 W = F s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就会遇到变力作功的问题，不能直接使用 此公式，而可以采用“元素法”解决。 一 变力沿直线所作的功
例1把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐 标原点处,它产生一个电场.这个电场对周围的 电荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位正 电荷放在这个电场中距离原点为r的地方,那么 电场对它的作用力的大小为F=k,(k是常 数),当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿r 轴移动到r=b处时,计算电场力F对它所作 的功 上一页下一页返回
例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在 r 轴上坐 标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的 电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正 电荷放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么 电场对它的作用力的大小为 2 r q F = k （k是常 数），当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作 的功．
解取r为积分变量,a7/b r∈[{a,b], 取r,r+为[a,b]上的任一小区间,电场力在此小 区间上所作的功近似等, 即功元素为w=xa, 所求功为k=k句(11 上一页下一页返回
解 取r为积分变量， o r • + q a b • • • • • • • + 1 r r [a,b], r + dr 即功元素为 , 2 dr r kq dw = 所求功为 dr r kq w b a = 2 b a r kq = − 1 . 1 1 = − a b kq 区间上所作的功近似等于 取[r,r + dr]为[a,b]上的任一小区间,电场力在此小 , 2 dr r kq
例2一圆柱形蓄水池高为5米,底 半径为3米,池内盛满了水.问要把 池内的水全部吸出,需作多少功? 解建立坐标系如图 取为积分变量,x∈[0,5 m 取任一小区间[x,x+dkl, 上一页下一页返回
例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底 半径为 3 米，池内盛满了水.问要把 池内的水全部吸出，需作多少功？ 解 建立坐标系如图 x o x x + dx 取x为积分变量，x[0,5] 取任一小区间 ] 5 [x, x + dx , 5m 3m
这一薄层水的重力为 9.8元.32dx 功元素为dp=8:27x:dk,5m 5 W=|88.2π·x·d 3ml 2 88.2 ≈3462(千焦 2 上一页下一页返回
这一薄层水的重力为 dx 2 9.8 3 功元素为 dw = 88.2 x dx, w = x dx 88.2 5 0 5 0 2 2 88.2 = x 3462 (千焦)． x o 3m 5m
二水压力 由物理学知道,在水深为h处的压强 为p=m,这里y是水的比重.如果有 面积为A的平板水平地放置在水深少炉 处,那么,平板一侧所受的水压力 P=p·A. 如果平板垂直放置在水中,由于水深 不同的点处压强P不相等,平板一侧所受 的水压力就不能直接使用此公式,而采用 “元素法” 上一页下一页返回
由物理学知道，在水深为h 处的压强 为 p = h，这里 是水的比重．如果有一 面积为 A的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一侧所受的水压力为 P = p A． 如果平板垂直放置在水中，由于水深 不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受 的水压力就不能直接使用此公式，而采用 “元素法”． 二 水压力
例3一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶 水,设桶的底半径为R,水的比重为,计算 桶的一端面上所受的压力 解在端面建立坐标系如图 取为积分变量x∈0,R 取任一小区间[x,x+dx] 小矩形片上各处的压强近 似相等P=x, 小矩形片的面积为2√R2-x2dx 上一页下一页返回
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶 水，设桶的底半径为R，水的比重为 ，计算 桶的一端面上所受的压力． 解 在端面建立坐标系如图 x o 取x为积分变量，x [0,R] 取任一小区间[x, x + dx] x x + dx 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片的面积为2 . 2 2 R − x dx p = x
小矩形片的压力元素为P=2yR2-x2 端面上所受的压力 R x√R2-xtc R yn√R2-x2d(R2-x2) R R-x R 3 上一页下一页返回
小矩形片的压力元素为dP x R x dx 2 2 = 2 − 端面上所受的压力 P x R x dx R 2 2 0 = 2 − ( ) 2 2 0 2 2 R x d R x R = − − − ( ) R R x 0 3 2 2 3 2 = − − . 3 2 3 R =
ˉ例4将斜边定长为L的直角三角形薄 板垂直地浸人水中,斜边朝下,使一直角 边的边长与水面重合,问斜边与此直角边 的夹角θ多大时,才能使薄板一侧所受水 的压力最大? 解建立坐标系如图 2a 则斜边所在直线方程 y=(-cot6)x+Lc0s6,(0<6< 压力微元 dp=y x(ydx)=xlcot 0)x+ lcos edx 上一页下一页返回
例 4 将斜边定长为 L 的直角三角形薄 板垂直地浸人水中，斜边朝下，使一直角 边的边长与水面重合，问斜边与此直角边 的夹角 多大时，才能使薄板一侧所受水 的压力最大？ 解 建立坐标系如图 L xo 2a 则斜边所在直线方程 dp x ydx x x L dx y x L ( ) [( cot ) cos ] ) 2 ( cot ) cos ,(0 = = − + = − + 压力微元
