ut ed 第四节定积分的分部积分法 分部积分法 例题
一、分部积分法 二、例题 第四节 定积分的分部积分法
、分部积分法 分部积分公式设函数=(x),v=v(x) 在[a,6上具有连续导数l,v则 uv'dr=luvP-lu'vdx 或mob=[v-w 2.说明 上一页下一页返回
1.分部积分公式 设函数 在 上具有连续导数 则 u = u(x),v = v(x) a,b u ,v , uv dx uv u vdx； b a b a b a = − udv uv vdu b a b a b a 或 = − 2.说明 一、分部积分法
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限,对 于不含积分号的D项需将积分上下限代入求 差,另一项vh仍按定积分继续计算 (2)应用分部积分公式时,被积函数和的选 取与不定积分的方法一样,需注意的是由于求 定积分,应观察积分区间是否关于原点对称, 被积函数是否是奇函数或偶函数,以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算 上一页下一页返回
u v (1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 项需将积分上下限代入求 差，另一项 vdu 仍按定积分继续计算. b a uv (2)应用分部积分公式时,被积函数 和 的选 取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求 定积分，应观察积分区间是否关于原点对称， 被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算
二、例题 例1计算「xex 解 nXe dx=ha xde Xe e 上一页下一页返回
例1 计算 xe dx . x 1 0 解 1 1 = − 0 = x e e x x xe dx xde = 1 0 1 0 xe e dx x x = − 1 0 1 0 二、例题
例2计算[4sin√xx 解4sin√xax x=0=02xs入 t=√x,dx=2td =2 tsin tdt 4 =-2 td(cost 2 lt cost+2 2 cos tdt 上一页下一页返回
例 2 计算 xdx . 4 0 2 sin 解 t tdt x t x t t x dx tdt = = = = = = 2 2 0 2 sin 2 , 4 0, 0;, 2 xdx 40 2 sin 2 td(cost) 2 0 = − t t tdt = − + 20 20 2 cos 2 cos
=2lsint2=2 例3设f(x)=t,求x(x sinx 解( 1x/=22 2x= X f(0-=「 sin t dt=0 ↓(=//x2 上一页下一页返回
2sin 2 2 = 0 = t 例 3 设 ( ) dt ， 求 . t t f x x = 2 1 sin xf (x)dx 10 解 ( ) x x x x x f x 2 2 2 2sin 2 sin = = ( ) 0 sin 1 11 = = dt t t f ( ) ( ) = 22 10 10 x xf x dx f x d
W f(x) 1X df(x) X 202 f(xdx x sinx adx sinx dx SInx dx cosr COS 2 2 上一页下一页返回
( ) df (x) x f x x − = 1 0 2 1 0 2 2 2 ( ) f (x)dx f x = − 1 0 2 2 2 1 dx x x x 2 1 0 2 2sin 2 = − x x dx = − 1 0 2 sin (cos1 1) 2 1 cos 2 1 sin 2 1 1 0 2 2 1 0 2 = − = = − x dx x
例4证明定积分公式 n sin"xdx=2 coS"xdx n-1n-33 n为正偶数, nn-2422 n-1n-342 n为大于1的正奇数 53 证 sin”xol(cosx) 上一页下一页返回
例4 证明定积分公式 I xdx xdx n n n = = 2 0 2 0 sin cos − − − − − − = ... ,n . n n n n ... n n n n n 为大于 的正奇数 ， 为正偶数， 1 3 2 5 4 2 1 3 2 2 1 4 3 2 1 3 证 I xd( x) n n sin cos 2 0 1 − = −
=-Sln"x·cosx+(n slnx·cos"x x n-2 2 12 SIn x =(n No onn e Sin Xo (n-1)n2-(n-1)n 12 1n2…积分递推公式 上一页下一页返回
( ) = − + − − − 2 0 2 2 2 0 1 sin cos 1 sin cos x x n x xdx n n (n ) x( x)dx n = − − − 2 0 2 2 1 sin 1 sin ( ) ( ) = − − − − 2 0 2 0 2 1 sin 1 sin n xdx n xdx n n ( ) ( ) n n n 1 I n 1 I = − −2 − − , 1 −2 − n = n I n n I 积分递推公式
n-4 ,直到Ⅰ,的下标n递减 n-2 到0或1为止.于是 2m-12m-32m-5531 m2m2m-22m-4¨6420 2m2m-22m-4642 2m+1 2m+12m-12m-37531 (m=1,2,3 上一页下一页返回
, , 2 3 −2 −4 − − n = n I n n I n 直到 I 的下标 n 递减 到0或1为止.于是 2 0 2 1 4 3 6 5 ... 2 4 2 5 2 2 2 3 2 2 1 I m m m m m m I m − − − − − = 2 1 1 3 2 5 4 7 6 ... 2 3 2 4 2 1 2 2 2 1 2 I m m m m m m I m − − − − + + = (m =1,2,3,...)