第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-1 54有效数字及其应用 在科学实验中,为了得到准确的测量结果,不 仅要准确地测定各种数据,而是还要正确地记录和 计算。分析结果的数值不仅表示试样中被测成分含 量的多少,而且还反映了测定的准确程度。所以, 记录实验数据和计算结果应保留几位数字是一件很 重要的事,不能随便增加或减少位数。例如用重量 法测定硅酸盐中的SO2时,若称取试样重为04538 克,经过一系列处理后,灼烧得到SO2沉淀重 01374克,则其百分含量为 siO2%=(0.1374/0.4538)×100%30.277655354%
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-1 5-4 有效数字及其应用 在科学实验中，为了得到准确的测量结果，不 仅要准确地测定各种数据，而是还要正确地记录和 计算。分析结果的数值不仅表示试样中被测成分含 量的多少，而且还反映了测定的准确程度。所以， 记录实验数据和计算结果应保留几位数字是一件很 重要的事，不能随便增加或减少位数。例如用重量 法测定硅酸盐中的SiO2时，若称取试样重为0.4538 克，经过一系列处理后 ，灼烧得到SiO2沉淀重 0.1374克，则其百分含量为： SiO2 % =(0.1374/0.4538)×100%＝30.277655354%
第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-2 上述分析结果共有1位数字,从运算来讲,并 无错误,但实际上用这样多位数的数字来表示上述 分析结果是错误的,它没有反映客观事实,因为所 用的分析方法和测量仪器不可能准确到这种程度。 那么在分析实验中记录和计算时,究竟要准确到什 么程度,才符合客观事实呢?这就必须了解“有效 数字”的意义。 有效数字的意义及位数 有效数字是指在分析工作中实际上能测量到的 数字。记录数据和计算结果时究竟应该保留几位数 字,须根据测定方法和使用仪器的准确程度来决定。 在记录数据和计算结果时,所保留的有效数字中 只有最后一位是可疑的数字
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-2 上述分析结果共有11位数字，从运算来讲，并 无错误，但实际上用这样多位数的数字来表示上述 分析结果是错误的，它没有反映客观事实，因为所 用的分析方法和测量仪器不可能准确到这种程度。 那么在分析实验中记录和计算时，究竟要准确到什 么程度，才符合客观事实呢？这就必须了解“有效 数字”的意义。 一、有效数字的意义及位数 有效数字是指在分析工作中实际上能测量到的 数字。记录数据和计算结果时究竟应该保留几位数 字，须根据测定方法和使用仪器的准确程度来决定。 在记录数据和计算结果时，所保留的有效数字中， 只有最后一位是可疑的数字
第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-3 例如:坩埚重185734克六位有效数字 标准溶液体积2441毫升四位有效数字 由于万分之一的分析天平能称准至±0.0001克, 滴定管的读数能读准至±0.01毫升,故上述坩埚重 应是18.5734士0.0001克,标准溶液的体积应是 2441±0.01毫升,因此这些数值的最后一位都是可 疑的,这一位数字称为“不定数字”。在分析工作 中应当使测定的数值,只有最后一位是可疑的。 有效数字的位数,直接与测定的相对误差有关。 例如称得某物重为05180克,它表示该物实际重量 是0.5180±0.0001克,其相对误差为 (±0.00010.5180)×100%=±0.02%
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-3 例如： 坩埚重18.5734克 六位有效数字 标准溶液体积24.41毫升 四位有效数字 由于万分之一的分析天平能称准至±0.0001克， 滴定管的读数能读准至±0.01毫升，故上述坩埚重 应 是 18.5734±0.0001 克 ， 标 准 溶 液 的 体 积 应 是 24.41±0.01毫升，因此这些数值的最后一位都是可 疑的，这一位数字称为“不定数字” 。在分析工作 中应当使测定的数值，只有最后一位是可疑的。 有效数字的位数，直接与测定的相对误差有关。 例如称得某物重为0.5180克，它表示该物实际重量 是0.5180±0.0001克，其相对误差为： (±0.0001/0.5180)×100%＝±0.02%
第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-4 如果少取一位有效数字,则表示该物实际重 量是0.518±0.001克,其相对误差为 (±0.001/0.518)×100%≡±0.2% 表明测量的准确度后者比前者低10倍。所以在测 量准确度的范围内,有效数字位数越多,测量也 越准确。但超过测量准确度的范围,过多的位数 是毫无意义的。 必须指出,如果数据中有“0”时,应分析具 体情况,然后才能肯定哪些数据中的“0是有效 数字,哪些数据中的“0”不是有效数字
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-4 如果少取一位有效数字，则表示该物实际重 量是0.518±0.001克，其相对误差为： (±0.001/0.518)×100%＝±0.2% 表明测量的准确度后者比前者低10倍。所以在测 量准确度的范围内，有效数字位数越多，测量也 越准确。但超过测量准确度的范围，过多的位数 是毫无意义的。 必须指出，如果数据中有“0”时，应分析具 体情况，然后才能肯定哪些数据中的“0”是有效 数字，哪些数据中的“0”不是有效数字。 x
第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-5 例如: 1.0005 五位有效数字 05000;31.05%;6.023×102四位有效数字 0.0540:1.86×10-5 位有效数字 0.0054;0.40% 两位有效数字 0.5;0.002% 位有效数字 在1.0005克中的三个“0”,0.5000克中的后 个“0”,都是有效数字;在0.0054克中的“0”只 起定位作用,不是有效数;在0.0540克中,前面的 “0”起定位作用,最后一位“0是有效数字。同 样,这些数值的最后一位数字,都是不定数字
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-5 例如: 1.0005 五位有效数字 0.5000；31.05% ；6.023×102 四位有效数字 0.0540；1.86×10-5 三位有效数字 0.0054；0.40% 两位有效数字 0.5 ； 0.002% 一位有效数字 在1.0005克中的三个“0” ，0.5000克中的后 三个“0” ，都是有效数字；在0.0054克中的“0”只 起定位作用，不是有效数；在0.0540克中，前面的 “0”起定位作用，最后一位“0”是有效数字。同 样，这些数值的最后一位数字，都是不定数字
第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-6 因此,在记录测量数据和计算结果时,应根据 所使用的仪器的准确度,必须使所保留的有效数字 中,只有最后一位数是“不定数字”。例如,用感 量为百分之一克的台秤称物体的重量,由于仪器本 身能准确称到±001克,所以物体的重量如果是 10.4克,就应写成10.40克,不能写成10.4克。 分析化学中还经常遇到pH、pC、lgK等对数 值,其有效数字的位数仅取决于小数部分数字的位 数,因整数部分只说明该数的方次。例如,pH 12.68,即[H=21×⑩013mo/L,其有效数字为两 位,而不是四位
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-6 因此，在记录测量数据和计算结果时，应根据 所使用的仪器的准确度，必须使所保留的有效数字 中，只有最后一位数是“不定数字” 。例如，用感 量为百分之一克的台秤称物体的重量，由于仪器本 身能准确称到±0.0l克，所以物体的重量如果是 10.4克，就应写成10.40克，不能写成10.4克。 分析化学中还经常遇到pH、pC、lgK等对数 值，其有效数字的位数仅取决于小数部分数字的位 数，因整数部分只说明该数的方次。例如，pH＝ 12.68，即[H+ ]＝2.1×l0-13mol/L，其有效数字为两 位，而不是四位
第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-7 对于非测量所得的数字,如倍数、分数、π e等等,它们没有不确定性,其有效数字可视为无 限多位,根据具体情况来确定。 另外,如果有效数字位数最少的因数的首位 数是“8”或“9,则有效数字可认为比这个因数 多取一位。 数字修约规则 “四舍六入五留双”。 具体的做法是,当尾数<4时将其舍去;尾数 ≥6时就进一位;如果尾数为5而后面的数为0时则 看前方:前方为奇数就进位,前方为偶数则舍去 当“5”后面还有不是0的任何数时,都须向前进 位,无论前方是奇还是偶数,“0则以偶数论
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-7 对于非测量所得的数字，如倍数、分数、π、 e等等，它们没有不确定性，其有效数字可视为无 限多位，根据具体情况来确定。 另外，如果有效数字位数最少的因数的首位 数是“8”或“9” ，则有效数字可认为比这个因数 多取一位。 二、数字修约规则 “四舍六入五留双”。 具体的做法是，当尾数≤4时将其舍去；尾数 ≥6时就进一位；如果尾数为5而后面的数为0时则 看前方：前方为奇数就进位，前方为偶数则舍去； 当“5”后面还有不是0的任何数时，都须向前进一 位，无论前方是奇还是偶数，“0”则以偶数论
第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-8 0.53664-0.53660.58346-0.583510.2750-10.28 16.4050→164027.1850→27.1818.06501→18.07 必须注意:进行数字修约时只能一次修约到指 定的位数,不能数次修约,否则会得出名正错误的 结果。 有效数字的运算规则 )加减法 当几个数据相加或相减时、它们的和或差的有 效数字的保留,应以小数点后位效最少,即绝对误 差最大的的数据为依据。例如0.0121、2564及 105782三数相加,若各数最后一位为可疑数字,则 2564中的4已是可疑数字。因此,三数相加后,第 二位小数已属可疑,其余两个数据可按规则进行修 约、整理到只保留两位小数
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-8 0.53664→0.5366 0.58346→0.5835 10.2750→10.28 16.4050→16.40 27.1850→27.18 18.06501→18.07 必须注意：进行数字修约时只能一次修约到指 定的位数，不能数次修约，否则会得出名正错误的 结果。 三、有效数字的运算规则 (一)加减法 当几个数据相加或相减时、它们的和或差的有 效数字的保留，应以小数点后位效最少，即绝对误 差最大的的数据为依据。例如0.0121、25.64及 1.05782三数相加，若各数最后一位为可疑数字，则 25.64中的4已是可疑数字。因此，三数相加后，第 二位小数已属可疑，其余两个数据可按规则进行修 约、整理到只保留两位小数
第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-9 因此,0.0121应写成001;1.05782应写成1.06; 者之和为: 0.01+25.64+1.06=26.71 在大量数据的运算中。为使误差不迅速积累, 对参加运算的所有数据,可以多保留一位可疑数字 (多保留的这一位数字叫“安全数字”)。如计算 52727、0.075、3.7及212的总和时,根据上述规则, 只应保留一位小数。但在运算中可以多保留一位, 故52727应写成52;0.075应写成0.03;2.12应写成 212。因此其和为: 52+0.08+3.7+212=11.17 然后、再根据修约规则把111,整化成12
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-9 因此，0.0121应写成0.01；1.05782应写成1.06； 三者之和为： 0.01+25.64+1.06＝26.71 在大量数据的运算中。为使误差不迅速积累， 对参加运算的所有数据，可以多保留一位可疑数字 (多保留的这一位数字叫“安全数字”)。如计算 5.2727、0.075、3.7及2.12的总和时，根据上述规则， 只应保留一位小数。但在运算中可以多保留一位， 故5.2727应写成5.27；0.075应写成0.08；2.12应写成 2.12。因此其和为： 5.27+0.08+3.7+2.12 ＝11.17 然后、再根据修约规则把11.17整化成11.2
第十二讲 第三章误差和分析数据和得理 12-10 (二)乘除法 几个数据相乘除时,积或商的有效数字的保留, 应以其中相对误差最大的那个数,即有效数字位数 最少的那个数为依据。 例如求00121、2564和1.05782三数相乘之积 设此三数的最后一位数字为可疑数字,且最后一位 数字都有±1的绝对误差,则它们的相对误差分别 为:0.0121:±1/121×1000%0=±8‰ 25.64:±1/2564×1000‰=±0.4‰ 1.05782:士1/105782×1000%=±0.009‰ 第一个数是三位有效数字,其相对误差最大, 以此数据为依据,确定其他数据的位数,即按规则 将各数都保留三位有效数字然后相乘:
第十二讲 第三章 误差和分析数据和得理 12-10 (二)乘除法 几个数据相乘除时，积或商的有效数字的保留， 应以其中相对误差最大的那个数，即有效数字位数 最少的那个数为依据。 例如求0.0121、25.64和1.05782三数相乘之积。 设此三数的最后一位数字为可疑数字，且最后一位 数字都有±1的绝对误差，则它们的相对误差分别 为： 0.0121：±1/121×1000‰＝±8‰ 25.64： ±1/2564×1000‰＝±0.4‰ 1.05782：±1/105782×1000‰＝±0.009‰ 第一个数是三位有效数字，其相对误差最大， 以此数据为依据，确定其他数据的位数，即按规则 将各数都保留三位有效数字然后相乘：