ut ed 第一节导数的基本视念 问题的提出 导数的定义 求导数举例 四导数的几何意义 五可导与连续的关系 六小结
第一节 导数的基本概念 一 问题的提出 二 导数的定义 三 求导数举例 四 导数的几何意义 五 可导与连续的关系 六 小结
问题的提出 1.变柬直线运动的速度问题 如图,设动点于时刻的位置函数为s=(t) 求时刻的瞬时速度 取一邻近于t的时刻运动时间△t 平均速度ⅴ s-So s(t)-s(to At t-t 当t→t时,取极限得 瞬时速度ν=limt)-s(tn) 上一页下一页返回
1.变速直线运动的速度问题 , 0 t , t 一、问题的提出 求 时刻的瞬时速度 如图,设动点于时刻的位置 t 函数为 s = s(t) 0 t 取一邻近于 的时刻 运动时间 , t s v 平均速度 = 0 t t t 0 0 0 0 ( ) ( ) t t s t s t t t s s − − = − − = 0 t → t 取极限得 瞬时速度 当 . ( ) ( ) lim 0 0 0 t t s t s t v t t − − = → 时
2.切线问题割线的极限位置切线位置 40 T 10 1.251.51.75 2.252.52.75 上一页下一页返回
2.切线问题 割线的极限位置—切线位置 播放 M N T
如图,如果割线MN绕 f(r) 点M旋转而趋向极限位 置M,直线M就称为曲 线C在点M处的切线 C M 极限位置即 0 MN→0,∠MMT→0.设M(xn,y,N(x,y) 割线M的斜率为A-pnf(x)-f(xn) N沿线S 0 M,x→x0 切线M的斜率为k=tana=lim f(x)-f(xo) 0 上一页下一页返回
T 0 o x x x y y = f (x) C N M T 0 o x x x y y = f (x) C N M 如图, 极限位置即 MN → 0,NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 沿曲线 ⎯→C → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = → 如果割线 绕 点 旋转而趋向极限位 置 ,直线 就称为曲 线 在点 处的切线. MN M MTC MT M
、导数的定义 1.函数在一点处的导数 定义1.设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义当自变量x在x处取得增量Ax(点 x+x仍在该邻域内)时,相应地函数y取 得增量Ay=f(x0+△x)-∫(x);如果△y与 △x之比当△x→>0时的极限存在则称函数 卩=∫(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x)在点处的导数记为yx=m 上一页下一页返回
( 1.函数在一点处的导数 二、导数的定义 y 数 在点 处的导数,记为 在点 处可导,并称这个极限为函 之比当 时的极限存在,则称函数 得增量 如果 与 仍在该邻域内)时,相应地函数 取 有定义当自变量 , 在 处取得增量 点 定义1.设函数 y = f (x) 在点 x0 的某个邻域内 x x0 x x + x0 x x→ 0 y = f (x) x0 x0 y = f (x) ( ) ( ); y = f x0+x − f x y . 0 ' x x y =
dy ,f"(x0) 即y以=lif(x+Ax)-∫(x) m 0△x>0△x A→ 0 △v 导数的定义也可为下列形式: ∫(x)=iJ(x)-f(x0) 0 上一页下一页返回
导数的定义也可为下列形式： . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) 0 x0 f dx dy x x = 即
2.函数在区间内的导数 定义2如果函数y=∫(x)在区间/内的每点 处都可导,就称函数f(x)在开区间内可导 对于任一x∈,都对应着(x)的一个确定的 导数值这个函数叫做原来函数f(x)的导函数 记作y(x),或(x) 即y=hif(x+Ax)-f(x) △x→>0 △ 很明显f(xn)=f(x) 上一页下一页返回
2. 函数在区间内的导数 dx df x dx dy y f x ( ) 记作 , ( ) , 或 即 y = x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 很明显 ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x = = . , 定义2 如果函数 在区间 内的每点 导数值.这个函数叫做 原来函数 的导函数 对于任一 都对应着 的一个确定的 处都可导，就称函数 在开区间 内可导. y = f (x) f (x) f (x) f (x) I I x I
3单侧导数 左导数: f(xo)=lim /(x)-f(x,) lim f(x+△x)-∫(x) x→x0 右导数: f(o=lim ∫(x)-f(x)imnf(x+△x)-∫(x) x→x r △v 函数f(x)在x点可导令→>f(x)f(x0)存 在,且f(x0)=∫(x0) 上一页下一页现回
3 单侧导数 左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → − → − − 右导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → + → + + ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 0 ' 0 ' 0 ' 0 ' 0 f x f x f x x f x f x + − + − = 在,且 函数 在 点可导 、 存
定义3如果f(x)在开区间a,b内可导,且f(a)及 f(b)都存在,就说(x)在闭区间a,b可导 4分段函数的导数 设函数f(x)9(x),x≥ ,讨论在点x的 ly(x),x0 △v v(x0+△x)-(x0) m ∫(x0)存在, △x→>0 △ 上一页下一页返回
定义3 如果 ( )在开区间( , )内可导，且 ( )及 ' f x a b f + a f (b)都存在，就说f (x)在闭区间a,b上可导. ' − 可导性. 设函数 讨论在点 0的 0 0 , ( ), ( ), ( ) x x x x x x x f x = 4.分段函数的导数 x f x x f x + − → ( ) ( ) lim 0 0 x 0- 若 ( )存在, ( ) ( ) lim 0 0 0 ' x 0- f x x x x x − → = + − =
若li f(x0+△x)-f(x0) △x→>0 △x =liny(x+△x)-0(x) f(x0)存在, △x→>0 △x 且f(x0)=f(x)=a, 则f(x)在x可导, 且f(x0)=a 上一页下一页返回
x f x x f x + − → + ( ) ( ) lim 0 0 x 0 若 ( )存在, ( ) ( ) lim 0 0 0 ' x 0 f x x x x x + → = + − = + ( ) . ( ) ( ) ( ) , 0 0 0 ' 0 ' f x a f x x f x f x a = − = + = 且 则 在 可导 且