ut ed 第六节可摩阶的商阶微分方程 y"=f(x)型 y"=f(xy)型 f(,y)型
第六节 可降阶的高阶微分方程 三 型 一 型 二 y = f (x, y ) 型 y = f ( y, y ) ( ) ( ) y f x n =
f(x)型 特点:元素未显含函数y,…,y(m) 解法:连续积分n次,可得通解 例1求方程y"=sinx+x的通解 y=∫(x+ sin.rides 1 x -cosx+ CI y==x-sinx +Cix+ 6 2 x"+coSx十 CI x+cr+ 18 3 上一页下一页返回
特点: , , . ( −1) n 元素未显含函数 y y 解法: 连续积分n次, 可得通解. 一、 y (n) = f (x) 型 例1 求方程y = sin x + x的通解. = + = − + 1 2 cos 2 1 y (x sin x)dx x x C 1 2 3 sin 6 1 y = x − x + C x + C 2 3 2 1 4 2 1 cos 18 1 y = x + x + C x + C x + C
二、y"=f(x,y)型 特点:方程未显含未知数y dP 解法:令y'=P则,y dx 代入原方程得 女=(x,p 设其解为P P(, Cu) 原方程通解为:y=」q(x,C1)x+C 上一页下一页返回
二、 y = f (x, y ) 型 特点: 方程未显含未知数 y 解法: dx dP 令y = P则, y = f (x,P) dx dP 代入原方程得 = ( , ) x C1 dx dP 设其解为 P = = = ( , ) + . x C1 dx C2 原方程通解为: y
例2求方程(1+x2)y"=2xy’的通解 dP 解令y=P,则y P 方程化成(1+x2)=2xP 分离变量 2x dP= P 1+x 积分P=y′=C1(+x 方程的通解为y=C1(x+2x°)+C2 上一页下一页返回
解 (1 ) 2 . 2 例 2 求方程 + x y = xy 的通解 dx dP 令y = P,则y = xP dx dP (1 x ) 2 2 方程化成 + = dx x x dP P 2 1 1 2 + 分离变量 = 积分 P=y =C(1 1+x 2) 2 3 1 ) 3 1 方程的通解为 y = C (x + x + C
三、y"=f(y,y/)型 特点:方程不显含自变量 解法:令=P,则”Pp=pP 中dxdy dP 代入原方程得P=,P 设其解为P=y'=p(y,C1) 原方程通解为 dy=x+C2 P(y, CD) 上一页下一页返回
特点: 方程不显含自变量x 解法: , . dy dP P dx dy dy dP 令y = P 则y = = f ( y,P) dy dP 代入原方程得 P = ( , ) C1 设其解为 P = y = y 2 1 ( , ) 1 dy x C y C = + 原方程通解为 三、 y = f ( y, y ) 型
例3求方程yy"+y2=0的通解 解设y=P(y则=p dP dP y·P",-P2=0,即P(y P)=0 dP 由y-P=0,可得P=C1y 酊=C1,原方程通解为=∽e<x dx 上一页下一页返回
解 0 . 2 例 3 求方程 yy + y = 的通解 ( ), , dy dP 设y = P y 则y = P 0, 2 − P = dy dP y P ( − P) = 0, dy dP 即P y P P C y dy dP y 1 由 − = 0,可得 = C x C y y C e dx dy 1 1 2 = ,原方程通解为 =
例4求方程y"+y2=0的通解 解将方程写成,(yy)=0, 故有yy=C1,即ydy=C1 积分后得通解y2=C1x+C2 注意:这一段技巧性较高,关键是配导数的方程 上一页下一页返回
解 0 . 2 例 4 求方程 yy + y = 的通解 ( yy) = 0, dx d 将方程写成 故有yy = C1 ,即ydy = C1dx 1 2 2 积分后得通解 y = C x + C 注意:这一段技巧性较高,关键是配导数的方程
四、小结 解法通过代换将其化成较低阶的方程来求解 例5求方程y"-y2=0的通解 解两端同乘不为零因子2, 2 0,故y=C1y, d 从而通解为y=C2c 上一页下一页返回
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解. 解 , 1 2 y 两端同乘不为零因子 ( ) 0, 2 2 = = − y y dx d y yy y , 1 故 y = C y 从而通解为 . 1 2 C x y = C e 0 . 2 例 5 求方程 yy − y = 的通解 四、小结
另解原方程变为 两边积分,得Iny=lny+nC,即y′=C1y, 原方程通解为y=C2c 补充题:求方程观yy”-qy2=yy的通解. 解设y=e,代入原方程得zx=z, 解其通解为z=Cx, Crdx 原方程通解为y=e Ce 上一页下一页返回
另解 原方程变为 , y y y y = 两边积分,得 ln y = ln y + lnC1,即 y = C1 y, 原方程通解为 . 1 2 C x y = C e 解 解其通解为 z = C x, . 2 1 2 Cxdx C x y = e = C e 原方程通解为 , = zdx 设 y e 代入原方程,得 z x = z, . 2 补充题: 求方程 xyy − xy = yy 的通解
思考题 已知y1=3,y2=3+x,y3=3+x2+e^都是微分 方程(x2-2x)y-(x2-2)y+(2x-2)y=6(x-1 的解,求此方程所对应齐次方程的通解 上一页下一页返回
已 知 y1 = 3, 2 y2 = 3 + x , x y = + x + e 2 3 3 都是微分 方 程( 2 ) ( 2) (2 2) 6( 1) 2 2 x − x y − x − y + x − y = x − 的解,求此方程所对应齐次方程的通解. 思考题