第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 34有限测定数据的统计处理 置信度与μ的置信区间 日常分析中测定次数是很有限的,总体平均值 自然不为人所知。但是随机误差的分布规律表明, 测定值总是在以p为中心的一定范围内波动,并有 着向μ集中的趋势。因此,如何根据有限的测定结 果来估计μ可能存在的范围(称之为置信区间)是 有实际意义的。该范围愈小,说明测定值与μ愈接 近,即测定的准确度愈高。但由于测定次数毕竟较 少,由此计算出的置信区间也不可能以百分之百的 把握将p包含在内,只能以一定的概率进行判断
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-1 3-4 有限测定数据的统计处理 一、置信度与μ的置信区间 日常分析中测定次数是很有限的，总体平均值 自然不为人所知。但是随机误差的分布规律表明， 测定值总是在以μ为中心的一定范围内波动，并有 着向μ集中的趋势。因此，如何根据有限的测定结 果来估计μ可能存在的范围（称之为置信区间）是 有实际意义的。该范围愈小，说明测定值与μ愈接 近，即测定的准确度愈高。但由于测定次数毕竟较 少，由此计算出的置信区间也不可能以百分之百的 把握将μ包含在内，只能以一定的概率进行判断
第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 )已知总体标准偏差o时 对于经常进行测定的某种试样,由于已经积累 了大量的测定数据,可以认为σ是已知的。根据 (3-14)式并考虑u的符号可得: x=tuo (3-14a) 由随机误差的区间概率可知,测定值出现的概 率由u决定。例如,当=±1%时。x在-1.960至 +196G区间出现的概率为0.95。如果希望用单次测 定值x来估计μ可能存在的范围,则可以认为区间 x±196能以095的概率将真值包含在内。即有 (3-14b) u=xtuo
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-2 （一） 已知总体标准偏差σ时 对于经常进行测定的某种试样，由于已经积累 了大量的测定数据，可以认为σ是已知的。根据 （3-14）式并考虑u的符号可得： （3-14a） 由随机误差的区间概率可知，测定值出现的概 率由u决定。例如，当u=±1.96时。x在μ-1.96σ至 μ+1.96σ区间出现的概率为0.95。如果希望用单次测 定值x来估计μ可能存在的范围，则可以认为区间 x±1.96σ能以0.95的概率将真值包含在内。即有 （3-14b） x = u = x u
第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 11-3 由于平均值较单次测定值的精密度更高,因此 常用样本平均值来估计真值所在的范围。此时有 O u=xtuo-=xtu 3-17) 式(3-14b)和式(3-17)分别表示在一定的 置信度时,以单次测定值x或以平均值为中心的包 含真值的取值范围,即μ的置信区间。在置信区间 内包含的概率称为置信度,它表明了人们对所作 的判断有把握的程度,用P表示。u值可由表3-1中 查到,它与一定的置信度相对应
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-3 由于平均值较单次测定值的精密度更高，因此 常用样本平均值来估计真值所在的范围。此时有 式（3-14b）和式（3-17）分别表示在一定的 置信度时，以单次测定值x或以平均值为中心的包 含真值的取值范围，即μ的置信区间。在置信区间 内包含μ的概率称为置信度，它表明了人们对所作 的判断有把握的程度，用P表示。u值可由表3-1中 查到，它与一定的置信度相对应。 (3-17) n x u x u x = =
第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 在对真值进行区间估计时,置信度的高低要定 得恰当。一般以95%或90%的把握即可。 式(3-14b)和式(3-17)还可以看出置信区间 的大小取决于测定的精密度和对置信度的选择,对 于平均值来说还与测定的次数有关。当σ一定时, 置信度定得愈大,|u|值愈大,过大的置信区间 将使其失去实用意义。若将置信度固定,当测定的 精密度越高和测定次数越多时,置信区间越小,表 明x或x越接近真值,即测定的准确度越高。 例题1:
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-4 在对真值进行区间估计时，置信度的高低要定 得恰当。一般以95%或90%的把握即可。 式（3-14b）和式（3-17）还可以看出置信区间 的大小取决于测定的精密度和对置信度的选择，对 于平均值来说还与测定的次数有关。当σ一定时， 置信度定得愈大，∣u∣值愈大，过大的置信区间 将使其失去实用意义。若将置信度固定，当测定的 精密度越高和测定次数越多时，置信区间越小，表 明x或 越接近真值，即测定的准确度越高。 例题1： x
第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 11-5 注意:μ是确定且客观存在的,它没有随机性。 而区间x士uG或xuo是具有随机性的,即它们均 与一定的置信度相联系。因此我们只能说置信区间包 含真值的概率是0.95,而不能认为真值落在上述区间 的概率是095。 二)已知样本标准偏差S时 在实际工作中,通过有限次的测定是无法得知μ 和o的,只能求出和S。而且当测定次数较少时,测 定值或随机误差也不呈正态分布,这就给少量测定数 据的统计处理带来了困难。此时若用S代替σ从而对μ 作出估计必然会引起偏离,而且测定次数越少,偏离 就越大。如果采用另一新统计量t取代u(仅与P有关), 上述偏离即可得到修正
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-5 注意：μ是确定且客观存在的，它没有随机性。 而区间x±uσ或 是具有随机性的，即它们均 与一定的置信度相联系。因此我们只能说置信区间包 含真值的概率是0.95，而不能认为真值落在上述区间 的概率是0.95。 （二）已知样本标准偏差S时 在实际工作中，通过有限次的测定是无法得知μ 和σ的，只能求出 和S。而且当测定次数较少时，测 定值或随机误差也不呈正态分布，这就给少量测定数 据的统计处理带来了困难。此时若用S代替σ从而对μ 作出估计必然会引起偏离，而且测定次数越少，偏离 就越大。如果采用另一新统计量tP,f取代u(仅与P有关)， 上述偏离即可得到修正。 x x x x u
第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 11-5 t分布法:t值的定义: (3-18) 分布是有限测定数据及其随机误差的分布规 律。t分布曲线见图3-6,其中纵坐标仍然表示概率 密度值,横坐标则用统计量t值来表示。显然,在 置信度相同时,t分布曲线的形状随f(f=n-1)而变 化,反映了t分布与测定次数有关有实质。由图3-6 可知,随着测定次数增多,t分布曲线愈来愈陡峭, 测定值的集中趋势亦更加明显。当f∞时,t分布 曲线就与正态分布曲线合为一体,因此可以认为正 态分布就是t的极限
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-5 t分布法：t值的定义： (3-18) t分布是有限测定数据及其随机误差的分布规 律。t分布曲线见图3-6，其中纵坐标仍然表示概率 密度值，横坐标则用统计量t值来表示。显然，在 置信度相同时，t分布曲线的形状随f（f=n-1）而变 化，反映了t分布与测定次数有关有实质。由图3-6 可知，随着测定次数增多，t分布曲线愈来愈陡峭， 测定值的集中趋势亦更加明显。当f→∞时，t分布 曲线就与正态分布曲线合为一体，因此可以认为正 态分布就是t的极限。 s x t P f − , =
第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 11-7 04 f: 1 0.2 f=1 01 f=co -54-3-2- 23强 图5-8不问:的分布曲线 图3-6t分布曲线
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-7 图3-6 t分布曲线
第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 11-8 与正态分布曲线一样,t分布 曲线下面某区间的面积也表示随机 误差在此区间的概率。但t值与标 准正态分布中的u值不同,它不仅 与概率还与测定次数有关。不同置 信度和自由度所对应的t值见表3-2 中
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-8 与正态分布曲线一样，t分布 曲线下面某区间的面积也表示随机 误差在此区间的概率。但t值与标 准正态分布中的u值不同，它不仅 与概率还与测定次数有关。不同置 信度和自由度所对应的t值见表3-2 中
第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 11-9 表3-2tp,值表(双边) t值P 90% 95% 99 995 f(n-1) 6.31 12.71 63.66 127.32 2.92 4.30 9.92 14.98 23456 2.35 3.18 5.84 745 2.13 2.78 4.60 5.60 2.02 2.57 4.03 4.77 1.94 2.45 3.71 4.32 789 1.90 2. 36 3.50 4.03 1.86 2.31 3.83 1.83 2.26 3.25 3.69 10 1.81 2.23 3.17 3.58 20 1.72 2.09 2.84 3.15 30 1.70 2.044 301) 60 1.67 2.00 2.66 (287) 120 1.66 1.98 2.81 1.64 1.96 2.58 2.81
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-9 表3-2 tP，f值表（双边） t 值 P 90% 95% 99% 99.5% f(n-1) 1 6.31 12.71 63.66 127.32 2 2.92 4.30 9.92 14.98 3 2.35 3.18 5.84 7.45 4 2.13 2.78 4.60 5.60 5 2.02 2.57 4.03 4.77 6 1.94 2.45 3.71 4.32 7 1.90 2.36 3.50 4.03 8 1.86 2.31 3.35 3.83 9 1.83 2.26 3.25 3.69 10 1.81 2.23 3.17 3.58 20 1.72 2.09 2.84 3.15 30 1.70 2.04 2.75 (3.01) 60 1.67 2.00 2.66 (2.87) 120 1.66 1.98 2.62 2.81 ∞ 1.64 1.96 2.58 2.81
第十一讲 第三章误差和分析数据和得理 11-10 由表3-2中的数据可知,随着自由度的增加,t 值逐渐减小并与u值接近。当f=20时,t与u已经比 较接近。当f→∞时,t→u,S→。在引用t值时, 般取0.95置信度 根据样本的单次测定值x或平均值分别表示p的 置信区间时,根据t分布则可以得出以下的关系: x±t P,f (3-18a) 或 =x+tp/Sx=x± (3-19)
第十一讲 第三章 误差和分析数据和得理 11-10 由表3-2中的数据可知，随着自由度的增加，t 值逐渐减小并与u值接近。当f=20时，t与u已经比 较接近。当f→∞时，t→u，S→σ。在引用t值时， 一般取0.95置信度。 根据样本的单次测定值x或平均值分别表示μ的 置信区间时，根据t分布则可以得出以下的关系： （3-18a） 或 （3-19） x t s = P, f n s x t s x t P f x = P, f =