ut ed 第二节定积分在几何丰的应用 平面图形的面积 二空间立体的体积 平面曲线的弧长 四小结
第二节 定积分在几何上的应用 一 平面图形的面积 二 空间立体的体积 三 平面曲线的弧长 四 小结
、平面图形的面积 直角坐标系情形 y=∫(x) y=∫2(x) vi=f(x) x+△v 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=/(x)A=1/(x)-f1(x)h 穿针法或微元素法被积函数上-下、右一左 上一页下一页返回
x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x x a b x + x xx 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 穿针法或微元素法 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 被积函数上-下、右-左 一、平面图形的面积 1 直角坐标系情形
例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围 成的图形的面积 解两曲线的交点解方程组y三x=y y=x (0,0)(1,1) J 选x为积分变量∈|0,一 面积元素d4=(x-x)dx 2 3 3 3 0 注被积函数为上-下,上为2=x下为=x2 上一页下一页返回
例 1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围 成的图形的面积. 2 y = x 2 解 两曲线的交点， x = y (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = = = 2 2 y x y x 解方程组 注 被积函数为上-下，上为 y = x 下为 2 2 y = x
例2计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所 围成的图形的面积 解两曲线的交点 2x y =式 (2,-2),(8,4) 选y为积分变量y∈[-2,4 A=y+42/④=18.注被积函数为“右左” 右为直线,左为抛物线 上一页下一页返回
例 2 计算由曲线 y 2x 2 = 和直线y = x − 4所 围成的图形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] 18. 2 4 4 2 2 = = − + − dy y A y y 2x 2 = y = x − 4 注 被积函数为“右-左” 右为直线，左为抛物线
如果曲边梯形的曲边为参数方程x=( ly=y(t) 曲边梯形的面积A=v(lp(at (其中千和2对应曲线起点与终点的参数值) 在[t1,t2](或[t2,1])上x=q(1)具有连续 导数,y=v(t)连续 上一页下一页返回
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续 导数， y = (t)连续
2 例3求椭圆x,+,=1的面积. b x=acos t 解椭圆的参数方程 y=bint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 a=4ydx =4 bsin td(acos t 4mb2sin2tlt=πmb 上一页下一页返回
例 3 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． = a A ydx 0 4 = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab
2.极坐标系情形 设由曲线r=g(0)及射线 6+d6 =a、O=B围成一曲边扇6=BA= 形,求其面积.这里,() d 在[a,B上连续,且q(⊙)≥0 面积元素dA=1mO)H21D2 0=a6 B1 曲边扇形的面积A= (O)l. 上一页下一页返回
设由曲线r = ( )及射线 = 、 = 围成一曲边扇 形，求其面积．这里，( ) 在[, ]上连续，且( ) 0． o x = d = + d 面积元素 dA d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2 A d = r = ( ) 2. 极坐标系情形
例4求阿基米德螺线r=n(a>0)上相 应于6从0到2π的弧与极轴所围成的图形的 面积 解:6∈|0,2兀 d4=(a262)d0 于是 2兀 1,6 a 0d6= 2 2兀 兀 23 3 上一页下一页返回
例 4 求阿基米德螺线r = a (a 0) 上 相 应 于 从0 到2的弧与极轴所围成的图形的 面积. dA (a )d d 2 1 2 2 = 解 [0,2 ] = 2 0 2 2 2 1 A a d 于是 2 2 3 0 2 3 4 ] 3 [ 2 1 = a = a
例5求心形线r=m(1+cos0所围平面图 形的面积(a>0) 解dA (1+cos6)2d6 de 利用对称性知 a2["(1+c0s)d0 (1+2cos6+c0s26)d6 3 兀3 0+2sin6+-sin 20 T 上一页下一页返回
例 5 求心形线r = a(1+ cos )所围平面图 形的面积(a 0). 解 d dA a d 2 2 (1 cos ) 2 1 = + 利用对称性知 . 2 3 2 = a d 2 (1+ cos ) = 0 2 2 1 A 2 a (1 2cos cos )d 2 + + = 0 2 a = + + sin 2 4 1 2sin 2 2 3 a 0
例6求双纽线p2=a2cos20所围平面图 形的面积 解由对称性知总面积=4倍第 象限部分面积 A=441 44/1 a2 cos 20d0=a p =a cos 20 上一页下一页返回
例 6 求双纽线 cos 2 2 2 = a 所围平面图 形的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 A = 4A1 A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2 = . 2 = a y = x cos 2 2 2 = a A1