太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.3）全微分

ut ed 第三节』全微 各分 全微分的定义 二可微的条件

第三节 全微分 一 全微分的定义 二 可微的条件

全增量的概念 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)的某邻域内 有定义,并设P(x+△x,y+-y)为这邻域内的 任意一点,则称这两点的函数值之差 f(x+Ax,y+y)-∫(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量^x,^y的全增 量,记为△z 即△z=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y) 上一页下一页返回

全增量的概念 如果函数 在点 的某邻域内 有定义，并设 为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 z = f (x, y) (x, y) P(x + x, y + y) 即 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 为函数在点 对应于自变量增量 的全增 量，记为 z P x,y f (x + x, y + y) − f (x, y)

、全微分的定义 如果函数z=f(x,y在点(x,y)的全增量 A=f(x+Ax,y+y)-∫(X,y)可以表示为 A=AAx+B小y+0(p),其中A,B不依赖于 Ax,y而仅与x,有关,p=√(△x)2+(4y) 则称函数乙=f(x2y在点(x,y)微分, Ax+BAy称为函数=f(x,y在点x,y)的 全微分,记为,即z=AA+BAy 函数若在某区域D内各点处处可微分, 则称这函数在D内可微分 上一页下一页返回

一、全微分的定义 函数若在某区域 内各点处处可微分， 则称这函数在D 内可微分. D 如果函数 在点 的全增量 可以表示为 ，其中A, B不依赖于 而仅与 有关， ， 则称函数 在点 可微分， 称为函数 在点 的 全微分，记为 ，即 . z = f (x, y) (x, y) z = f (x + x, y + y) − f (x, y) z = Ax + By + o() x,y x, y 2 2  = (x) + (y) z = f (x, y) (x, y) Ax + By z = f (x, y) (x, y) dz dz = Ax + By

可微的条件 定理1 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)可微分,则 函数在该点连续 事实上A=A△x+BAy+0(p) limf(x+Ax,y+)=limf(x,y)+△乙] y->0 f(,y) 故函数z=∫(x,y)在点(x,y)处连续 上一页下一页返回

lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 二 、可微的条件 如果函数 在点 可微分, 则 函数在该点连续. 定理1 z = f (x, y) (x, y) 事实上 z = Ax + By + o() 故函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续

定理2(必要条件)如果函数=f(x,y)在点 (x,y)可微分,则该函数在点x,y)的偏导数、 ax z 必存在,且函数z=∫(x,y点x2y)的全微分 为 z x+△ ax 上一页下一页返回

定理 2（必要条件） 如果函数 在点 可微分，则该函数在点 的偏导数 、 必存在，且函数 在点 的全微分 为 x z   y z   y y z x x z dz     +   = z = f (x, y) z = f (x, y) (x, y) (x, y) (x, y)

证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分 P(x+△x,y+y)属于P的某个邻域 △=AAx+BAy+0()总成立, 当4y=0时,上式仍成立此时=Ax, ∫(x+△x,y)-∫(x,y)=A·△x+o(△xD mf(x+△Ax,y)-(x,y Oz A △ ax 同理可得B ay 上一页下一页返回

证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P ( x + x, y + y)属于P 的某个邻域 z = Ax + By + o() 总成立, 当y = 0时，上式仍成立，此时 =| x |, f (x + x, y) − f (x, y) = A x + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   =

元函数在某点的导数存在<微分存在 多元函数的各偏导数存在→全微分存在 y x2+y2≠0 例如,f(xy)={√x+y 0 2 2 x+ 0 在点(0,0)处有 fx(0,0)=f1(0,0)=0 上一页下一页返

一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y xy f x y 在点(0,0)处有 f x (0,0) = f y (0,0) = 0

Ax·△y Az一[f(00)·Ax+∫,(00),4 (△x)2+(4y)2 如果考虑点(Ax,4y)沿着直线=x趋近于(0,0) △x·△ 划Y(Axy+()2Ar,Ax1 (△x)2+(△x)22 说明它不能随着p趋于0,而趋于0当>0时, Az-[f(00),Ax+∫,(0,0),4y]≠0( 函数在点(0,0)处不可微 上一页下一页返回

z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x  + y  , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +    = 如果考虑点P (x,y)沿着直线y = x趋近于(0,0)， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +    2 2 ( x) ( x) x x  +    = , 2 1 = 说明它不能随着  趋于 0 , 而趋于0 当  → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o(),  − x  + y   函数在点(0,0)处不可微

说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在, 定理3(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏 保数Oz在点(x,y连续,则该函数在点x,y) ax aj 可微分 证Az=f(x+△x,y+Ay)-f(x,y) ∫(x+△x,y+4y)-f(x,y+y) +[∫(x,y+4y)-∫(x,y) 上一页下一页返回

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] +[ f (x, y + y) − f (x, y)], 定理3 （充分条件）如果函数 z = f ( x, y)的偏 导数 、 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y) 可微分． x z   y z  

在第一个方括号内,应用拉格朗日中值定理 f∫(x+Ax,y+^y)-∫(x,y+4y) =∫(x+6Ax,y+4)Ax(00,4y→>0时,E1→>0 上一页下一页返回

f (x + x, y + y) − f (x, y + y) = f x (x +1x, y + y)x (0 1)  1  在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理 = f x (x, y)x + 1x （依偏导数的连续性） 其中 1  为x, y的函数, 且当x → 0,y → 0时， 1 → 0