湖业業火粤 二○O七年招收硕士学位研究生试卷 试卷代号608 试卷名称高等数学 ①试题内容不得超过画线范围,试题必须打印,图表清晰,标注准确 ②考生请注意:答题一律做在答题纸上,做在试卷上一律无效。 、填空题(本题共6个小题,每小题4分,满分24分,答案写在答题纸上) In(1+x) 1设f(x) 则a x+a,x≥0 V=t-t dx 微分方程y"+5y+6y=0的通解为 4.幂级数 的收敛区间为 so n+l 5已知a=(1,2,3),B=(a,b,c),且 A=a'B=2a 2b 2 则A"= (n∈N) 6设三阶矩阵 A=212 304 三维列向量a=(a1),已知Aa与a线性相关,则a= 、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,在每小题给出的4个选项中,只 有一项符合要求,把所选项前的字母写在答题纸上) 第1页共4页
二○○七年招收硕士学位研究生试卷 试卷代号 608 试卷名称 高等数学 ①试题内容不得超过画线范围，试题必须打印，图表清晰，标注准确 ②考生请注意：答题一律做在答题纸上，做在试卷上一律无效。 第 1 页 共 4 页 一、填空题（本题共 6 个小题，每小题 4 分，满分 24 分，答案写在答题纸上） 1.设 + + = , 0 , 0 ln(1 ) ( ) x a x x x x f x 连续，则 a = __________ . 2.设 = − = − 2 2 1 y t t x t ，则 ______________ 2 2 = dx d y . 3.微分方程 y + 5y + 6y = 0 的通解为______________________. 4. 幂级数 n=0 +1 n n x 的收敛区间为___________________. 5.已知 = (1,2,3), = (a,b,c) ，且 = = a b c a b c a b c A T 3 3 3 2 2 2 则 A ______(n N) n = . 6.设三阶矩阵 − = 3 0 4 2 1 2 1 2 2 A 三维列向量 T = (a,1,1) ，已知 A 与 线性相关，则 a = ________ . 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，在每小题给出的 4 个选项中，只 有一项符合要求，把所选项前的字母写在答题纸上）
湖北工业大学二○O七年招收硕士学位研究生试卷 1设∫(x)=3x3+x2|x|,则使f((O)存在的最高阶数n为() f(x)=[hn(1+r)dt,g(x)=cosx-1 则当x→>0时,f(x)是g(x)的() A.等价无穷小B高阶无穷小C.低阶无穷小D.同阶非等价的无穷小 级数∑(-1”sin是()级数 4.设f(x)的导数在x=a处连续,又m确定 A.条件收敛B.发散C绝对收敛D不能 =-1,则() x→aX-a A.x=a是f(x)的极小值点 B.x=a是f(x)的极大值点 C.(a,f(a)是曲线y=f(x)的拐点 D.x=a不是f(x)的极值点 5n维向量组a12a2a3线性无关,则下列向量组线性相关的是() A.a1+a2,a2+c3,a3+at1 B.a1,a1+a2,a1+a2+ay3 C.a1-a2,a2-a3,C3-a1 D.a1+a2,202+a3,303+a1 6设A=210,B是3×4阶矩阵,且秩(B)=2,则秩(AB)=() 321 A.1 B.2 (本题满分10分) 第2页共4页
湖北工业大学二○○七年招收硕士学位研究生试卷 第 2 页 共 4 页 1.设 ( ) 3 | | 3 2 f x = x + x x ，则使 (0) (n) f 存在的最高阶数 n 为（ ）. A.0 B.1 C.2 D.3 2.设 = + x f x t dt 0 2 ( ) ln(1 ) ， g(x) = cos x −1 则当 x →0 时， f (x) 是 g(x) 的（ ）. A.等价无穷小 B.高阶无穷小 C. 低阶无穷小 D. 同阶非等价的无穷小 3.级数 = − − 1 1 1 ( 1) sin n n n 是（ ）级数. A.条件收敛 B.发散 C.绝对收敛 D.不能确定 4. 设 f (x) 的导数在 x = a 处连续，又 1 ( ) lim = − − → x a f x x a ，则（ ）. A. x = a 是 f (x) 的极小值点 B. x = a 是 f (x) 的极大值点 C. (a, f (a)) 是曲线 y = f (x) 的拐点 D. x = a 不是 f (x) 的极值点 5. n 维向量组 1 2 3 , , 线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）. A. , 1 +2 2 + 3 , 3 +1 B. , 1 , 1 +2 1 + 2 + 3 C. , 1 −2 2 − 3 , 3 −1 D. , 1 +2 2 2 + 3 , 33 +1 6.设 = 3 2 1 2 1 0 1 0 0 A ， B 是 34 阶矩阵，且秩 (B) = 2 ，则秩 (AB) = （ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 三、（本题满分 10 分） 设函数
湖北工业大学二○○七年招收硕士学位研究生试卷 设函数 x≠0 其中m为自然数,试讨论 1.m为何值时,f(x)在x=0连续 2.m为何值时,f(x)在x=0可导。 四、(本题满分10分) 确定a,b,c的值,使下式成立 +c (x-1) 五、(本题满分12分) 设 x·e x<-1 1≤x<0 f( sinx-sn3x.0≤x<丌 丌≤X 六、(本题满分10分) 若f(x)在(a,b)内有二阶导数,且f(x)=f(x2)=f(x3),其中 a<x1<x2<x3<b,证明:在(x1,x)内至少有一点5,使得f"(5)=0 七、(本题满分10分) 求曲线y=3-1x2-1与x轴围成的封闭图形面积及封闭图形绕x轴旋转所得的旋 转体的体积 八、(本题满分10分 设函数y=y(x)满足微分方程 y-3y+2y=2e 第3页共4页
湖北工业大学二○○七年招收硕士学位研究生试卷 第 3 页 共 4 页 设函数 = = 0, 0 , 0 1 sin ( ) x x x x f x m 其中 m 为自然数，试讨论： 1. m 为何值时， f (x) 在 x = 0 连续； 2. m 为何值时， f (x) 在 x = 0 可导。 四、（本题满分 10 分） 确定 a,b, c 的值，使下式成立 0 ( 1) ( 1) ( 1) 3 lim 2 2 2 1 = − − + − + − + → x a x b x c x x 五、（本题满分 12 分） 设 − − + − = − − e x x x x x x x e x f x x x , sin sin , 0 , 1 0 5 1 , 1 ( ) 3 求 − 5 5 f (x)dx . 六、（本题满分 10 分） 若 f (x) 在 (a,b) 内有二阶导数，且 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 f x = f x = f x ，其中， a x1 x2 x3 b ，证明：在 ( , ) 1 3 x x 内至少有一点 ，使得 f ( ) = 0 . 七、（本题满分 10 分） 求曲线 3 | 1| 2 y = − x − 与 x 轴围成的封闭图形面积及封闭图形绕 x 轴旋转所得的旋 转体的体积. 八、（本题满分 10 分 设函数 y = y(x) 满足微分方程 x y − 3y + 2y = 2e
湖北工业大学二○○七年招收硕士学位研究生试卷 且其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合,求函数y=y(x) 九、(本题满分10分) 已知A,B为3阶矩阵,且满足AB=B+E 1.证明矩阵A_E可逆 120 2若B=340,求矩阵A 十、(本题满分10分) a,b取何值时,下列线性方程组有解?在有解时,求它的全部解 x1+2x,+x +3x2+3x3=b 十一、(本题满分10分) 3阶矩阵A的特征值为A=-1,2=1,3=2,对应的特征向量依次为 51=|0,52 向量B=2 1将B用51,2,53线性表出 2求A"B(n为自然数) 十二、(本题满分10分) 设是非齐次线性方程组AX=b的一个解,5252…,5n是对应的齐次方程组的 个基础解系,证明: 线性无关 2.n,n+51,n+52,…,n+5n线性无关 第4页共4页
湖北工业大学二○○七年招收硕士学位研究生试卷 第 4 页 共 4 页 且其图形在点（0，1）处的切线与曲线 1 2 y = x − x + 在该点的切线重合，求函数 y = y(x) . 九、（本题满分 10 分） 已知 A, B 为 3 阶矩阵，且满足 AB = B + E . 1.证明矩阵 A − E 可逆； 2.若 = 0 0 5 3 4 0 1 2 0 B ，求矩阵 A . 十、（本题满分 10 分） a,b 取何值时，下列线性方程组有解？在有解时，求它的全部解. + + = + − = + + = x x x b x x x a x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 2 1 十一、（本题满分 10 分） 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1, 1 = − 1, 2 = 2, 3 = 对应的特征向量依次为 = 0 0 1 1 ， = 0 1 1 2 ， = 1 1 1 3 向量 = 1 2 3 . 1.将 用 1 2 3 , , 线性表出； 2.求 n A （n 为自然数）. 十二、（本题满分 10 分） 设 * 是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解， n−r , , , 1 2 是对应的齐次方程组的 一个基础解系，证明： 1. * ， n−r , , 1 线性无关； 2. * ， * + 1， * , + 2 + n−r * , 线性无关