太原理工大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 重积分（9.4）利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

ut ed 第四节利用面坐标和球面 坐标计算重积分 柱面坐标系 二利用柱面坐标计算三重积分 球面坐标系 四利用球面坐标计算三重积分 五小结

一 柱面坐标系 二 利用柱面坐标计算三重积分 三 球面坐标系 四 利用球面坐标计算三重积分 五 小结 第四节 利用柱面坐标和球面 坐标计算三重积分

柱面坐标系 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在 xoy面上的投影P的极坐标为r,,则这样的三 个数r,θ,z就叫点M的柱面坐标 规定:0≤r<+∞, 0<6<2兀 M(x,y, z) 0<Z<+0 注意:柱面坐标系就是平 P(r,) 面极坐标系加上z轴 上一页下一页返回

个数 r ,θ ,z 就叫点 M 的柱面坐标． xoy 面上的投影 P的极坐标为r ,θ，则这样的三 设 M(x,y ,z )为空间内一点，并设点 M 在 0  r  +, 0   2, −   z  +. 规定： x y z o M(x, y,z) P(r, )  r • • 注意：柱面坐标系就是平 面极坐标系加上z 轴. 一 柱面坐标系

柱面坐标系的三坐标面是 r为常数→圆柱面; 8为常数一◆半平面: M(x,y,2) z为常数→平 面 柱面坐标与直角坐标的 关系为 b“P(r,O x=rcos 0 r ty 1y=rsin,或{tnO x Z=Z 上一页下一页返回

     = = = . sin , cos , z z y r x r   柱面坐标与直角坐标的 关系为 柱面坐标系的三坐标面是 r 为常数 圆柱面； θ为常数 半平面； z 为常数 平 面． • M (x, y,z) P(r, ) •  r z x y z o        = = = + z z x y r x y tan 2 2 或

二利用柱面坐标计算三重积分 利用柱面坐标系的三组坐 标面来分割积分区域,如图, rde 由r和r+r,硎日+△,z和z+Az 所围成的小柱体的体稠似等于以 △r,rAG,Az为棱的长方体体积, 所以 de 体积元素为ch= rare, ∫(x,y=)=小( rcos 0,rsi,)r 上一页下一页现回

二 利用柱面坐标计算三重积分    f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) .   = f r  r  z rdrddz d r x y z o dz dr 利用柱面坐标系的三组坐 rd 标面来分割积分区域，如图， 体积元素为 dv = rdrddz, 所 以 ， 为棱的长方体体积， 所围成的小柱体的体积近似等于以 由 和 和 ， 和 r r z r r r z z z           , + , + +

例1计算/=| dxdydz,其中g是球面 x2+y2+z2=4与抛物面x2+y2=3z 所围的立体 解球面与抛物面交线为 r2+z2=4 3z →z=1r=√3 上一页下一页返回

例1 计 算   I = zdxdydz，其中是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面x y 3z 2 2 + = 所围的立体. 解    = + = r z r z 3 4 2 2 2  z =1,r = 3, 球面与抛物面交线为

把闭区域Ω投影到xOy面上 4- 0≤r<、3 0.5 0<0<2元 lo dr dz 13 0 上一页下一页返回

   − =  2 3 2 2 4 0 3 0 r r I d dr r zdz   . 4 13 =  0 2 . 0 3, 4 3 : 2 2         − r z r r ， 把闭区域  投影到 xOy 面上

例2计算」x2+yddh,其中?是由圆锥面 x2+y2=z2与z=1所围成的区域 解所围成的立体如图, 2 ∴x-+ →z=F, D:x2+p2≤1 2:r≤z≤1,0≤r≤1,0≤6≤2丌, 上一页下一页返回

解 所围成的立体如图，  +  z x y dxdydz 2 2 例2 计 算 ,其中是由圆锥面 x 2 + y 2 = z 2 与z = 1所围成的区域。 : 1, 2 2 D x + y  2 2 2  x + y = z  z = r,  : r  z  1, 0  r  1, 0    2

所以∫ 2 2 Zvx +y dude zr drdedz 2丌 de rdr zdz 0 0 =2兀 2-5)d 2 2丌 15 上一页下一页返回

   = 1 1 0 2 2 0 r d r dr zdz    − = 1 0 2 2 ) 2 1 2 ( dr r  r . 15 2 =  =  zr drddz 2  +  z x y dxdydz 所以 2 2

三球面坐标系 设M(x,y,z)为空间内一点,则点3 M(x,y,z) M可用三个有次序的数r,,0来确 定,其中r为原点0与点M间的距离, 为有向线段OM与z轴正向所夹的角, P 0为从正z轴来看自x轴按逆时针方向 转到有向线段OP的角,这里P为点M 在xoy面上的投影,这样的三个数r,g, 0就叫做点M的球面坐标 上一页下一页返回

P x y z o M(x, y,z)  r • •  z y x A 三 球面坐标系 θ就叫做点 M 的球面坐标． 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r ， ， 转到有向线段 O P的角，这里 P 为点 M θ为从正 z 轴来看自x 轴按逆时针方向 为有向线段 OM与z轴正向所夹的角， 定，其中r 为原点 O 与点 M 间的距离， M 可用三个有次序的数 r ， ，θ来确 设 M(x,y ,z )为空间内一点，则点   

规定: 0≤r<+,0≤φ≤兀,0≤θ≤2π 如图,三坐标面分别为 r为常数-→球面; 9为常数=→圆锥面 e为常数=→半平面 上一页下一页返回

0  r  +, 0    , 0    2. 规定： 如图，三坐标面分别为 r 为常数  为常数 θ为常数 圆锥面； 球 面； 半平面