浙江大学：《数学建模 Mathematical Modeling》课程教学资源（课件讲稿）第一章 导论（刘利刚）

数学模型导论

数学模型导论

数学? ■数学有没有用? 数学不是没有用,而是不够用 现有的数学工具不能解决所有实际问题 我在专业研究中遇到很多数学问题而受阻 怎么用? 解决实际问题 ■数学模型

数学？ „ 数学有没有用？ „ 数学不是没有用，而是不够用 „ 现有的数学工具不能解决所有实际问题 „ 我在专业研究中遇到很多数学问题而受阻 „ 怎么用？ „ 解决实际问题 „ 数学模型 ☺

数学模型与数学建模 >数学模型( Mathematica|Mode 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划,它或能解释某些客观 现象,或能预测未来的发展规律,或能为控制某一现象 的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模( Mathematical Modeling) 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程

数学模型与数学建模 ¾ 数学模型 （Mathematical Model ） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观 现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象 的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 ¾ 数学建模 （Mathematical Modeling ） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程

数学模型早就知 ■我们从小就接触过数学模型: 应用题 “甲乙两地相距750公里,船从甲到乙顺水航行需 30小时,从乙到甲逆水航行需50小时,问航 速,水速若干?” "物体 “从平静湖面的小船上仍一块石头至水中,湖面 是上涨还是下降?” 数学竞赛

数学模型早就知 „ 我们从小就接触过数学模型： „ 应用题 „ “甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需 30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航 速，水速若干？ ” „ 物体 „ “从平静湖面的小船上仍一块石头至水中，湖面 是上涨还是下降？ ” „ 数学竞赛 „ …

数学模型无所不在 日常生活 投资 ■决策 各行各业 经济 金融 ■专业研究领域 "物理 计算机研究

数学模型无所不在 „ 日常生活 „ 投资 „ 决策 „ 各行各业 „ 经济 „ 金融 „ 专业研究领域 „ 物理 „ 计算机研究

例1.手机电话卡的选择 已知:入网电话卡每分钟04元,每月25 元租金;神州行卡每分钟0.6元,不用月 租金 问:选择哪种卡比较省钱?

例1. 手机电话卡的选择 „ 已知：入网电话卡每分钟0.4元，每月25 元租金；神州行卡每分钟0.6元，不用月 租金 „ 问：选择哪种卡比较省钱？

例2打水问题 ■每天晚上5:00至5:30之间开水房的拥 塞想必让每一个人都深有感触吧,偏偏 这种时候还有一些人喜欢一个人占好几 个龙头,不得不让人怒火中烧。对每个 人来讲,最好的办法当然是在不违反排 队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。 事实上大家也基本上是这样做的。在高 峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语 言的谴责也会遭到目光的谴责

例2.打水问题 „ 每天晚上5:00 至 5:30 之间开水房的拥 塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏 这种时候还有一些人喜欢一个人占好几 个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个 人来讲，最好的办法当然是在不违反排 队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。 事实上大家也基本上是这样做的。在高 峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语 言的谴责也会遭到目光的谴责

假设现在有2个水龙头,10个人来打水,每个人拎着两个壶,每 打一壶要1分钟,这是一种很常见的情况。 方法A:经验方法。这样,当有两人等待时,两个人各用一个龙 头,为将10个人打满,总共的等待时间是: 2*(2+4+6+8+10)=60分钟 方法B:每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样,当有 两人等待时,第一个人先用两个龙头,等他打完了第二个人再 用。这种方法下总的等待时间是: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55分钟 结果后一个方法被证明是更有效率的。也就是说,这个看起来有 些自私的方案,这个常常被我们谴责的方案,事实上是一个更合 理的方案。 相同任务量的并行服务队列

„ 假设现在有 2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每 打一壶要 1分钟，这是一种很常见的情况。 „ 方法 A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙 头，为将10个人打满，总共的等待时间是： 2*(2+4+6+8+10)=60 分钟 „ 方法 B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有 两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再 用。这种方法下总的等待时间是： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分钟 „ 结果后一个方法被证明是更有效率的。也就是说，这个看起来有 些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合 理的方案。 „ 相同任务量的并行服务队列

例3银行问题 ■去中国工商银行存取钱对每个人来说都 决不是一次愉快的经历。我平均每次去 取钱都至少要花上半个小时的时间,这 促使我考虑是否有办法在现有窗口的情 况下提高整个系统的效率。 ■不同任务量的串行服务队列

例3.银行问题 „ 去中国工商银行存取钱对每个人来说都 决不是一次愉快的经历。我平均每次去 取钱都至少要花上半个小时的时间，这 促使我考虑是否有办法在现有窗口的情 况下提高整个系统的效率。 „ 不同任务量的串行服务队列

例4.万有引力定律的发现 开普勒三大定律 行星轨道是一个椭圆,太阳位于此椭圆的一个焦点 行星在单位时间内扫过的面积不变。 行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方,比 例系数不随行星而改变(绝对常数) 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律,利用微 积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律

例4.万有引力定律的发现 „ 开普勒三大定律 „ 行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点 上。 „ 行星在单位时间内扫过的面积不变。 „ 行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比 例系数不随行星而改变（绝对常数）。 „ 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微 积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律。 Proof