第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 知识要点与考点 1.区域等概念 邻域U(P,8)={P|PP|0.彐>0,当0<|PP )2<δ时,都有 f(x,y)-A|<
记为 limf(x, y) lim f(r, y)=A (x…y)→(x0+y 或 f(x,y)→A(P PP 此种极限称为(二)重极限此外还有累次极限 lim limf(r, y)5 lim limf(r, y) 累次极限是逐次对各变量取极限,它与重极限既有联系又有区别, 不要将二者混肴 通常说的多元函数的极限,是指重极限而言,它有与一元函数 类似的一些运算法则 4.多元函数的连续性【考点】 定义简述为 inf(x,y)=f(xo,y)→f(x,y)∈C(x0,y xy)→(xo% 不连续点称为间断点 在有界闭区域上连续的多元函数也有最大最小值定理、介值 定理等性质.一切多元初等函数在其定义区域上都是连续的 习趣8-1解答 1.已知函数f(x,y)= 试求f(tx,ty) 解【只须将t,分别代换x与y】 f(tx, ty)=(tr)2+(ty)2-(tr)(ty)tan t2(x2+y2-xytan )=tf(r,y) 注:这时称f(x,y)为二次齐次函数.一般地,若 f(tx, ty)=tf(I, y), 则称f(x,y)为k次齐次函数,当k=0时,即有 )=f(x,y) 则为零次齐次函数,又简称为齐次函数
2试证函数F(x,y)=lnx·lny满足关系式 FO u)+ F(r, v)+F(y, u)+F(y, v) 证明【须具体演算验证之.】 左式=1n(xy)ln(u (n x+in y)(In u+In u) In zln u+In zln v+In yin u+ln yIn v =F(x,a)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)=右式 3.已知函数f(u,v,u)="++",试求f(x+y,x-y,xy) mt f(r+y,r-y, ry)=(x+y)y+(xy)x+9)+(r-y (xty)y+(ry) 4求下列函数的定义域: (1)z=ln(y2-2x+1) (2)x= (4)z=ln(y-x)+ R>r>0) x2+atx (6)=arccos 解【与一元函数求定义域类似,可由解不等式或不等式组确 定多元函数的定义域】 (1)由y2-2x+1>0→y2>2x-1,定义域为 D={(x,y) 若要画出定义域,可先作其边界的图形.此题区域的边界是开口向 右的抛物线:x=2-,它将平面区域分为左、右两部分,由x2x-1知,所求区城位于边界抛物线的左方(图者想 像图形或自绘草图验证.下同.应注意:画图时,不等式带等号的
边界要画实线,否则画虚线) (2)D={(x,y)|x+y>0,x-y>0 作出两条直线y=士x,D位于直线y=x(因y-x)的上方,故区域D位于第一、四象限为 y=士x所界的角形区域 (3)由{y≥0, ≥0,x≥0 D=(x,y)|x≥0,x2≥y≥0} D为位于第一象限且位于抛物线y=x2下方(因y≤x2)的区 域 (4)由x≥0, x2+y20 ={(x,y)y>x≥0,x2+y20 <x2+y2+x2≤R2 定义域V=(x,y,z)|r2<x2+y2+x2≤R2} 在空间它是以原点为球心的空心球,不包括内边界,但包括外边 界 2+y2≠0, (x,y)≠(0,0), 6)由 z2≤x2+y2 V={(x,y,z)|z2≤x2+y2,(x,y)≠(0,0) 它是位于锥面z=士√x2+y2的外部且不含原点的空间区域 5.求下列各极限: m2=+y (2lim √x2+
(3)lim2-√y+4 s(4)lim √xy+1 (5)lim sin (ry) (6liml-e coS:(r 解【求多元函数极限的常用方法有:利用四则运算法则与连 续性,由变量代换化为一元函数求极限,利用初等变形,利用两边 夹法则与无穷小性质,等等.】 (1)由多元初等函数的连续性,知 li: 0+1 D lim v 1+0~1n2 (3)分子、分母同乘以共轭因式2+√xy+4,去掉分母中的致 零因子,得 原式=im-4-(xy+4) lim 8xy(2+√xy+4):82+√xy+4 (4)原式=tin(√xy+1+1) (xy+1)-1 limn(√xy+1+1)=2. (5)化为能利用一元函数极限公式的形式 lim sin(y) lir sin(xy) t=xy;sint,imx=1·2=2 lin t 6)变形化为能利用一元函数极限公式的形式 1-cos (r2+ 2sin? tya E im y
2=x+11imim(x2+y)=·1·0=0 6.证明下列极限不存在: (1)limEy (2)lim- 0 y·0 证明【对于重极限,自变量的变化过程,即点P→P的方式 有无穷多种如果其中任意两种方式下求出的极限值不相等,则原 极限不存在】 (1)设动点P(x,y)→P0(0,0)是沿直线y=kx的方式进行 li limx十k k △I(k≠1) 由于k可取不同的数值,于是r=1+不是一个确定的常数故原 极限不存在例如,取k1=-1,则对应的I1=0;取k2=2,则I2= 3≠I1 (2)设动点P(x,y)沿y=kx趋于点P0(0,0),则 kurt 原式=,im0kx+x(1-k)2 0(k≠1) k2x2+(1一k) 但当k=1,即沿y=x的路线让P→P时,又有 原式=lim 所以原极限不存在 7.函数z=y+2在何处是间断的? 解显见,当且仅当y2-2x=0时,此函数是间断的.即沿抛 物线y2=2x,函数都是间断的
8证明,3=0 证明【用重极限的定义或夹逼准则证之.】因为 √x2+y2 2+y2 n√x2+y2 x2十 lOPI, P(r, y)) 于是,e>0,彐δ=2e>0,当0<<δ时,有 <E,∴lim 第二节偏导数 知识要点与考点 1.偏导数的定义及计算法【考点】 定义简述为 f1(x0,y) f(x+△x,y)-f(xo,y) 而fx(x,y)仍是x,y的函数,仍称偏导(函)数,其余类似 算法:把另外的变元视作常数(参数),只对某变无运用一元函 数求导法与公式计算之 几何意义:f(xo,y)为曲面z=f(x,y)与平面y=y的交线 上点M(x0,y,f(x0,y))处切线的斜率 2.高阶偏导数 二级及二阶以上的偏导数统称高阶编导数.其中∫,∫2等 称为混合偏导数 定理若混合偏导数zx与xy都在某区域D内连续,则它们 必相等.即混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,若不特别指
出,我们就认为这些混合偏导数是与求导次序无关的 计算高阶偏导数,一般是用公式或逐阶计算之 习题8-2解谷 1求下列函数的偏导数 (1)z=x3y-y2x; (2) (3)z=√n(xy) (4)z=sin (ry)+cos(ry); (5)2=Intan (6)z=(1+xy); (7)=x (8u=arctan (x-y) 解(1) 3xy-y (2) U b=(a+ (3)a (In tln y)i= 2√n(xy)2x√n(xy az (In x+In y) 2√n(xy)2y√n(xy (4)=cos(xy)·y+2eos(xy)[-sin(xy)·y acos(xy)-ysin(2.xy ); =cos(xy):x+2cos(xy)·[-sin(xy)]·x rcos (ry)-xsin(2xy) x12 sec CsC 2r 2x a sec (6)=y(1+xy)·y=y2(1+xy)2;
y1=(1+xy)?Ln(1+xy)+ az (7)m=yx2 l dy zn t e2 s I dz ar 1+o au ay1+(x-y)2 y az 1+(r-y)a(x-y)ln lr-yi au 2设T=x√4,求证1+g=0 g 证明【先计算,再代入较为复杂的左式验证】 a 2x g g dg g2 lx 左式 0=右式 g 3设x=e(计引),求证x+y2=2 证明-e(+);=1e(l+引), 左式=e-(++e(+=2z=右式 4.设f(x,y)=x+(y-1) arcsin t/x,求∫(x,1) 解fx(x,y)=1+(y-1) y f:(x,1)=1+0=1 9
5.曲线 4’在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是 y 多少 解 ar 4 +0 tga=1,a=/4即为所求 6.求下列函数的 和 axa (1)2=x+yo-4r2y; (2)z=arctan 2; (3)z= 〈1) ax =4x3-8x 态-12-8 子 12y2-8 dy (-2=- az y=1+(y/x)x-x2+y2 y 2 d dx +2y az ak (3) E 1 dy In y+ y r( y+ 1) 7.设f(x,y,2)=xy2+yz2+zx2,求f(0,0,1),fa(1,0,2), ∫n(0,-1,0)及∫x(2,0,1)