§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 两个古老而美丽的定理.内容包括两个定理及其逆定理,以 及它们的各种极限、退化形式.有着重要的应用意义! 核心是熟练掌握关于二次曲线内接简单六点形的对边、外 切简单六线形的对顶的规律. 简单六点形A142454简记为:123456 三双对边12,45;23,56;34,61(间隔(n2)2条边) 简单六线形a1a2a2a4a1a6简记为:123456 双对顶1×2,4×5;2×3,5×6;3×4,6×1(间隔(n-2)2 个顶点) 牢记对边、对顶的规律,对于掌握两个定理十分重要!
§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 两个古老而美丽的定理. 内容包括两个定理及其逆定理, 以 及它们的各种极限、退化形式. 有着重要的应用意义！ 核心是熟练掌握关于二次曲线内接简单六点形的对边、外 切简单六线形的对顶的规律. 简单六点形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 简记为：123456 三双对边 12, 45；23, 56；34, 61(间隔(n–2)/2条边) 简单六线形 a1 a2 a3 a4 a5 a6 简记为：123456 三双对顶 1×2, 4×5；2×3, 5×6；3×4, 6×1(间隔(n–2)/2 个顶点) 牢记对边、对顶的规律, 对于掌握两个定理十分重要！
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 、 Pascal定理与 Brianchon定理 Brianchon点 定理4.7( Pascal) 定理47( Brianchon Pascal线 (6,1 5.6 6 2 4.5 2 (2,3 24 3,4) 注: Pascal定理的证明见教材,当I退化为两相交直线时, Pascal定 理即为 Pappus定理(§2.3,例2.10),比较这两个定理的证明过程,异曲 同工! 定理48( Pascal逆定理) 定理48( Brianchon逆定理) 注:利用 Pascal逆定理,引出很多作图题.比如:教材,例46
§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 一、Pascal定理与Brianchon定理 定理4.7(Pascal) 定理4.7'(Brianchon) 定理4.8(Pascal逆定理) 定理4.8'(Brianchon逆定理) 注：利用Pascal逆定理, 引出很多作图题. 比如：教材, 例4.6, 注：Pascal定理的证明见教材, 当退化为两相交直线时, Pascal定 理即为Pappus定理(§2.3, 例2.10), 比较这两个定理的证明过程, 异曲 同工！ Pascal线 Brianchon点
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 、 Pascal定理与 Brianchon定理 例1.(P112,46)已知平面上五个点A,B,C,D,E(其中无三点共 线).求作由此五点所确定的二阶曲线r上任一点F 解作法:(1)连结AD,BE交于L (2)过L任作不经过已知点的直线p (3)连结CD交p于点M (4)连结CE交p于点N (5)连结AN,BM交于点F为所求 证明:考察简单六点形 ADCEBE因为其三双对边的交点L,M, N共线于p,由 Pascal定理的逆定理知,该六点形内接于一条二次曲 线I,因A,B,C,D,E中无三点共线,故非退化.变动直线p,可得到 I上其他点
§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 一、Pascal定理与Brianchon定理 例1. (P.112, 4.6)已知平面上五个点A, B, C, D, E(其中无三点共 线). 求作由此五点所确定的二阶曲线上任一点F. 解. 作法： (1) 连结AD, BE交于L. (2) 过L任作不经过已知点的直线p. (3) 连结CD交p于点M. (4) 连结CE交p于点N. (5) 连结AN, BM交于点F为所求. 证明： 考察简单六点形ADCEBF, 因为其三双对边的交点L, M, N共线于p, 由Pascal定理的逆定理知, 该六点形内接于一条二次曲 线, 因A, B, C, D, E中无三点共线, 故非退化. 变动直线p, 可得到 上其他点
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 二、 Pascal定理的极限形式 极限形式:指简单六点形有某些相邻顶点重合,此时,连结重 合的相邻顶点的边成为切线,将切线作为边,套用 Pascal定理即可 1.一对相邻顶点重合六点形—五点形 定理49内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线 与其对边的交点必在其余两对不相邻边的交点连线上 注:图中画线的次序实际上是给出了 根据定理49,已知非退化二阶曲线上相异 五点,求作其中一点处的切线的作法.见教 材,例47
§ 4.2 Pascal定理与Brianchon定理 二、Pascal定理的极限形式 极限形式：指简单六点形有某些相邻顶点重合, 此时, 连结重 合的相邻顶点的边成为切线, 将切线作为边, 套用Pascal定理即可. 1. 一对相邻顶点重合 六点形 五点形 定理4.9 内接于非退化二阶曲线的简单五点形某点处的切线 与其对边的交点必在其余两对不相邻边的交点连线上. 注：图中画线的次序实际上是给出了 根据定理4.9, 已知非退化二阶曲线上相异 五点, 求作其中一点处的切线的作法. 见教 材, 例4.7
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 二、 Pascal定理的极限形式 1.一对相邻顶点重合六点形—五点形 2两对相邻顶点重合六点形一四点形 (1)将四点形的一对对顶视为重合顶点—定理4.10 请对照教材,图4.11标字母 (3) 5(6) (2)将四点形的一对相邻顶 NM M 点视为重合顶点—定理411 请对照教材,图4.12标字母
二、Pascal定理的极限形式 1. 一对相邻顶点重合 六点形 五点形 2. 两对相邻顶点重合 六点形 四点形 (1). 将四点形的一对对顶视为重合顶点 定理4.10 请对照教材, 图4.11标字母. (2). 将四点形的一对相邻顶 点视为重合顶点 定理4.11 请对照教材, 图4.12标字母. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 二、 Pascal定理的极限形式 1.一对相邻顶点重合六点形—五点形 2两对相邻顶点重合六点形一四点形 3三对相邻顶点重合六点形一三点形 每个顶点皆为两个重合点—定理412 1(2) 三、应用 作二阶曲线上的点 1.作图题 M 作切线
二、Pascal定理的极限形式 1. 一对相邻顶点重合 六点形 五点形 2. 两对相邻顶点重合 六点形 四点形 3. 三对相邻顶点重合 六点形 三点形 每个顶点皆为两个重合点 定理4.12 三、应用 1. 作图题 作二阶曲线上的点 作切线 § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 应用1.作图题 例2.如图,已知非退化二阶曲线r上相 异五点A,BCDE以及过点C的直线c,求 作与直线c的另一个交点F 解作法(1)连结BCED交于M, (2)连结AD与c交于N (3)连结MN,AB交于L (4)连结E交c于F为所求 证明由简单六点形 ABCFED,利用 Pascal定理的逆定理(请自 己补全) 2.证明题证明共线点,共点线问题 关键:如何找出合用的内接六点形?技巧类似于 Desargues定 理.请自我体会、总结
三、应用 1. 作图题 2. 证明题 证明共线点, 共点线问题 关键：如何找出合用的内接六点形？技巧类似于Desargues定 理. 请自我体会、总结. 例2. 如图，已知非退化二阶曲线上相 异五点A,B,C,D,E以及过点C的直线c，求 作与直线c的另一个交点F. 解. 作法 (1). 连结BC,ED交于M; (2). 连结AD与c交于N. (3). 连结MN, AB交于L. (4). 连结EL交c于F为所求. 证明. 由简单六点形ABCFED, 利用Pascal定理的逆定理.(请自 己补全) § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理
§4.2 Pasca定理与 Brianchon定理 例3.如图,设 ABCDEF是一条二次曲线的 内接六点形,且 ABXCD=P, CDXEF=Q DE×AF=L,AF×BC=M,BC×DE=N, EFXAB=R求证:PL,MQ,RN共点 证明考察简单六点形 ABCDEF,利用 Pascal定理,再利用 Desargues定理即得结论 例4.若两个三点形ABC和ABC的对应顶 点连线交于一点S(如图),且其中一个三点形 的边与另一个三点形的非对应边交于 D,E,FG,H六个点,证明此六点在同一条 二次曲线上 证明应用 Desargues定理于ABC和A'BC", 再考察简单六点形 DEFGH,利用 Pascal定 理的逆定理,即得结论
例3. 如图, 设ABCDEF是一条二次曲线的 内接六点形, 且 AB×CD=P, CD×EF=Q, DE ×AF=L, AF×BC=M, BC×DE=N, EF×AB=R.求证: PL,MQ,RN共点. 证明. 考察简单六点形ABCDEF, 利用 Pascal定理, 再利用Desargues定理即得结论. 例4. 若两个三点形ABC和A'B'C'的对应顶 点连线交于一点S(如图), 且其中一个三点形 的边与另一个三点形的非对应边交于 D,E,F,G,H,I六个点，证明此六点在同一条 二次曲线上. 证明. 应用Desargues定理于ABC和A'B'C', 再考察简单六点形DEFGHI, 利用Pascal定 理的逆定理, 即得结论. § 4.2 Pascal定理与Brianchon定理
今日作业 P.116,4,5 The class is over. Goodbye!
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