§2.6二维射影变换 、二维射影对应 1、透视对应 两点场间使得对应点连线共点的双射—即:中心射影 2、射影对应 Steiner定义设丌,z为两个点场若g:→x满足 (i)p为双射, (i)使共线点变为共线点, (i)g保持共线四点的交比不变, 则称为点场x到x的一个二维射影对应 注1.显然,透视对应是特殊的射影对应. 注2.显然,二维射影对应使得点对应于点;直线对应于直线 因此,也称此处的二维射影对应为直射对应 课件作者:南京师大数科院周兴和
§ 2.6 二维射影变换 一、二维射影对应 课件作者：南京师大数科院周兴和 1、透视对应 两点场间使得对应点连线共点的双射 2、射影对应 Steiner定义 设 , '为两个点场. 若 ： → ' 满足 (i) 为双射, (ii) 使共线点变为共线点, (iii) 保持共线四点的交比不变, 则称 为点场 到 '的一个二维射影对应. 注1. 显然, 透视对应是特殊的射影对应. 注2. 显然, 二维射影对应使得点对应于点; 直线对应于直线. 因此, 也称此处的二维射影对应为直射对应. 即：中心射影
§2.6二维射影变换 二维射影对应 Steiner定义设z,丌为两个点场若g:z→x满足 (i)p为一一对应, (i)使共线点变为共线点, (i)g保持共线四点的交比不变, 则称g为点场x到x的一个二维射影对应 代数定乂设在点场丌,丌'上各取定齐次射影坐标系.称由 m1=a1X1+a12x2+ x2=a21x+a2x12+a23x3|Aan≠0,p≠0 (2.21) 3=a311+a32x2+a3x3 所决定的对应为x到z的一个二维射影对应,其中(x12x2,x3)与 (x1,x2,x3)为对应点的齐次坐标,A称为射影对应的矩阵 注:显然,(2.21)式为非奇异线性对应
§ 2.6 二维射影变换 一、二维射影对应 Steiner定义 设 , '为两个点场. 若 ： → ' 满足 (i) 为一一对应, (ii) 使共线点变为共线点, (iii) 保持共线四点的交比不变, 则称 为点场 到 '的一个二维射影对应. 代数定义 设在点场 , '上各取定齐次射影坐标系. 称由 | | | | 0, 0 (2.21) 3 1 1 3 2 2 3 3 3 ' 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 ' 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 ' 1 = = + + = + + = + + A ai j x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x 所决定的对应为 到 '的一个二维射影对应, 其中(x1 , x2 , x3 )与 (x'1 , x'2 , x'3 )为对应点的齐次坐标, A称为射影对应的矩阵. 注：显然, (2.21)式为非奇异线性对应
§2.6二维射影变换 、二维射影对应 定理 Steiner定义兮代数定义 证明(略,见教材:定理2.26一定理2.29.了解思想即可) 为方便计,在不同的使用场合经常取(221)式的不同写法如: i=1,2,3,|an|≠0,p≠0 (2.21) xX x x A≠0,p≠0 (2.2) Ax A|≠0,p≠0 (22I) 注1.由于齐次性,对任意的a0,c4与A表示同一射影对应的矩 阵.因此A中9个元素只有8个独立,只要确定A中9个元素的比值即 可确定A
§ 2.6 二维射影变换 一、二维射影对应 定理 Steiner定义代数定义. 为方便计, 在不同的使用场合经常取(2.21)式的不同写法. 如： 1,2,3,| | 0, 0 (2.21') 3 1 ' = = = j i i j j ai j x a x i | | 0, 0 (2.21'') 3 2 1 ' 3 ' 2 ' 1 = A x x x A x x x x' = Ax | A| 0, 0 (2.21''') 注1. 由于齐次性, 对任意的≠0, A与A表示同一射影对应的矩 阵. 因此A中9个元素只有8个独立, 只要确定A中9个元素的比值即 可确定A. 证明 (略, 见教材：定理2.26－定理2.29. 了解思想即可)
§2.6二维射影变换 二维射影对应 注2.因为4是非奇异方阵,故可求出射影对应(221)的逆对应 ∑ (=1,2,3)|An≠0,≠0 其中σ=4V,An为an的代数余子式即(A)=4*亦为非异方阵,从 而射影对应的逆对应仍然为射影对应 设直线=[12l23],即1x1+2x2+42x3=0.将(1)代入,有 x∑411+x2∑42,u1+x∑41=0 这是x上的一条直线,其坐标为 ∑4 1,2,3,≠0 其中(4)=(A)(4*)为非异方阵这表示线场x与z之间由(21) 诱导的射影对应.从而我们有教材P81表格中的四个式子
§ 2.6 二维射影变换 一、二维射影对应 注2. 因为A是非奇异方阵, 故可求出射影对应(2.21)的逆对应. = − = = 3 1 1 ' : ( 1,2,3),| 0, 0 (1) j i j i j Aj i x A x i 其中 =|A|/, Aji为aji的代数余子式. 即(Aji)=A*亦为非异方阵, 从 而射影对应的逆对应仍然为射影对应. 设直线u=[u1 , u2 , u3 ], 即u1x1+u2x2+u3x3=0. 将(1)代入, 有 = = = + + = 3 1 3 ' 3 3 1 3 1 2 ' 1 2 ' 1 0. j j j j j x A j uj x A j uj x A u 这是 '上的一条直线, 其坐标为 = = = 3 1 ' 1,2,3, 0. j i i j j u A u i 其中(Aji)=(Aij)'=(A*)'为非异方阵. 这表示线场 与 '之间由(2.21) 诱导的射影对应. 从而我们有教材P.81表格中的四个式子
§2.6二维射影变换 、二维射影对应 定理230任一二维射影对应可由已知四对对应点(每一方四点 中无三点共线)唯一确定 即:设PP(=1,2,3,4),且双方均为无三点共线的四点组则 由此可唯一确定q:丌→x,使得(P)=Pl,i=1,2,34 二维射影对应可由已知一对完全四点形的顶点对应唯一确定 二维射影对应可由已知一对射影坐标系的对应唯一确定 注:已知四对对应元素的坐标,求射影对应式,类似于一维情况 见教材例2.17
§ 2.6 二维射影变换 一、二维射影对应 定理2.30 任一二维射影对应可由已知四对对应点(每一方四点 中无三点共线)唯一确定. 即：设Pi↔Pi '(i=1,2,3,4), 且双方均为无三点共线的四点组. 则 由此可唯一确定 ： → ' , 使得(Pi )=Pi ', i=1,2,3,4. 二维射影对应可由已知一对完全四点形的顶点对应唯一确定. 二维射影对应可由已知一对射影坐标系的对应唯一确定. 注: 已知四对对应元素的坐标, 求射影对应式, 类似于一维情况. 见教材例2.17
§2.6二维射影变换 二、二维射影变换 对于二维射影对应:丌→x,若丌=x',则称为二维射影变换 注1射影变换是特殊的射影对应,此时(x1,x2,x3)与(x'1,x2,x3 为相对于丌上同一个射影坐标系的对应点坐标 注2射影坐标变换式(1.10)也可看做射影变换,它表示同一点 在不同射影坐标系下的坐标间的关系 三、二维射影变换的不变元素 不变点 不变元素 二维射影变换的重要内容之 不变直线
§ 2.6 二维射影变换 二、二维射影变换 对于二维射影对应 : → ' , 若 = ' , 则称为二维射影变换. 注1 射影变换是特殊的射影对应, 此时(x1 , x2 , x3 )与(x'1 , x'2 , x'3 ) 为相对于 上同一个射影坐标系的对应点坐标. 注2 射影坐标变换式(1.10)也可看做射影变换, 它表示同一点 在不同射影坐标系下的坐标间的关系. 三、二维射影变换的不变元素 不变元素 不变点 不变直线 二维射影变换的重要内容之一
§2.6二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 1、不变点 P(y)为射影变换 9:m=∑a1x1|A≠=0,i=12,3 的不变点兮y1y2y3=y1y2y3分存在a0,使得y′=ay台 ∑ A|≠0,i=1,2,3 令=p分 (a1-1)y+a12y2+a13y3=0 y1+(a2-1)y2+ 0 3y1+a32y2+(a3-)y3=0 分存在λ,使 a23=4-E=f(4)=0 33
§ 2.6 二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 1、不变点 P(yi )为射影变换 = = = 3 1 ' : | | 0, 1,2,3 j i i j j x a x A i 的不变点 y1 :y2 :y3 =y1 ':y2 ':y3 ' 存在≠0, 使得yi '= yi | | 0, 1,2,3 3 1 = = = y a y A i j j i i j 令= ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 3 1 1 3 2 2 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 1 3 3 I a y a y a y a y a y a y a y a y a y + + − = + − + = − + + = 存在, 使 | | ( ) 0. ( ) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 A E f II a a a a a a a a a = − = = − − −
§2.6二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 1、不变点 定理231射影变换有不变点◇的矩阵A有特征根 推论2.14平面上任一射影变换至少有一个不变点 思考:若以平面上一个非恒同的射影变换的不变点构成无三 点共线的n点组,n的最大值为多少? 答案:n=3
§ 2.6 二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 1、不变点 定理2.31 射影变换 有不变点 的矩阵A有特征根. 推论2.14 平面上任一射影变换至少有一个不变点. 思考：若以平面上一个非恒同的射影变换的不变点构成无三 点共线的n点组, n的最大值为多少？ 答案：n=3
§2.6二维射影变换 二维射影变换的不变元素 2、不变直线 Iv]为射影变换 A|≠0,i=1,2,3 的不变直线分v1V2n3=v1:n2v3兮存在K≠0,使得v=k11兮 7=∑anv/(去掉“”)|4≠=0,i=123 令y=K分 (a1-y)v1+a212+a31V3=0 21+(a2-y)y2+a23=0 () a131+a2y2+(a3-y)n3=0 分存在y,使 y a12a2-ya2=4-yEFf()=0 1) 3-y
§ 2.6 二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 2、不变直线 l[vi ]为射影变换 = = = 3 1 ' : | | 0, 1,2,3 j i j i j u a u A i 的不变直线 v1 :v2 :v3 =v1 ':v2 ':v3 ' 存在 ≠0, 使得vi =vi ' ( ' ) | | 0, 1,2,3 3 1 = = = v a v A i j j i j i 去掉“” 令 = ( ') ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 1 3 1 2 3 2 3 3 3 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 1 1 2 1 2 3 1 3 I a v a v a v a v a v a v a v a v a v + + − = + − + = − + + = 存在 , 使 11 21 31 12 22 32 13 23 33 | ' | ( ) 0. ( ') a a a a a a A E f II a a a − − = − = = −
§2.6二维射影变换 二维射影变换的不变元素 2、不变直线 定理2.31射影变换有不变直线兮q的矩阵A有特征根 推论2.14平面上任一射影变换至少有一条不变直线 思考:若以平面上一个非恒同的射影变换的不变直线构成无 三线共点的n线组,n的最大值为多少? 答案:n=3 3、求不变元素的实例 注:教材P84例容易造成误导,因为其矩阵是对称阵
§ 2.6 二维射影变换 三、二维射影变换的不变元素 2、不变直线 定理2.31' 射影变换 有不变直线 的矩阵A有特征根. 推论2.14' 平面上任一射影变换至少有一条不变直线. 思考：若以平面上一个非恒同的射影变换的不变直线构成无 三线共点的n线组, n的最大值为多少？ 答案：n=3. 3、求不变元素的实例 注：教材P.84例容易造成误导, 因为其矩阵是对称阵