第0章几何变换概论 、对应与变换 1.集合之间的对应(关系、映射) 2.对应的乘积(复合) 定义0.6.设f为集合4到B的一个对应,g为集合B到C的一个对 应则由此可确定集合A到C的一个对应h,称h为与g的乘积记作 gof h=gof:A→>C 定理02.(1).两个双射的乘积仍然是一个双射,进而,任意有限 个双射的乘积仍然是一个双射 (2).对应的乘法满足结合律,即hg!=h(gf)=(hg)f 注:对应的乘法一般不满足交换律,即一般地,gg
一、对应与变换 2. 对应的乘积(复合) 第0章 几何变换概论 1. 集合之间的对应(关系、映射) 定义0.6. 设f 为集合A到B的一个对应, g 为集合B到C的一个对 应. 则由此可确定集合A到C的一个对应h, 称h 为f 与g的乘积. 记作 g◦f , 即 h g f A C = → : . 定理0.2. (1). 两个双射的乘积仍然是一个双射, 进而, 任意有限 个双射的乘积仍然是一个双射. (2). 对应的乘法满足结合律, 即h◦g◦f =h◦(g◦f )=(h◦g)◦f. 注：对应的乘法一般不满足交换律, 即一般地, g◦f≠f◦g
第0章几何变换概论 、对应与变换 3.变换 定义07.集合A到自身的对应∫称为变换,若f是双射,则称f为 集合A上的一个一一变换 注.(1).变换是特殊的对应 (2)设在A上定义了一个变换f,则A的任一个元素a都具有双重 身份,即a既是4中某个元素在厂下的像,也是A中某个元素在厂下的 原像,因为f1也是A上的一个变换 (3)集合A上的变换f与自身的乘积他记作/2 定义0.8.若集合A上的一个变换将A的每一个元素变为其自身, 则称之为集合A上的一个恒同变换,恒同变换记作
一、对应与变换 第0章 几何变换概论 3. 变换 定义0.7. 集合A到自身的对应f 称为变换, 若f 是双射, 则称f 为 集合A上的一个一一变换. 注. (1). 变换是特殊的对应. (2). 设在A上定义了一个变换f , 则A的任一个元素a都具有双重 身份, 即a既是A中某个元素在f 下的像, 也是A中某个元素在f 下的 原像, 因为f -1也是A上的一个变换. (3). 集合A上的变换f 与自身的乘积f◦f也记作f 2 . 定义0.8. 若集合A上的一个变换将A的每一个元素变为其自身, 则称之为集合A上的一个恒同变换, 恒同变换记作i
第0章几何变换概论 、对应与变换 2.对应的乘积(复合) 3.变换 定理0.3.设f为集合A上的一个双射则 定义09设f为集合A上的一个双射.若存在a∈A,满足(a)=a 则称a为厂的一个不变元素设P为集合A中的元素或子集所带有的 某种性质(或数量),若变换∫能够保持P不变,则称P为变换f的一个 不变性质(或数量)f的不变性质和数量统称为厂的不变性 归纳:高等几何将用几何变换的观点讨论问题,主要是研究 几何空间中的图形在某种双射(一一变换)下的不变性类似于代数 中对同构的讨论
一、对应与变换 2. 对应的乘积(复合) 第0章 几何变换概论 3. 变换 定理0.3. 设f 为集合A上的一个双射. 则 . 1 1 f f = f f = i − − 定义0.9. 设f 为集合A上的一个双射. 若存在a∈A, 满足f(a)=a, 则称a为f 的一个不变元素. 设P为集合A中的元素或子集所带有的 某种性质(或数量), 若变换f 能够保持P不变, 则称P为变换f 的一个 不变性质(或数量), f 的不变性质和数量统称为f 的不变性. 归纳：高等几何将用几何变换的观点讨论问题, 主要是研究 几何空间中的图形在某种双射(一一变换)下的不变性. 类似于代数 中对同构的讨论
第0章几何变换概论 、对应与变换 二、正交变换坐标系运动而点和图形不动 平面上的点、图形均不改变其位置, 解几中的坐标变换—但是随着坐标系的变动而取得不同 的坐标或得到不同的描述 改变观点 在平面上点的集合上给定某种双射 平面上的点变换 变换),研究点以及由点构成 的图形与他们在厂下的像之间的关 系 点和图形运动而坐标系不动
一、对应与变换 第0章 几何变换概论 二、正交变换 解几中的坐标变换 平面上的点、图形均不改变其位置, 但是随着坐标系的变动而取得不同 的坐标或得到不同的描述. 改变观点 平面上的点变换 在平面上点的集合上给定某种双射 (一一变换)f , 研究点以及由点构成 的图形与他们在f 下的像之间的关 系. 坐标系运动而点和图形不动 点和图形运动而坐标系不动
第0章几何变换概论 二、正交变换 1.正交变换 定义0.10.保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平 面上的一个正交变换 注:设为平面上的一个正交变换,A,B为平面上两个点,且 g(A)=4,p(B)=B’,则ABA'B1 定理04(1).两个正交变换的积是一个正交变换,从而任意有 限个正交变换的积是一个正交变换 (2).平面上的恒同变换是一个正交变换 证明由定义0.10,显然
第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定义0.10. 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平 面上的一个正交变换. 定理0.4 (1). 两个正交变换的积是一个正交变换, 从而任意有 限个正交变换的积是一个正交变换. (2). 平面上的恒同变换是一个正交变换. 证明 由定义0.10, 显然. 注：设φ为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 φ(A)=A', φ(B)=B', 则|AB|=|A'B'|
第0章几何变换概论 二、正交变换 1.正交变换 定理0.5正交变换使平面上共线三点变成共线三点;不共线三 点变成不共线三点,而且保持两直线的夹角不变 证明设A,B,C为平面上三点,为正交变换,且上述三点在@下 的像依次为A,B,C 若A,B,C共线且B在A,C之间,则有BH+ BCFAACI由正交变换 的定义有 AB+ BCEAC=A'B+BCEACI 即A,B,C仍然为共线三点且B在A,C之间 若A,B,C不共线,则必有 L AB BCAC AB|+|BC|卜AC"|, 即A′,B′,C仍然为不共线三点
第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定理0.5 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三 点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, φ为正交变换, 且上述三点在φ下 的像依次为A', B', C'. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变换 的定义有 | AB| +| BC |=| AC| | A'B'| +| B'C'|=| A'C'|. 即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有 | AB| +| BC || AC| | A'B'| +| B'C'|| A'C'|, 即A', B', C'仍然为不共线三点
第0章几何变换概论 二、正交变换 1.正交变换 定理0.5正交变换使平面上共线三点变成共线三点;不共线三 点变成不共线三点,而且保持两直线的夹角不变 证明设A,B,C为平面上三点,为正交变换,且上述三点在@下 的像依次为A,B,C. 设A,C分别在∠B两边上且异于B,则A,B分别在∠B的两边上 且B= BL BCEB'C,ACFC.即4ABC≌ABC,于是,∠B =∠B,即正交变换保持两直线的夹角不变 注:(1).正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形进 而,正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形,使得 任何平面图形变为可以与其重合的图形 (2)正交变换使得平行直线变为平行直线,矩形变为与之全等 的矩形
第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定理0.5 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三 点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, φ为正交变换, 且上述三点在φ下 的像依次为A', B', C'. 设A, C分别在∠B两边上且异于B, 则A', B'分别在∠B'的两边上. 且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ΔABC≌ΔA'B'C', 于是, ∠B =∠B', 即正交变换保持两直线的夹角不变. 注：(1). 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进 而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得 任何平面图形变为可以与其重合的图形. (2). 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全等 的矩形
第0章几何变换概论 二、正交变换 1.正交变换 定理0.6正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系 证明由定义和定理0.5,显然正交变换@将平面上的一个直角 坐标系O22变为另一个直角坐标系O-cey但是有下述可能 右手系→右手系 右手系→左手系
第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定理0.6 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系. 证明 由定义和定理0.5, 显然正交变换φ将平面上的一个直角 坐标系O-exey变为另一个直角坐标系O'-e' xe' y.但是有下述可能 右手系→右手系 右手系→左手系
第0章几何变换概论 二、正交变换 1.正交变换 定理07对于平面上的一个取定的直角坐标系,点变换@是正 交变换具有表达式 x=a1xtan2y+a13 或 (0.1) y=a21xta22y+a23 y Z2)八y 其中(x,y)与(x,y)为q的任一对对应点PP的坐标,矩阵 A-=4142称为的矩阵满足A=14=E即/为二阶正交矩阵 证明可据定理0.6利用向量法证明,略. 注1:对于正交变换@的矩阵A,显然有A1=,且=1或-1 当11时,g将右手系变为右手系,称g为第一类正交变换; 4-1时,g将右手系变为左手系,称φ为第二类正交变换
第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定理0.7 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换φ是正 交变换 φ具有表达式 证明 可据定理0.6利用向量法证明, 略. 11 12 13 13 11 12 21 22 23 23 21 22 ' . (0.1) ' ' x a x a y a a x' x a a y a x a y a a y y a a = + + = + = + + 或 其中(x, y)与(x', y')为φ的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵 11 12 21 22 , ' ' , . a a A AA A A E A a a = = = 称为 的矩阵 满足 即 为二阶正交矩阵 注1：对于正交变换φ的矩阵A, 显然有A -1=A', 且|A|=1或|A|=-1. 当|A|=1时, φ将右手系变为右手系, 称φ为第一类正交变换； 当|A|=-1时, φ将右手系变为左手系, 称φ为第二类正交变换
第0章几何变换概论 二、正交变换 1.正交变换 注2:正交变换(0.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变 换式完全相同 从相对运动的观点看,坐标变换也是正交变换
第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 注2：正交变换(0.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变 换式完全相同. 从相对运动的观点看, 坐标变换也是正交变换