§4.6二次曲线的仿射理论 二阶曲线与无穷远直线的关系 相异的实点 <0 双曲型 =重合的实点兮A3=0{抛物型兮43的符号仿射不变 共轭的虚点 椭圆型 对非退化二阶曲线讨论:中心、直径与共轭直径、渐近线 二、二阶曲线的中心 无穷远直线的极点称为中心 有心:(431,A32,A3)无心:(431,A32,0)或(a12a10)或(a2,=a120) 三、直径与共轭直径
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 三、直径与共轭直径 33 0 0 0 A = 双曲型 抛物型 椭圆型 相异的实点 重合的实点 共轭的虚点 l∞ = A33的符号仿射不变. 有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0). 无穷远直线的极点称为中心. 对非退化二阶曲线讨论：中心、直径与共轭直径、渐近线…
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 1.定义 (1).直径(X,ZP)=-1 仿射定义 >解几定义 无穷远点P的有穷组平行弦中点的 远极线过中心的通常轨迹 直线) 1不是任何二阶曲线的直径! (2)共轭直径 (XY,ZP0)=-1 仿射定义 解几定义 直径AB的共轭直 直径AB的共轭直径 径为AB上无穷远点P为平行于AB的弦的中 的极线EF(相互通过对点轨迹EF 1 方极点的两直径) (3)共轭方向:与一对共轭直径平行的方向
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 (1). 直径 仿射定义 解几定义 无穷远点P的有穷 远极线(过中心的通常 直线). 一组平行弦中点的 轨迹. (XY, ZP)= –1 (2). 共轭直径 直径AB的共轭直 径为AB上无穷远点P 的极线EF(相互通过对 方极点的两直径). 直径AB的共轭直径 为平行于AB的弦的中 点轨迹EF. (XY, ZP)= –1 仿射定义 解几定义 (3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向. l不是任何二阶曲线的直径！
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 Q 1.定义2.性质 (1)有心二阶曲线r 入()「的任一对共轭直径与1一起,构成的 CAB (i)的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,多 自极三点形 且平行于共轭直径与交点处的两切线 (2)抛物线r (i)r的直径相互平行(l2不是抛物线的直径) (i)r的任一直径的极点为其与有穷远交点 处切线上的无穷远点 (i)I的任一直径平分其与r有穷远交点处切线 平行的弦(XY,ZP)=-1. (iv)抛物线没有共轭直径,将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 2. 性质 (1). 有心二阶曲线 (i) 的任一对共轭直径与l一起, 构成的一 个自极三点形. (ii) 的每一直径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与交点处的两切线. (2). 抛物线 (i) 的直径相互平行(l不是抛物线的直径). (ii) 的任一直径的极点为其与有穷远交点 处切线上的无穷远点. (iii) 的任一直径平分其与有穷远交点处切线 平行的弦. (XY, ZP)= –1. (iv) 抛物线没有共轭直径, 将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 1.定义2.性质3.直径的方程 (1)有心二阶曲线r (i)直径的方程因为直径是以的中心为束心的线束中的直线 以两特殊直径参数表示取两无穷远点(1,0,0),(0,1,0),其极线(对 应的直径)方程为 =0 h1:a1x1+a12x2+a13x3=0 aS 从而任一直径的方程为 l2:a12x1+a2x2+a2x3=0 0 ax asaS +k一=0.k∈R (4.37) 注:k的几何意义(437)表示的直径/方程可改写为: asaS 1+ k+.0=0 这说明/为(1,k0)的极线而(1,0)是的共轭直径上的无穷远点,从 而,(4.37)中的参数k为直径的共轭方向(共轭直径的斜率)
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 2. 性质 3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (i) 直径的方程. 因为直径是以的中心为束心的线束中的直线. 以两特殊直径参数表示. 取两无穷远点(1,0,0), (0,1,0), 其极线(对 应的直径)方程为 : 0 : 0 2 12 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 + + = + + = l a x a x a x l a x a x a x 即 0 0 2 1 = = x S x S 从而任一直径l的方程为 1 2 : 0, (4.37) S S l k k R x x + = 注: k的几何意义. (4.37)表示的直径l方程可改写为： 1 0 0 1 2 3 = + + x S k x S x S 这说明l为(1,k,0)的极线. 而(1,k,0)是l的共轭直径上的无穷远点, 从 而, (4.37)中的参数k为直径l的共轭方向(共轭直径的斜率)
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 1.定义2.性质3.直径的方程 (1)有心二阶曲线r i)两直径共轭的条件设直径1:S+k0S=0的共轭直径为 则为上的无穷远点(a12+ka2(a1+ka12),0)的极线从而的方程为 aS aS (a12+ka2)-(a1+ka2)=0 即+k=0.其中k=41+a2为斜率,即 a,2+ ka22 a2k+a12(k+k)+a1=0 A3≠0) (4.40) 从而,两直径共轭兮两直径的斜率满足对合方程 性质.在以有心二阶曲线r的中心为束心的线束中,直径与共 轭直径的对应是一个对合
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 三、直径与共轭直径 1. 定义 2. 性质 3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (ii) 两直径共轭的条件. 设直径 : 0 1 2 = + x S k x S l 的共轭直径为l'. 则l'为l上的无穷远点(a12+ka22,–(a11+ka12),0)的极线. 从而l'的方程为 ( ) ( ) 0. 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 + = + − a k a x S a k a x S 即 ' 0. 1 2 = + x S k x S 其中 12 22 11 12 ' a k a a k a k + + = − 为l的斜率, 即 ' ( ') 0 ( 0) (4.40) 3 3 2 a2 2k k +a1 2 k + k + a1 1 = a1 1a2 2 − a1 2 = A 从而, 两直径共轭两直径的斜率满足对合方程. 性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共 轭直径的对应是一个对合
§4.6二次曲线的仿射理论 直径与共轭直径 1.定义2.性质3.直径的方程 (1)有心二阶曲线r (a12,a10或(a2,a12,0) (2)抛物线r 利用中心坐标,可直接写出r的直径方程为 a1x1+a12x2+bx=06b为常数)即y=-41x+b 12 或者 a12x1+a2x2+bx3=0(b为常数)即y=-2x+b
三、直径与共轭直径 1. 定义 2. 性质 3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (2). 抛物线 利用中心坐标, 可直接写出的直径方程为 0( ) . 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 3 x b a a a x + a x + bx = b为常数 即 y = − + 或者 0( ) . 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3 x b a a a x + a x + bx = b为常数 即 y = − + (a12,–a11,0)或(a22,–a12,0) § 4.6 二次曲线的仿射理论
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线 定义.二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线 注1.等价定义:过中心的有穷远切线称为渐近线 注2.与渐近线平行的方向称为渐近方向 注3双曲线 实 有两条渐近线,一对渐近方向;抛物线无渐近线 椭圆 从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论
四、渐近线 1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线. 注1. 等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线. 注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向. 注3.双曲线 椭 圆 有两条 实 虚渐近线, 一对渐近方向；抛物线无渐近线. 从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论. § 4.6 二次曲线的仿射理论
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线 双曲线>双曲型对合 1.定义 2.性质 椭圆→椭圆型对合 1).渐近线是自共轭的直径 (2)在以二阶曲线的中心为束心的线束中,渐近线是对合 a2k+a12(k+k)+a1=0 11022 A32≠0 33 (4.40) 的两条不变直线 (3)有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭 直径 3.求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 S≡∑anxx1=0(an=an),an≠=0,A43≠0(1) I,J 求的渐近线方程
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 1. 定义 2. 性质 (1). 渐近线是自共轭的直径. (2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合 ' ( ') 0 ( 0) (4.40) 3 3 2 a2 2k k +a1 2 k + k + a1 1 = a1 1a2 2 − a1 2 = A 的两条不变直线. (3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭 直径. 3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 : 0 ( ),| | 0, 0 (1) 3 3 3 , 1 = = = S a x x ai j aj i ai j A i j i j i j 求Γ的渐近线方程. 双曲线 双曲型对合 椭 圆 椭圆型对合
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3.求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 T:S=∑axx1=0(an=an)an4≠=0,43≠0( 求的渐近线方程 法一.利用对合不变元素.在 a2+a12(k+k)+a1=0 C11 a2=A3≠0)(440) 中,令k=k得不变元素方程为 a2、y+2h2k+0 此方程的两根即为渐近线方向设两根为k(=1,2),分别代入 tk 0 OX 即可得两渐近线方程 ox 评注:此法简单且直接,但若上述参数表示中的两基线之一为 渐近线,则k中应有0或∞,实际计算时容易丢失一条渐近线
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 : 0 ( ),| | 0, 0 (1) 3 3 3 , 1 = = = S a x x ai j aj i ai j A i j i j i j 求Γ的渐近线方程. 法一. 利用对合不变元素. 在 ' ( ') 0 ( 0) (4.40) 3 3 2 a2 2k k +a1 2 k + k + a1 1 = a1 1a2 2 − a1 2 = A 中, 令k=k'得不变元素方程为 2 12 11 0 2 a22k + a k + a = 此方程的两根即为渐近线方向. 设两根为ki (i=1,2), 分别代入 0 1 2 = + x S k x S 即可得两渐近线方程. 评注：此法简单且直接, 但若上述参数表示中的两基线之一为 渐近线, 则ki中应有0或∞, 实际计算时容易丢失一条渐近线
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线3求渐近线方程 S=0 法二.利用中心和渐近方向.联立 得, x a1x1+2a12x1x2+a2x2=0, 这表示过原点的两直线,其上无穷远点即为与的交点,从而它 们平行于两渐近线,化为非齐次,得 +2anxy+a 0 设中心的非齐次坐标为(,m).则渐近线的方程为 a1(x-5)2+2a12(x-2)y-m)+a2(y-m)2=0 评注:此法简单且直接,只要求出中心的非齐次坐标,渐近线 的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 法二. 利用中心和渐近方向. 评注：此法简单且直接, 只要求出中心的非齐次坐标, 渐近线 的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式). 联立 得， = = 0 0 3 x S 2 0, 2 12 1 2 22 2 2 a11x1 + a x x + a x = 这表示过原点的两直线, 其上无穷远点即为与l∞的交点, 从而它 们平行于两渐近线, 化为非齐次, 得 2 0. 2 12 22 2 a11x + a x y+ a y = 设中心的非齐次坐标为(, ). 则渐近线的方程为 ( ) 2 ( )( ) ( ) 0. 2 12 22 2 a11 x − + a x − y − + a y − =