§2.1交比 交比一最根本的射影不变量 点列中四点的交比 、定义 定义21.设P1,P2,P3,P4为点列P)中四点,且P1≠P2,其齐次 坐标依次为a,b,a+1b,a+2b则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的 个交比.定义为 (P2P3F)= 1) 称P1,P2为基点对,P32P4为分点对 定理21.设点列P)中四点P的齐次坐标为a+4,b(=1,2,34)则 (P2P3P4)= (1-213)(2-14) (2.2) (2-13)(41-x4) 2、性质3、特殊情况4、调和比5、交比的计算
§ 2.1 交比 一、点列中四点的交比 1、定义 交比 — 最根本的射影不变量 定义2.1. 设P1 , P2 , P3 , P4为点列l(P)中四点, 且P1 ≠P2，其齐次 坐标依次为a, b, a+λ1b, a+ λ2b. 则记(P1P2 ,P3P4 )表示这四点构成的 一个交比. 定义为 ( , ) . 2 1 1 2 3 4 PP P P = (2.1) 称P1 , P2为基点对， P3 , P4为分点对. 定理2.1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − PP P P = (2.2) 2、性质 3、特殊情况 4、调和比 5、交比的计算
§2.1交比 、点列中四点的交比 二、线束中四直线的交比 、线束的参数表示 设a,b为线束S(p)中取定的相异二直线则对于任意的p∈S(p) 其坐标可表示为 a+16 A∈R 称a,b为基线,λ为参数 注1这里ab,p均表示直线的齐次坐标 1=0 1=1←a+b:1=0←b 注2线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形 式,因此可由点列的交比对偶得到线束的交比 午作京师数科院周兴和
一、点列中四点的交比 二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 设a, b为线束S(p)中取定的相异二直线. 则对于任意的p∈S(p), 其坐标可表示为 a + b R. 称a, b为基线, λ为参数. 注1 这里a, b, p均表示直线的齐次坐标. λ=0 ↔ a; λ=1 ↔ a+b; λ=∞ ↔ b 注2 线束的参数表示与点列的参数表示有完全相同的代数形 式，因此可由点列的交比对偶得到线束的交比. 课件作者：南京师大数科院周兴和 § 2.1 交比
§2.1交比 二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 2、定义 定义23设p1p2,p3,p4为线束S(p)中四直线,且p12,其齐 次坐标依次为a,b,a+1b,a+A2b.则记(pp2p3D4)表示这四直线构 成的一个交比定义为 (P1P2,P3P4)= (25) 称p1,p2为基线偶,p3,p为分线偶 定理25设线束S(p)中四直线p的齐次坐标为a+4b(=1,2,3,4) 则 (P1P2,P3P4) (1-23)(2-4) (2-3)41-4) (26) 注上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构
二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 定义2.3 设p1 , p2 , p3 , p4为线束S(p)中四直线，且p1≠p2，其齐 次坐标依次为a, b, a+λ1b, a+λ2b. 则记(p1p2 , p3p4 )表示这四直线构 成的一个交比. 定义为 ( , ) . 2 1 1 2 3 4 p p p p = (2.5) 称p1 , p2为基线偶，p3 , p4为分线偶. 定理2.5 设线束S(p)中四直线pi的齐次坐标为a+λib(i=1,2,3,4). 则 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 − − − − p p p p = (2.6) 2、定义 注 上述定义、定理与点列的交比有相同的代数结构. § 2.1 交比
§2.1交比 二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示2、定义 3、交比为射影不变量 定理26设线束S(p)中四直线被直线s截 于四点P(=1,2,3,4)则 (P1P2,P3P4)=(PP2,B3P) P4 证明设直线p1,p2p3,p4的齐次坐标分别为a,b,a+λ1b,a+2b 直线s的齐次坐标为c.由Thm1.6可以求出点P的坐标分别为 a, a,l la a P b, b 而 B(B+A1P2),P(B1+2P2) 于是 (p,BP)==(P2,P)
二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量 定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截 于四点Pi (i=1,2,3,4). 则 ( , ) ( , ). p1 p2 p3 p4 = P1 P2 P3 P4 证明 设直线p1 , p2 , p3 , p4的齐次坐标分别为a, b, a+λ1b, a+λ2b, 直线s的齐次坐标为c. 由Thm.1.6'可以求出点Pi的坐标分别为 , , , , , , 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 c c b b c c b b c c b b P c c a a c c a a c c a a P 而 ( ), ( ). P3 P1 + 1 P2 P4 P1 + 2 P2 于是 ( , ) ( , ). 1 2 3 4 2 1 p1 p2 p3 p4 = = PP P P § 2.1 交比
§2.1交比 二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量 定理26设线束S(D)中四直线被直线s截于四点P(=1,2,34) 则 (P1P2,P3P4)=(PP2,B3P2) 推论2.5设P为点列(P)中四点,P与不在/上的定点S连线依 次为(i=1,2,34).则 (P2,BP4)=(PD1P2,P3P4) 证明与定理2.6完全对偶. 由定理26和推论25,立即可得下述重要结论 定理2.7交比为射影不变量 注由定理27关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过 对偶的方式(或者截与连的方式)相互移植、相互转化
二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量 推论2.5 设Pi为点列l(P) 中四点, Pi与不在l上的定点S连线依 次为pi (i=1,2,3,4). 则 ( , ) ( , ). P1 P2 P3 P4 = p1 p2 p3 p4 证明 与定理2.6完全对偶. 定理2.6 设线束S(p)中四直线pi被直线s截于四点Pi (i=1,2,3,4). 则 ( , ) ( , ). p1 p2 p3 p4 = P1 P2 P3 P4 由定理2.6和推论2.5, 立即可得下述重要结论 定理2.7 交比为射影不变量. 注 由定理2.7, 关于点的交比和关于直线的交比的讨论可以通过 对偶的方式(或者截与连的方式)相互移植、相互转化. § 2.1 交比
§2.1交比 二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量 4、直线交比的初等几何意义 (1)斜率表示 S(x yo) 如图,在以S(x030)为束心的线束中,取 y-1=0 定二直线x=x0,y=y,则直线的(负)斜率k可以 作为参数来表示线東 由定理2.5,可得 (y-y0)+(-k)(x-x)=0 定理28对于通常线束中以为斜率的四直线p1(=1,2,3,4),有 (P1P2,P3P4) k1-k3)(k2-k) (k2-k3)(k1-k4) 注容易看出,斜率参数k∈R(k=tana)
二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量 4、直线交比的初等几何意义 (1). 斜率表示 如图, 在以S(x0 ,y0 )为束心的线束中，取 定二直线x=x0 , y=y0 . 则直线的(负)斜率k可以 作为参数来表示线束. 由定理2.5，可得 定理2.8 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 k k k k k k k k p p p p − − − − = 注 容易看出，斜率参数 k R. § 2.1 交比 ( tan ). k =
§2.1交比 (1)斜率表示 定理28对于通常线束中以为斜率的四直线p(i=1,2,3,4),有 (P1P2,P3P4) k1-k3)(k2-k4) (k2-k3)(k1-k4) (2)三角函数表示 设直线p与x轴正向的夹角为a(=1,2,3,4)则将k=tan代入 上式,并利用三角恒等式进行化简,可得 定理29对于通常线束中以为斜率的四直线p1(=1,2,3,4),有 (P1P2,P3P4) sin( p,p3)sin( p2p4 sin( p2p3)sin( p,p4) 其中(P)表示由到p的夹角 推论26设p(i=1,2,34)为通常线束中四直线则p3,p4为1,p 夹角的内外平分线兮(PP2,ppD4)=1,且p3⊥p4 证明略.本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系
(1). 斜率表示 设直线pi与x轴正向的夹角为αi (i=1,2,3,4). 则将ki=tanαi代入 上式，并利用三角恒等式进行化简，可得 定理2.9 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有 . sin( )sin( ) sin( )sin( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 p p p p p p p p p p p p = 其中(pi pj )表示由pi到pj的夹角. (2). 三角函数表示 定理2.8 对于通常线束中以ki为斜率的四直线pi (i=1,2,3,4), 有 . ( )( ) ( )( ) ( , ) 2 3 1 4 1 3 2 4 1 2 3 4 k k k k k k k k p p p p − − − − = 推论2.6 设pi (i=1,2,3,4)为通常线束中四直线. 则p3 , p4为p1 , p2 夹角的内外平分线(p1p2 , p3p4 )=–1, 且p3⊥p4 . 证明略. 本推论建立了垂直、角平分线与调和比间的关系. § 2.1 交比
§2.1交比 二、线束中四直线的交比 、线束的参数表示2、定义3、交比为射影不变量 4、直线交比的初等几何意义 5、直线交比的计算 (1)由已知条件求交比 方法一.与点的交比计算完全对偶 方法二.以一条特殊直线截已知线束,转 P(AB, CD)=P(AB, CD) 化为点的交比计算.技巧是,取合适直线,使 截点坐标简单,易于计算 (2)由已知交比和其中三直线坐标,求第四条直线 与点列的交比对偶,有定理2.10和推论27(见教材P52-53) 上述内容不再举例,请自学 有趣的P52,例24
二、线束中四直线的交比 1、线束的参数表示 2、定义 3、交比为射影不变量 4、直线交比的初等几何意义 5、直线交比的计算 (1). 由已知条件求交比. 方法一. 与点的交比计算完全对偶. 方法二. 以一条特殊直线截已知线束, 转 化为点的交比计算. 技巧是, 取合适直线, 使 截点坐标简单, 易于计算. (2). 由已知交比和其中三直线坐标, 求第四条直线. 与点列的交比对偶, 有定理2.10和推论2.7(见教材P.52-53). 上述内容不再举例, 请自学. § 2.1 交比 有趣的P.52, 例2.4
§2.1交比 例6(P54,EX7)证明:两直线a1x2+2h1x+by2=0调和分离两 直线a2x2+2h2xy+b2y2=0分a1b2+a2b1-2h1h2 证将已知直线方程分别写为 b+2h-+a1=0分解 y-1x=0 韦达定理◆→ x y-12x=0 122=,41+12 h1 h121+2n21+a2=0分解 l3:y-12x=0 韦达定理→ X 14:y=2x=0 4=,2,2+A2 2h2(
例6 (P.54, Ex. 7)证明：两直线a1x 2+2h1xy+b1y 2=0调和分离两 直线a2x 2+2h2xy+b2y 2=0 a1b2+a2b1 -2h1h2 . § 2.1 交比 证. 将已知直线方程分别写为 2 1 1 1 2 0 y y b h a x x + + = 分解 1 1 2 2 : 0 : 0 l y x l y x − = − = 韦达定理 1 1 1 2 1 2 1 1 2 , (*) a h b b = + = − 2 2 2 2 2 0 y y b h a x x + + = 分解 3 3 4 4 : 0 : 0 l y x l y x − = − = 韦达定理 2 2 3 4 3 4 2 2 2 , (**) a h b b = + = −
§2.1交比 (4244)=-1÷(4-42-A4)=-142(42+24)=(4+)4+) (2-A4)41-x4) (*),(*)代入化简ab2+a2b-2hh2=0 例7.(P54,EX.8)求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分 线方程 解.设内外角平分线方程为 71⊥l2分A2=-1 ∫4:y-4x=0 4:y-2x=0 →2x2-(+2)x+y2=0今x2+(4+2) 利用上题可得 1+2 所求方程为
§ 2.1 交比 1 3 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 1 4 ( )( ) ( , ) 1 1 2( ) ( )( ) ( )( ) l l l l − − = − = − + = + + − − (*), (**)代入化简 1 2 2 1 1 2 a b a b h h + − = 2 0. 解. 设内外角平分线方程为 1 1 2 2 : 0 : 0 l y x l y x − = − = 2 2 1 2 1 2 x xy y − + + = ( ) 0 1 2 1 2 l l ⊥ = − 1 2 2 1 2 x xy y + + − = ( ) 0 利用上题可得 例7. (P.54, Ex. 8)求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分 线方程. , 1 2 h b − a + = 所求方程为 ( ) 0. 2 2 hx + b − a x y− hy =