§4.6二次曲线的仿射理论 二阶曲线与无穷远直线的关系 相异的实点 0 双曲型 l=重合的实点兮A3=0分{抛物型A3的符号仿射不变 共轭的虚点 椭圆型 二、二阶曲线的中心 有心:(A 31,4132,4133 );无心:( 31,4132 )或(a12,-a1,0)或(a2-a120) 三、直径与共轭直径 方程:+k=0,k∈R为共轭直径的斜率 共轭条件:a2k+a12(k+k)+a1=0,(a1a2-a2=A3≠0) 性质.在以有心二阶曲线r的中心为束心的线束中,直径与共 轭直径的对应是一个对合
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 三、直径与共轭直径 33 0 0 0 A = 双曲型 抛物型 椭圆型 相异的实点 重合的实点 共轭的虚点 ×l∞ = A33的符号仿射不变. 有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0). 1 2 0, S S k k R x x + = 方程： 为共轭直径的斜率 2 22 12 11 11 22 12 33 共轭条件：a kk a k k a a a a A ' ( ') 0, ( 0) + + + = − = 性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共 轭直径的对应是一个对合
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线 定义.二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线 注1.等价定义:过中心的有穷远切线称为渐近线 注2.与渐近线平行的方向称为渐近方向 注3双曲线 实 有两条渐近线,一对渐近方向;抛物线无渐近线 椭圆 从而,渐近线只对有心二阶曲线讨论
四、渐近线 1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线. 注1. 等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线. 注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向. 注3.双曲线 椭 圆 有两条 实 虚渐近线, 一对渐近方向；抛物线无渐近线. 从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论. § 4.6 二次曲线的仿射理论
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线 双曲线>双曲型对合 1.定义 2.性质 椭圆→椭圆型对合 1).渐近线是自共轭的直径 (2)在以二阶曲线的中心为束心的线束中,渐近线是对合 a2k+a12(k+k)+a1=0 11022 A32≠0 33 (4.40) 的两条不变直线 (3)有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭 直径
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 1. 定义 2. 性质 (1). 渐近线是自共轭的直径. (2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合 ' ( ') 0 ( 0) (4.40) 3 3 2 a2 2k k +a1 2 k + k + a1 1 = a1 1a2 2 − a1 2 = A 的两条不变直线. (3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭 直径. 双曲线 双曲型对合 椭 圆 椭圆型对合
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3.求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 T:S=∑axx1=0(an=an)an4≠=0,43≠0( 求的渐近线方程 法一.利用对合不变元素.在 a2+a12(k+k)+a1=0 C11 a2=A3≠0)(440) 中,令k=k得不变元素方程为 a2、y+2h2k+0 此方程的两根即为渐近线方向设两根为k(=1,2),分别代入 tk 0 OX 即可得两渐近线方程 ox 评注:此法简单且直接,但若上述参数表示中的两基线之一为 渐近线,则k中应有0或∞,实际计算时容易丢失一条渐近线
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 : 0 ( ),| | 0, 0 (1) 3 3 3 , 1 = = = S a x x ai j aj i ai j A i j i j i j 求Γ的渐近线方程. 法一. 利用对合不变元素. 在 ' ( ') 0 ( 0) (4.40) 3 3 2 a2 2k k +a1 2 k + k + a1 1 = a1 1a2 2 − a1 2 = A 中, 令k=k'得不变元素方程为 2 12 11 0 2 a22k + a k + a = 此方程的两根即为渐近线方向. 设两根为ki (i=1,2), 分别代入 0 1 2 = + x S k x S 即可得两渐近线方程. 评注：此法简单且直接, 但若上述参数表示中的两基线之一为 渐近线, 则ki中应有0或∞, 实际计算时容易丢失一条渐近线
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线3求渐近线方程 S=0 法二.利用中心和渐近方向.联立 得, x a1x1+2a12x1x2+a2x2=0, 这表示过原点的两直线,其上无穷远点即为与的交点,从而它 们平行于两渐近线,化为非齐次,得 +2anxy+a 0 设中心的非齐次坐标为(,m).则渐近线的方程为 a1(x-5)2+2a12(x-2)y-m)+a2(y-m)2=0 评注:此法简单且直接,只要求出中心的非齐次坐标,渐近线 的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 评注：此法简单且直接, 只要求出中心的非齐次坐标, 渐近线 的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式). 法二. 利用中心和渐近方向. 联立 得， = = 0 0 3 x S 2 0, 2 12 1 2 22 2 2 a11x1 + a x x + a x = 这表示过原点的两直线, 其上无穷远点即为与l∞的交点, 从而它 们平行于两渐近线, 化为非齐次, 得 2 0. 2 12 22 2 a11x + a x y+ a y = 设中心的非齐次坐标为(, ). 则渐近线的方程为 ( ) 2 ( )( ) ( ) 0. 2 12 22 2 a11 x − + a x − y − + a y − =
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线3求渐近线方程 法三.利用切线方程渐近线为过中心的切线,将中心P(A31A32,A3 代入SmS-S,即得渐近线方程现对此法进行整理因为 aS x+ x P P aS 由于P为中心,所以上式前二项的系数等于0,从而Sn=0x3)p 将中心坐标代入,得S=(a31+a242+a343)x3=an|x3 由此又得Sm=an|A3从而,过中心的切线渐近线)方程为 lai, lAs=a,I x3= A3s=a Ix 令=-1an|/A43得渐近线方程为 S+x2=0 评注:此法推导繁,实用不繁,因为在做题时,首先判断是否退 化,已有,再判断是否有心,A3也已知,从而为已知
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 评注：此法推导繁, 实用不繁, 因为在做题时, 首先判断是否退 化, |aij|已有, 再判断是否有心, A33也已知, 从而为已知. 法三. 利用切线方程. 渐近线为过中心的切线, 将中心P(A31,A32,A33) 代入SppS=S 2 p , 即得渐近线方程. 现对此法进行整理, 因为 3 3 2 2 1 1 x x S x x S x x S S p p p p + + = 由于P为中心, 所以上式前二项的系数等于0, 从而 . 3 3 x x S S p p = 将中心坐标代入, 得 ( ) | | . 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 S a A a A a A x a x p = + + = i j 由此又得 | | . Spp = aij A33 从而, 过中心的切线(渐近线)方程为 | | | | | | . 2 33 3 2 3 2 33 a A S a x A S a x i j = i j = i j 令 | | / . = − aij A33 得渐近线方程为 0. 2 S + x3 =
§4.6二次曲线的仿射理论 四、渐近线3求渐近线方程 例1.(P142,例422)求双曲线x2+3xy4y2+2x-10y=0的渐近线方 程 解.法一、法二见教材.以下分析法三有两种途径 途径一直接计算和A32然后求出2,即可写出方程(442) 途径二.因为渐近线的方程为 S+2x2=0 (4.42) (442)表示一条退化二阶曲线,退化为两条相交直线(渐近线).故 12 13 2 23 0 13 L2a2+ 23 33 从中解出λ,代入(442)即可这是教材上的方法
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 例1. (P.142, 例4.22) 求双曲线x 2+3xy-4y 2+2x-10y=0的渐近线方 程. 2 3 S x + = 0. (4.42) 解. 法一、法二. 见教材. 以下分析法三. 有两种途径. 途径一. 直接计算|aij|和A33, 然后求出, 即可写出方程(4.42). 途径二. 因为渐近线的方程为 (4.42)表示一条退化二阶曲线, 退化为两条相交直线(渐近线). 故 0. 13 23 33 12 22 23 11 12 13 = a a a + a a a a a a 从中解出, 代入(4.42)即可. 这是教材上的方法
§4.6二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例2.(P143,EX.5)求下列两二阶曲线的公共共轭直径 x+xy+y=l, 2:3x2-xy+2y2=1 解.经验证,两曲线均为非退化有心二阶曲线(椭圆),有公共的 中心为坐标原点.所以可能有公共的共轭直径 两曲线的共轭方向方程(即直径与共轭直径的对合)分别为 r1:2Mk+k+k+2=0, 4kk-k-k"+6=0. 联立上述解出公共的共轭方向为1+1,:1-√13 分别代入直径方程(4.37,得到公共共轭直径的方程为 ±√13 y x
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例2. (P.143, Ex. 5)求下列两二阶曲线的公共共轭直径 解. 经验证, 两曲线均为非退化有心二阶曲线(椭圆), 有公共的 中心为坐标原点. 所以可能有公共的共轭直径. 2 2 1 2 2 2 : 1, : 3 2 1. x xy y x xy y + + = − + = 两曲线的共轭方向方程(即直径与共轭直径的对合)分别为 1 2 : 2 ' ' 2 0, : 4 ' ' 6 0. kk k k kk k k + + + = − − + = 联立上述, 解出公共的共轭方向为 . 3 1 13 , 3 1 13 1 2 − = + k = k 分别代入直径方程(4.37), 得到公共共轭直径的方程为 1 2 1 13 , : . 3 l l y x =
§4.6二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例3.双曲线的任一切线交两渐近线 于两点,求证:切点是此二交点连线的 中点 证明.如图,只要证(PQ,MN)=1 为此,只要证CM,CN为一对共轭直径 M的极线为PQ C的极线为→CM的极点为XPQ=N N的极线为CM →CMCN为一对 C的极线为l →CN的极点为lXCM=M 共轭直径
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例3. 双曲线的任一切线交两渐近线 于两点, 求证：切点是此二交点连线的 中点. 证明. 如图, 只要证(PQ, MN∞)=–1. 为此, 只要证CM, CN∞为一对共轭直径. M的极线为PQ C的极线为l∞ CM的极点为l∞PQ=N∞ N∞的极线为CM C的极线为l∞ CN∞的极点为l∞CM=M∞ CM, CN∞为一对 共轭直径
§4.6二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例4.(P144,Ex9)任一直线交双曲线 与两渐近线成相等线段 证明.目标:PA=BQ 取AB中点M,则 (AB,MN)=-1. 从而,M在N的极线上CMCN为一对共轭直径于是有 C(PO, M)=-1. Ep (PO, M)=-1 即M也是PQ的中点,于是有PA=BQ
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例4. (P.144, Ex.9)任一直线交双曲线 与两渐近线成相等线段. 证明. 目标：PA=BQ. 取AB中点M, 则 ( , ) = −1. AB MN 从而, M在N∞的极线上. CM, CN∞为一对共轭直径. 于是有 ( , ) = −1. ( , ) = −1. C PQ MN 即 PQ MN 即M也是PQ的中点, 于是有PA=BQ