第一章射影平面 本章地位—学习平面射影几何的基础 本章内容一 定义射影平面,引入齐次 坐标,学习对偶原则 附带一个重要定理— Desargues透视定理 学习注意 认真思考,牢固掌握基本 概念,排除传统习惯干扰
第一章 射影平面 本章地位 学习平面射影几何的基础 本章内容 定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则 附带一个重要定理 Desargues透视定理 学习注意 认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
§1.1拓广平面 、中心射影 1、平面上两直线间的中心射影 定义119:1→>7 O投射中心(Og∪1) OP投射线 P′l上的点P在P上的像 P上的点P在l上的像 因此,g1:l→l是l到l的中心射影 三个特殊的点: X=1Xl自对应点(不变点) OUM′,与不相交,U为l上的影消点 OIM,与l不相交,V为/上的影消点 影消点的存在,导致两直线间的中心射影不是一个双射!
§ 1.1 拓广平面 一、中心射影 1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1 :l → l' 因此 ，φ –1 : l' → l是 l' 到 l 的中心射影 OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射! X=l×l' 自对应点(不变点) OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 三个特殊的点： O O l l 投射中心( ')
§1.1拓广平面 中心射影 2、平面到平面的中心射影 定义12q:x→>m O投射中心(Ogz∪x) OP投射线 P′丌上的点P在π'上的像 Px′上的点P在上的像 因此,:→)x是倒到的中心射影 三条特殊的直线 x=xx自对应直线(不变直线 ler,VU∈,OU∥r',u为由影消点构成的影消线 v∈r,VW∈v,O∥x,v为由影消点构成的影消线 影消线的存在,导致两平面间的中心射影不是一个双射!
§ 1.1 拓广平面 一、中心射影 2、平面到平面的中心射影 定义1.2 : → ' OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像 因此 ， → − : ' 1 是π'到π的中心射影 自对应直线(不变直线) 三条特殊的直线： x = ' u ,U u,OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ' ,V'v' ,OV '// ， v'为由影消点构成的影消线 影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个双射! O O 投射中心( ')
§1.1拓广平面 、中心射影 1、平面上两直线间的中心射影 定义119:1->7 2、平面到平面的中心射影 均不是双射 定义1,2q:7→>m 中心射影不是双射的原因:存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因:平行的直线没有交点 Q如何使得中心射影成为一个双射? 给平行线添加交点!
§ 1.1 拓广平面 一、中心射影 1、平面上两直线间的中心射影 定义1.1 :l → l' 2、平面到平面的中心射影 定义1.2 : → ' } 均不是双射 中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点 如何使得中心射影成为一个双射？ 给平行线添加交点！
§1.1射影平面 一、中心射影 二、无穷远元素 目标:改造空间,使得中心射影成为双射 途径:给平行直线添加交点 要求:不破坏下列两个基本关系 两条相异直线确定惟一一个点(交点) }点与直线的关联关系 两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.1 射影平面 一、中心射影 二、无穷远元素 目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系 两条相异直线确定惟一一个点(交点) 两个相异点确定惟一一条直线(连线) } 点与直线的关联关系
§1.1拓广平面 二、无穷远元素 约定1.1(1)在每一条直线上添加惟一一个点,此点不是该直 线上原有的点称为无穷远点(理想点,记作P (2)相互平行的直线上添加的无穷远点相同,不平行的直线上 添加的无穷远点不同 区别起见,称平面上原有的点为有穷远点(通常点),记作P 约定1.1(3)按约定(1,(2)添加无穷远点之后,平面上全体 无穷远点构成一条直线,称为无穷远直线(理想直线),记作l 区别起见,称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线) 总结:在平面上添加无穷远元素之后,没有破坏点与直线 的关联关系,同时使得中心射影成为双射
§ 1.1 拓广平面 二、无穷远元素 约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞ (2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同. 区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P 约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞ 区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l 总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为双射
§1.1拓广平面 理解约定11(1),(2) 1、对应平面上每一方向,有惟一无穷远点.平行的直线交于同 无穷远点;交于同一无穷远点的直线相互平行 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点 3、平面上添加的无穷远点个数=过一个通常点的直线数 4、不平行的直线上的无穷远点不同.因而,对于通常直线: 无穷远点 两直线 不平行交于惟二有穷远点 平面上任二直线总相交 5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点
§ 1.1 拓广平面 理解约定1.1(1), (2) 1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 两直线 平 行 不平行 交于惟一 无穷远点 有穷远点 平面上任二直线总相交 5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点
§1.1拓广平面 理解约定11(3) 、无穷远直线为无穷远点的轨迹.无穷远直线上的点均为无穷 远点;平面上任何无穷远点均在无穷远直线上 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点 3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线;过同 条无穷远直线的平面相互平行.因而,对于通常平面: 平行 无穷远直线 两平面 不平行交于惟 有穷远直线 空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 1.1 拓广平面 理解约定1.1(3) 1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上. 2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点. 3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线. 4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面： 两平面 平 行 不平行 交于惟一 无穷远直线 有穷远直线 空间中任二平面必相交于唯一直线
§1.1拓广平面 三、拓广平面 定义13通常点和无穷远点统称拓广点; 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线); 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面) 定理1.1在拓广平面上,点与直线的关联关系成立: (1)两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线; (2)两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点 四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 1、拓广直线(射影仿射直线) (1)拓广直线的封闭性 欧氏直线:向两个方向无限伸展 拓广直线:向两方前进最终都到达同一个无穷远点
§ 1.1 拓广平面 三、拓广平面 定义1.3 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面). 定理1.1 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点. (1) 拓广直线的封闭性 拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点 四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 欧氏直线：向两个方向无限伸展 1、拓广直线(射影仿射直线)
§1.1拓广平面 (2)拓广直线的拓扑模型 ()欧氏平面上的圆 i)叠合对径点的圆 (i欧氏平面上过原点的直 线的集合(线束模型) (iv)欧氏平面去掉原点后, 过原点每一直线的所有点作 为拓广直线的一个点
§ 1.1 拓广平面 (2) 拓广直线的拓扑模型 (i) 欧氏平面上的圆 (ii) 叠合对径点的圆 (iii) 欧氏平面上过原点的直 线的集合(线束模型) (iv) 欧氏平面去掉原点后， 过原点每一直线的所有点作 为拓广直线的一个点