学校2世纪教材 第七章半群与群 7.1半群和异点的定义及其性质 7.2半群和异点的同态与同构 7.3积半群 7.4群的基本定义与性质 7.5置换群和循环 7.6子群与倍集 77群的同杰与同构 PT PRESS 人民邮电出版社 退出
第七章 半群与群 7.1 半群和独异点的定义及其性质 7.2 半群和独异点的同态与同构 7.3 积半群 7.4 群的基本定义与性质 7.5 置换群和循环群 7.6 子群与陪集 7.7 群的同态与同构 退出
学校2世纪教材 7.1半群和热异点的定义及其性质 定义7.1.1给定,若⊙满足结合律, 则称为半群。 可见,半群就是由集合及其上定义的一个 可结合的二元运算组成的代数结构 定义71.2定,若是半群 且○有幺元或O满足结合律且拥有幺元,则称 为独异点。 PT PRESS 人民邮电出版社
7.1 半群和独异点的定义及其性质 定义7.1.1 给定，若⊙满足结合律， 则称为半群。 可见，半群就是由集合及其上定义的一个 可结合的二元运算组成的代数结构。 定义7.1.2 定，若是半群 且○有幺元或○满足结合律且拥有幺元，则称 为独异点
陵21世纪教材 可以看出,独异点是含有幺元的半群。因 此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为 了强调幺元e,独异点表为。 如果半群中的集合S是有限的,则 称半群为有限半群,对于有限半群可以给出下 面有趣定理。 定理71.1为有限半群 →(x)(x∈s∧x⊙x=x) 本定理告诉我们,有限半群存在等幂元 PT PRESS 人民邮电出版社
可以看出，独异点是含有幺元的半群。因 此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为 了强调幺元e，独异点表为。 如果半群中的集合S是有限的，则 称半群为有限半群，对于有限半群可以给出下 面有趣定理。 定 理 7.1.1 为有限半群 (x)(x∈S∧x⊙x=x) 本定理告诉我们，有限半群存在等幂元
学校2世纪教材 定义7.1.3给定半群,若⊙是可交 换的,则称是可交换半群。类似地可定 义可交换独异点。 定义71.4给定半群和g∈S,以及 自然数集合N,则 g为 ⊙ 的生成 元:=(x)(x∈S→(日n)(n∈N∧x=g") 此时也说,元素g生成半群,而且 称该半群为循环半群。 类似地定义独异点<M,Q,e的生成元g 和循环独异点,并且规定g"=e PT PRESS 人民邮电出版社
定义7.1.3 给定半群，若⊙是可交 换的，则称是可交换半群。类似地可定 义可交换独异点。 定义7.1.4 给定半群和g∈S，以及 自然数集合N，则 g 为 的 生 成 元:=(x)(x∈S→(n)(n∈N∧x=g n )) 此时也说，元素g生成半群，而且 称该半群为循环半群。 类似地定义独异点的生成元g 和循环独异点，并且规定g 0=e
陵21世纪教材 定理7.1.2每个循环独异点都是可交换的。 可见,○是可交换的,故是可 交换的。显然,每个循环半群也是可交换的。 对于生成元的概念加以推广便得出生成集 的概念 PT PRESS 人民邮电出版社
定理7.1.2 每个循环独异点都是可交换的。 可见，○是可交换的，故是可 交换的。显然，每个循环半群也是可交换的。 对于生成元的概念加以推广便得出生成集 的概念
陵21世纪教材 定义71.5给定半群及GS,则 G为的生成 集:=(√a)(a∈S→=⊙(O)∧min|Gl 这里⊙(G表示用G中的元素经○的复合而 生成的元素。 类似地定义独异点<M,O,的生成集。 PT PRESS 人民邮电出版社
定义7.1.5 给定半群及GS，则 G为的生成 集:=(a)(a∈S→a=⊙(G))∧ |G| 这里⊙(G)表示用G中的元素经⊙的复合而 生成的元素。 类似地定义独异点的生成集
陵21世纪教材 定义71.6给定半群及非空集TcS, 若T对⊙封闭,则称为的子半 群 类似地定义独异点,应注意的是e∈P PT PRESS 人民邮电出版社
定义7.1.6 给定半群及非空集TS， 若T对⊙封闭，则称为的子半 群。 类似地定义独异点的子独异点 ，应注意的是e∈P
陵21世纪教材 定理71.3给定半群及任意a∈S, 则是循环子半群。 显然,a是的生成 元。故是循环子半群。 PT PRESS 人民邮电出版社
定理7.1.3 给定半群及任意a∈S， 则是循环子半群。 显然，a是的生成 元。故是循环子半群
陵21世纪教材 定理71.4给定可交换独异点为子独异 点 定理71.5设为独异点,则关 于○的运算表中任两列或任两行均不相同。 PT PRESS 人民邮电出版社
定理7.1.4 给定可交换独异点， 若P为其等幂元集合，则为子独异 点。 定理7.1.5 设为独异点，则关 于○的运算表中任两列或任两行均不相同
陵21世纪教材 定理71.6给定独异点,对任 意a,b∈M且a,b均有逆元,则 (1)(a)1=ao (2)aob有逆元,且(aob)1= b-loar1 PT PRESS 人民邮电出版社
定理7.1.6 给定独异点，对任 意a，b∈M且a，b均有逆元，则 (1) (a -1 ) -1=a。 (2) a○b有逆元，且(a○b) -1=b -1○a -1