东北财经大学数学与数量经济学院：《应用概率论》第二章 随机变量（2.2）随机变量的分布函数（郑永冰）

2.2随机变量的分布函数 郑永冰 数学与数量经济学院

郑 永 冰 数 学 与 数 量 经 济 学 院 2.2 随机变量的分布函数

分布函数的概念

一 、分布函数的概念

F(x) 定义对任意实数x,称 F(x=PIXAr F(x) 为RVX的分布函数。 >F(x)为普通函数。 F(x)表示RVX落在x点及其左方的概率 Vx <x2. P{x1<X≤x2}= PiXsx2}-PIX≤x =F(x2)-F(x1)

定义 对任意实数x，称 F(x)=P{X≤x} 为R.V. X的分布函数。 ➢ F(x)为普通函数。 ➢ F(x)表示R.V. X落在x点及其左方的概率。 O X x x F(x) F(x) . x1  x2 { } { } { } P x1  X  x2 = P X  x2 − P X  x1 ( ) ( ) = F x2 − F x1

分布函数的基本性质: (1)0≤F(x)≤1; (2)x1<x2→F(x1)≤F(x2),即F(x)为单调不减函数 (3)F(-∞)=limF(x)=0 F(+oo)=lim F(x=1; x→}+ (4)F(x)右连续,即(x+0)=F(x) 设RX的分布函数为F(x),则 PX≤a=F(a) 图 P(<X≤b=F(b)-F(a F(rl-.o P{X=a}=F(a)-F(a-0), F(X)在m处的跳跃

分布函数的基本性质： O X x x F(x) F(x) (1) 0 F(x) 1; (2) ( ) ( ) ( ) ; x1  x2  F x1  F x2 ，即F x 为单调不减函数 ( ) lim ( ) 1; (3) ( ) lim ( ) 0 +  = = −  = = →+  →−  F F x F F x x x (4) F(x)右连续，即F(x + 0) = F(x). 设R.V. X的分布函数为F(x)，则 P{X  a}= F(a), P{a  X  b}= F(b) − F(a), F X 在a处的跳跃。 P X a F a F a ( ) { = } = ( ) − ( − 0), 图

计算RV.X落在其他区间内的概率都可用此三式 转化,如P{Xa}=1-F(a) Pla0, Pla-80即可。 ((((((→

0, { } ( ) ( ) { } { } { }   −    = − −    =   − = P a X a F a F a P a X b P a X b P X b  计算R.V. X落在其他区间内的概率都可用此三式 转化，如P{X>a}=1-F(a). 令 → 0 + 即可。 ( ( a −  a ( ( ( ( ]

例1RV.X的分布律为 0 1 2 Pk 0.30.60.1 求X的分布函数(x)并求P{1<X≤2},F(0.5)及PX=0.5} 解F(x)=PX5x}=∑PX=x} k ≤x x<0. P{X=0}=0.3 0≤x<1, P{X=0+PX=1=0.9,1≤x<2

解 F(x) = P{X  x} 例1 R.V. X的分布律为 求X的分布函数F(x)，并求P{1 X  2},F(0.5)及P{X = 0.5}. pk 0.3 0.6 0.1 X 0 1 2   = = x k x P X xk { }        = 0, x  0, P{X = 0} 0 x 1, P{X = 0}+ P{X =1} = 0.3, = 0.9, 1 x  2, 1, x  2

P{1<X≤2}=F(2)-F(1)=1-0.9=0.1 或 =P{X=2}. F(0.5=03, P{X=0.5}=0 0.9 0.3

P{1 X  2} P{X = 0.5}= 0. = F(2) − F(1) = 1 − 0.9 = 0.1 = P{X = 2}. 或 F(0.5) = 0.3, O 1 2 x 0.3 0.9 1

例1.4.1设随机变量X服从参数为07的0-1分布即: ,求X的分布函数 P0.30.7 解(1)当x<时,F(x)=P(Xx)=∑P(x=x)=0 (2)当0≤x<时F(x)=P(Xx)=∑P(X=x)=P(X=0)=0.3 x1≤x (3)当1x时F(x)=P(Xx)=∑P(x=x) x:≤X P(X=0)+P(X=1)=1分布函数图形如下 所以 F(x) 0x<0 F(x)={0.30≤x<1 0.3 11≤x 01

例1.4.1 设随机变量X服从参数为0.7的0-1分布,即: X 0 1 P 0.3 0.7 ,求X的分布函数. 解 (1) 当x<0时,F(x)=P(X≤x)=   = x x i i P(X x ) =0 (2)当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=   = x x i i P(X x ) =P(X=0)=0.3 (3)当1≤x时,F(x)=P(X≤x)=   = x x i i P(X x ) =P(X=0)+P(X=1)=1 分布函数图形如下 x F(x) 1 1 0.3 0 所以          = x x x F x 1 1 0.3 0 1 0 0 ( )

由此可见 (1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X 的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到逐段递增图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值 例142设X的分布函数为 0x<0 0.40≤x<1 F(x) 求X的概率分布 0.81<x<2 12<x 解X的取值为X|0 对应概率值为P040402

对应概率值为 P 0.4 0.4 0.2 (1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分段区间是由X 的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的对应概率值. 例1.4.2 设X的分布函数为              = 1 2 x 0.8 1 x 2 0.4 0 x 1 0 x 0 F( x ) 求X的概率分布. 解 X的取值为 X 0 1 2 由此可见

例2一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上 任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比,并设射 击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离。求随机 变量X的分布函数。 解 x<0, F(x)=PIX<x)= kx2 x. 0<x<2, x≥2. 0k2÷1=P0sXs2}=kn2, 4兀

解 x X O x 2 例2 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上 任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设射 击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。求随机 变量X的分布函数。         F(x) = P{X  x} = 0, x  0, 2 kx , 4 2 x = 0 x  2, 1, x  2. 1= P{0 X  2} 2 , 2 = k . 4 1  k =