第三章随机变量的数字特征
第三章 随机变量的数字特征
第一节数学期望
第一节 数学期望
用来刻画随机变量的特征的量,叫做随机变量的数 字特征。这些数字特征虽不能完整地描述随机变量的统 计规律,但刻画了随机变量在某些方面的重要特征。 随机变量的常用的几个数字特征为:数学期望、方 差、标准差、协方差、相关系数、矩和协方差矩阵
用来刻画随机变量的特征的量，叫做随机变量的数 字特征。这些数字特征虽不能完整地描述随机变量的统 计规律，但刻画了随机变量在某些方面的重要特征。 随机变量的常用的几个数字特征为：数学期望、方 差、标准差、协方差、相关系数、矩和协方差矩阵
、离散型随机变量的数学期望 例设随机变量X的取值为x1,x2,x12X的分布律为 2 Pk 设在n次重合观测的结果中,有m1个x1,m2个 25 ,m个xm1+m2+…+m=m),则随机变量X的n次观测 ●●● 值的平均值为 m1x1+m12x2+…+n从分飞孓n mn+…+xn (4.1)
一、离散型随机变量的数学期望 例 设随机变量X的取值为x1 ,x2 , … ,xl,X的分布律为 X xl x2 … xl pk pl p2 … pl 设在n次重合观测的结果中，有m1个x1，m2个 x2 , … ,ml个xl(m1+m2+…+ml=n)，则随机变量X的n次观测 值的平均值为 . (4.1) 2 2 1 1 1 1 2 2 n m x n m x n m x n m x m x m x l l l l
这是以频率为权的加权平均,若令 Pi=f(r=mi 则(41)式变为 x1P1+x2P2+…+1P1 ∑ 在概率论中称为随机变量X的数学期望。现在我们 引进如下定义
这是以频率为权的加权平均，若令 ( ) ,i 1,2, ,l. n m p f x i i i 则(4.1)式变为 . 1 1 1 2 2 i l l i i x p x p x p x p 在概率论中称为随机变量X的数学期望。现在我们 引进如下定义
定义41设离散型随机变量X的分布律为 PIX=xK=Pk, k=1, 2, 若级数∑x绝对收敛,即∑x1p收敛,则称 =1 ∑xD为随机变量X的数学期望,简称期望,又称为均 值,记为E(X)或EX,即 E(X)=∑ 若∑|x不收敛,则称E(X)不存在 k=1
定义4.1 设离散型随机变量X的分布律为 P{X x } p ,k 1,2,, k k 值，记为 或 ，即 为随机变量 的数学期望，简称期望 ，又称为均 若级数 绝对收敛，即 收敛 则称 E X EX x p X x p x p k k k k k k k k k ( ) | | , 1 1 1 1 ( ) . (4.2) k k k E X x p 若 | | 不收敛，则称 ( )不存在。 1 x p E X k k k
注:①级数∑xAp绝对收敛可以保证“级数的各项任意重排后 =1 所得级数的和保持不变”。这样,随机变量X取值的人为 排列次序就不会影响E(X)的值。 ②特别,若X的分布律为 P{X=xk}=-,k=1,2,…,H 则E(X)= ∑ x,化成求n个实数x1,x2,…,x的算术平均 值。所以说数学期望是平均值的推广
排列次序就不会影响 的值。 所得级数的和保持不变 ” 。这样，随机变量 取值的人为 注：①级数 绝对收敛可以保证“级 数的各项任意重排后 ( ) 1 E X X x p k k k 值。所以说数学期望是平均值的推广。 则 化成求 个实数 的算术平均 ②特别，若 的分布律为 n n k k k x n x x x n E X k n n P X x X , , , , 1 ( ) , 1,2, , . 1 { } 1 2 1
例41设袋中装有2个自球和3个红球,将球一个 个取出,每次取出后不放回。设在第X次第二次取得 红球,求E(X 解X的所有可能取值为2,3,4 P{X=2}=P{在第二次第二次取得红球} P{前两次都取得红球} 2325 =0.3 P{X=3}=P{在第三次第二次取得红球} =P前两次只取得一个红球而第三次取 的是红球} =0.4. C23
例4.1 设袋中装有2个白球和3个红球，将球一个 一个取出，每次取出后不放回。设在第X次第二次取得 红球，求E(X). 0.3, 2 5 2 3 C C 解 X的所有可能取值为2,3,4. P{X=2}=P{在第二次第二次取得红球} =P{前两次都取得红球} P{X=3}=P{在第三次第二次取得红球} =P{前两次只取得一个红球而第三次取 的是红球} 0.4, 3 2 2 5 1 3 1 2 C C C
P{X=4}=P{在第四次第二次取得红球} =P{前三次只取得一个红球而第四次取 的是红球} =0.3 或PX=4}=1P{X=2}P{X=3}-=1-0.3-04-0.3 即X的分布律为 X 2 3 0.30.40.3 从而EX)=2×0.3+3×044×0.3=3
P{X=4}=P{在第四次第二次取得红球} =P{前三次只取得一个红球而第四次取 的是红球} 或P{X=4}=1-P{X=2}-P{X=3}=1-0.3-0.4=0.3. 即X的分布律为 0.3, 2 2 3 5 1 3 2 2 C C C X 2 3 4 pk 0.3 0.4 0.3 从而E(X)=2×0.3+3×0.4+4×0.3=3
求离散型随机变量的数学期望,关键是先求其分布 律再求期望。 例4.3某射手连续向一目标射击,直到第一次击 中目标时为止,设每次射击击中目标的概率都是 p(0①p<1),求射击次数X的数学期望
求离散型随机变量的数学期望，关键是先求其分布 律再求期望。 例4.3 某射手连续向一目标射击，直到第一次击 中目标时为止，设每次射击击中目标的概率都是 p(0<p<1)，求射击次数X的数学期望