高等学校21卌纪教材 第八章环和域 8,1环 8.,2子环与理想 8.3环同杰与环同构 8.4域 8.5有原域 PT PRESS 人民邮电出版社 退出
第八章 环 和 域 8.1 环 8.2 子环与理想 8.3 环同态与环同构 8.4 域 8.5 有限域 退出
高等学校21卌纪教材 8.1环 定义8.1.1给定,其中+和都是 二元运算,若①是Abe群,②是 半群,③对于+是可分配的,则称是 环 为了方便,通常将+称为加法,将·称为乘 法,把称为加法群,称为乘法半 群。而且还规定,运算的顺序先乘法后加法。 PT PRESS 人民邮电出版社
8.1 环 定义8.1.1 给定，其中+和·都是 二元运算，若①是Abel群，②是 半群，③·对于+是可分配的，则称是 环。 为了方便，通常将+称为加法，将·称为乘 法，把称为加法群，称为乘法半 群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法
高等学校21卌纪教材 环的加法群的幺元或加法零元称为环 的零元,以0示之。若a∈R,则其加法逆 元以-a表之。 常常又根据环中乘法半群满足不同性 质,将环冠于不同的名称。 PT PRESS 人民邮电出版社
环的加法群的幺元或加法零元称为环 的零元，以0示之。若a∈R，则其加法逆 元以-a表之。 常常又根据环中乘法半群满足不同性 质，将环冠于不同的名称
高等学校21卌纪教材 定义8.1.2给定环,若是 可交换半群,则称是可交换环;若 是独异点,则称是含幺环; 若满足等幂律,则称是布尔 环 通常用1表示的幺元。在中 若a∈R的逆元存在,则以a1表示其乘法逆元。 PT PRESS 人民邮电出版社
定义8.1.2 给定环，若是 可交换半群，则称是可交换环；若 是独异点，则称是含幺环； 若满足等幂律，则称是布尔 环。 通常用1表示的幺元。在中， 若a∈R的逆元存在，则以a -1表示其乘法逆元
高等学校21卌纪教材 定理81.1是环→(√a)(a∈R→0=04=0) 下面讨论加法逆元的性质,为方便记,a+(-b)表 成a-b。 定理81.2是环→(va)(vb) b∈R→(b)=a(-b)=(-m)b PT PRESS 人民邮电出版社
定理8.1.1 是环(a)(a∈R→a·0=0·a=0) 下面讨论加法逆元的性质，为方便记，a+(-b)表 成a-b。 定 理 8.1.2 是 环 (a)(b)(a ， b∈R→-(a·b)=a·(-b)=(-a)·b
高等学校21卌纪教材 同理-(ab)=(a)b 推论1(√a)(vb)(a,b∈R→(-a)(-b)=ab) 推论2(a)(b)(Vc)(a,b,c∈R→(a(b O)=ab-a c)/((b-c) a=b a-c" a)) 由定理81.1可知,环中任二元素相乘,若 其中至少有一个为零元,则乘积必为零元。但 反之未必真,这是因为在环中,两个非零元的 乘积可能为零元,这便引出环的零因子的概念。 PT PRESS 人民邮电出版社
同理 -(a·b)=(-a)·b 推论1 (a)(b)(a，b∈R→(-a)·(-b)=a·b) 推论2 (a)(b)(c)(a，b，c∈R→(a·(bc)=a·b-a·c)∧((b-c)·a=b·a-c·a)) 由定理8.1.1可知，环中任二元素相乘，若 其中至少有一个为零元，则乘积必为零元。但 反之未必真，这是因为在环中，两个非零元的 乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念
高等学校21卌纪教材 定义8.1.3给定环,则环中有零因子:=(三a)(日b)(a, b∈R∧a0∧b(0→x:b=0) 并称该环为含零因子环,a和b是零因子。 注意,零因子其自身非零也。 PT PRESS 人民邮电出版社
定义8.1.3 给定环，则环中有零因子:=(a)(b)(a， b∈R∧a≠0∧b≠0→a·b=0) 并称该环为含零因子环，a和b是零因子。 注意，零因子其自身非零也
高等学校21卌纪教材 定理8.1.3给定环为无零因子环令满足可约律。 定义8.1.4给定可交换含幺环无零因子,则称为整环。 由定义8.1.3知道,环中可约律与无零因子 是等价的,因此整环是无零因子可交换含幺环 或者说是满足可约律可交换含幺环。 PT PRESS 人民邮电出版社
定理8.1.3 给定环，则为无零因子环满足可约律。 定义8.1.4 给定可交换含幺环， 若无零因子，则称为整环。 由定义8.1.3知道，环中可约律与无零因子 是等价的，因此整环是无零因子可交换含幺环 或者说是满足可约律可交换含幺环
高等学校21卌纪教材 下面再给出一个定理以结束本节 定理8.1.4给定含幺环且 R≠0},则R≌2。 PT PRESS 人民邮电出版社
下面再给出一个定理以结束本节。 定理8.1.4 给定含幺环且 R≠{0}，则|R|≥2
高等学校21卌纪教材 8.2子环与理想 与讨论群与子群一样,对于环也要讨论子 环 定义82.1给定环和非空集合 ScR,若是的子群,是 的子半群,则称是<R,+, 的子环。 PT PRESS 人民邮电出版社
8.2 子环与理想 与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子 环。 定义8.2.1 给定环和非空集合 SR，若是的子群，是 的子半群，则称是 的子环