随机变量的相互独立性与条件分布
随机变量的相互独立性与条件分布
定义称随机变量XY相互独立,若对任意a<bc<d有 Pfasxsb, csrd=pfasxbpcsrsd 定理1 pii=pip 离散型 随机变量巧与Y是相互独立的◇ (xy)=(x)/(y)连续型 定理2 若X与Y相互独立,则它们的连续函数g(x)与h(Y也相互 独立。 特别有aX+b与cY+d相互独立
定义 称随机变量X,Y相互独立,若对任意a<b,c<d有: = = 连续型 离散型 随机变量 与 是相互独立的 f ( x, y ) f ( x )f ( y ) p p p X Y 1 2 i j i. . j P{ a X b,c Y d } = P{ a X b }P{ c Y d } 定理1 若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X )与h(Y)也相互 独立。 特别有 aX+b与cY+d相互独立. 定理2
例222(X,Y)的联合概率分布为 Y 0 (1)求X,Y的边缘分布; 00304(2)判断XY是否独立 0.20.1(3)求F(0,2) 解(1)X,Y的概率分布分别为 X 0 P0.70.3 P 0.50.5 (2)P(X=0,Y=0)=0.3P(X=0)P(Y=0)=0.7×0.5=0.35 P(X=0,y=0)≠P(X=0)P(Y=0)X,Y不独立 注意XY独立时需对所有的(x)验证 3)F(0,2)=P(X<0,Y<2)=0.3+0.4=0.7
例2.2.2 (X,Y)的联合概率分布为: X 0 1 Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1 (1)求X,Y的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立. (3)求F(0,2). 解:(1)X,Y的概率分布分别为: X 0 1 P 0.7 0.3 Y 0 1 P 0.5 0.5 (2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.35 P( X = 0,Y = 0 ) P( X = 0 )P(Y = 0 ) X,Y不独立. 注意:X,Y独立时,需对所有的(xi ,yj )一一验证. =0.7×0.5 (3)F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)=0.3+0.4=0.7
例2.2.3设(XY)服从区域D上的均匀分布判断X,Y 的独立性,其中 (1)D={(Xy)x1 f(x,y)=f1(x2(y)所以X,Y独立 x2+y2≤l 2-y lyk (2)(x,y)={z f(x)=T VI-xfIxkI f2(y=T 0其它 x>1 f00=≠f(0)f2(0) 224 X,Y不独立 丌兀丌
例2.2.3 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y 的独立性,其中 (1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1} f1 (x)= |x|≤1 − 1 1 dy 4 1 2 1 = |x|>1 0 f2 (y)= 0 | y | 1 | y | 1 2 1 解 (1) = 0 其它 | x | 1,| y | 1 f ( x, y ) 4 1 同理, f ( x, y ) f ( x )f ( y ) = 1 2 所以,X,Y独立. (2) + = 0 其它 x y 1 1 f ( x, y ) 2 2 − = 0 | x | 1 1 x | x | 1 2 f ( x ) 2 1 − = 0 | y | 1 1 y | y | 1 2 f ( y ) 2 2 1 f (0,0 ) = 1 2 2 2 2 4 f (0 )f (0 ) = = X,Y不独立
例2.2.4设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整 y2 y3 p 1/241/81/121/4 1/83/81/43/4 P.;1/61/21/31
例2.2.4 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整. X x1 x2 Y y1 y2 y3 1/8 1/8 pi j p 1/6 1 1/24 1/12 1/4 1/2 1/3 3/8 1/4 3/4
二项分布的可加性 若X与Y相互独立,Ⅹ~B(n1p),Y~B(n2p), X+YB(n+n,,p) 类似可得: 若X,Y相互独立,X~P(1),Y~P(2) 则X+Y~PO1+2) Possion分布的可加性
类似可得: 若X,Y相互独立,X~P(λ1 ),Y~P(λ2 ), 则 X+Y~P(λ1+λ2 ) Possion分布的可加性 若X与Y相互独立，X～B(n1 ,p)，Ｙ～B(n２,p)， 则 X+Y～B(n1+n2 ,p) 二项分布的可加性
结论两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随 机变量. 结论两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从 正态分布 即若X1N(μ112),X2~N(中202)2X12X2独立,则 X1+X2~N(1+212+2) 正态分布的可加性
结论 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随 机变量. 结论 两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从 正态分布. X1+X2~N(μ1+ μ2 ,σ1 2+ σ2 2 ) 正态分布的可加性 .即:若X1~N(μ1 ,σ1 2 ), X2~N(μ2 ,σ2 2 ), X1 ,X2独立,则
课堂练习 1.设随机变量X,Y是相互独立的,且ⅩY等可能地 取0,1为值,求随机变量Z=max(XY)的分布列 解ⅹ Y 01 P1/21/2 1/21/2 (X,Y)的取值数对为(0,0)(0,1),(1,0)(1,1) Z=max(X,Y)的取值为:0 P(Z=0)=P(X=0,Y=0=P(X=0)P(Y=0)=14 P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=3/4 所以Z的分布列为Z 143/4
P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) 1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地 取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的分布列。 解 X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 (X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), Z=max(X,Y)的取值为:0,1 P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1)= =3/4 所以,Z的分布列为 Z 0 1 P 1/4 3/4 课堂练习
2.已知随机向量(X,Y)的联合密度为 e f(x,y) x>0,y> 0 其他 (1)问X与Y是否独立?(2)求概率P{X〈Y} 解(1) e (x+y dx=e y>0 f(x)= x+ dy=e-x x>0 f2(y) x<0 0 y≤ f(x,y)=f(x)2(y)所以X,Y独立 (2PXY)小(xy)b=aeb 0 x<)
2. 已知随机向量(X,Y)的联合密度为 = − − 0 , . e , x 0, y 0; f ( x, y ) x y 其他 (1)问X与Y是否独立？(2)求概率P{X〈Y}. 解 (1) = = + − + − 0 x 0 e dy e x 0 f ( x ) 0 ( x y ) x 1 = = + − + − 0 y 0 e dx e y 0 f ( y ) 0 ( x y ) y 2 (2)P(X<Y)= x y f ( x, y )dxdy + − + + = x ( x y ) 0 dx e dy 2 1 = f ( x, y ) f ( x )f ( y ) = 1 2 所以,X,Y独立
条件分布 定义设(X,Y是二维离散型随机变量,对于固定 的j,若PY=y}>0,则称 P(X=x,r=y, y l,2, Ptr=yi 为在Y=y条件下随机变量X的条件分布律,简 称条件分布 当(X,Y)是连续型随机变量时,由于对任 意实数和Y,有P(X=x}=0,PY=y}=0
(X , Y) j 定义 设 是二维离散型随机变量，对于固定 的 ，若 P{Y = y j } 0 ，则称 1, 2, , { } ( , ) = = = = = = = = i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j i j j i j i j j Y = y X (X , Y) P{X = x} = 0 P{Y = y} = 0 为在 条件下随机变量 的条件分布律，简 称条件分布． 当 是连续型随机变量时，由于对任 意实数X和Y，有 , 条件分布
