F.I吉米多维奇 数学分析习题集题解 费定晖周学圣编演 郭大钩邵品琮主审 山东科学技术出版社
出版说明 吉米多维奇(F,I以 EMIII OBM4)著《数学分析习题集》 书的中译本,自50年代初在我国翻译出版以来,引起了全 国各大专院校广大师生的巨大反响。凡从事数学分析教学的 师生.常以试解该习题集中的习题,作为检验掌握数学分析基 本知识和基本技能的一重要手段。二十多年来,对我国数学 分析的教学工作是甚为有益的。 该书四千多道习題,数量多,内容丰富,由浅入深,部分題 目难度大。沙及的内容有函数与极限,单变量函数的微分学 不定积分,定积分,级数,多变量函数的微分学,带参变量积分 以及重积分与曲线积分、曲面积分等等,概括了数学分析的全 部主題。当前,我国广大读者,特别是肯于刻苦自学的广大数 学爱好者,在为四个现代化而勤奋学习的热潮中,迫切需要对 一些疑难习題有一个较明确的回答。有鉴于此,我们特约作 者,将全书4462题的所有解答汇辑成书,共分六册出版。本书 可以作为高等院校的教学参考用书,同时也可作为广大读者 在自学微积分过程中的参考用书。 众所周知,原习题集,题多难度大,其中不少习题如果认 真习作的话,既可以深刻地巩固我们所学到的基本概念,又可 以有效地提高我们的运算能力,特别是有些难題还可以迫使 我们学会综合分析的思维方法。正由子这样,我们殷切期望初 学数学分析的青年读者,一定要刻苦钻研,千万不要轻易查抄 本书的解答,因为任何削弱独立尽宗的作法,都是违背我们出
版此扔的本意。何况所作解答并非一定标准,仅作参考而已 如有某些误解、差铺也在所难免,一经发觉,恳请指正,不胜感 谢 本书蒙潘承洞教投对部分难題进行了审校。特请郭大钧 教投、郾品琮教投对全书作了重要仔细的审校。其宁桕当数量 的难度大的题,都是郭大钧、鄧品腙亲自作的解答。 拿加本册审校工作的还有楼世拓、姚琦、陈兆宽周志。 参加蝙演工作的还有黄舂朝同志。 本书在蝸审过程中,还得到山东大学、山东工业大学、山 东师范大学和曲阜师范大学的领导和同志们的大力支持,特 在此一并致谢
目录 第一章分析引论…1 §1.实数 §2.叙列的理论25 §3.函数的概念 95 §4.函数的图形表示法128 §5.函数的极限… …………226 §6.函数无穷小和无穷大的阶……357 §7.函数的连续性… 375 §8.反函数.用参数表示的函数…425 §9.函数的一致连续性… 444 §10.函数方程… 63
第一章分析引论 §1.实数 1°数学归纳法为了证明某定理对任意的自然数n为真,只须证 明下面两点就够了:(1)这定理对n=1为真,〔2)设这定理对任何的 个自然数n为真,则它对其次的一自然数n+1也为真 2°分割假设分有理数为A和B两类,使其满足于下列条件:(1) 两类均非空集,(2)每一个有理数必属于…类,且仅属于一类,(3)属于 A类(下类)的任一数小于属于B类(上类)的任何数,这样的一个分类 法称为分割.(a)若或是下类A有最大的数,或是上类B有最小的数,则 分割A/B确定一个有理数.()若A类无最大数,而B类亦无最小数,则 分割A/B确定一个无理数,有理数和无理数统称为实数 3°绝对值假若x为实数则用下列条件所确定的非负数||称 为x的绝对值t x,若x≥0 若x<0 对于任何的实数x和y,有以下的不等式或立: x|-iy|≤|x+y≤|x|+(y 4°上确界和下确界设X={x}为实数的有界集合若: 以后若没有相反的附带说明数这个字我们将理解为实教
1)每一个x∈X·满足不等式 2)对子任何的e>0,存在有x′∈X,使 则数m=inf{x}称为集合X的下确界 同样,若: (1)每一个x∈X满足不等式 x≤M, (2)对于任何的e>0,存在有x"∈X,使 则数M=sup{x}称为集合x的上确界 若集合X下方无界,则通常说 inf{x}=-∞ 若集合X上方无界,则认为 p{x}=+ 5°绝对误差和相对误差设a(a≠0)是被测的量的准确数值,而 x是这个量的近似值,则 A=| 称为绝对误差,而 称为被测的量的相对误差 假若x的绝对误差不超过它的第n个有数数字的单位的一半,则说 有n位准确的数字 利用数学归纳法求证下列等式对任何自然数n皆成立: 1.1+2+… n(n+1) ·符号x∈X表示属于集合x
证当n=1时,等式成立 设对于n=k(自然数)时,等式成立,即 l+2+…+k k(k+1) 2 则对于n=k+1时,有 1+2+…十k十k+1)。k(k+1) 2 +k+1 +1)k+1)+1 2 即对于n=k+1时等式也成立 于是,由数学归纳法知,对于任何自然数n,有 1+2+…+n n(m+1) 2 2.12+2 (n+1)(2n+1) 6 证当n=1时,等式成立 设n=k时,等式成立,即 12+22+…+k k〔k+1)(2k+1) 6 则对于n=k+1时,有 12+22+…+k2+(k+1)2 是(+1)(2k+1) 6 干k+1)2 k(+1)[k(2+1)+6(+1) +1)(+1)+1)〔2k+1)+1) 6 即对于n=k+1,时等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 n(n+1)(2n+1)
3.13+23+…+n3=(1+2+…+n) 证当n=1时,等式成立 设n=k时,等式成立,即 13+23+…+k3=(1+2 +k) 则对于n=k十1时,有 13+23+ k3十(更+1) (1+2-…+k)2+(k+1)3 k2(k+1) 十〔+1) (k+1)2(k+2)2 (k+1)〔(k+1)+1 (1+2+…+(k+1)〕2, 即对于n=k+1时,等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 +23+… 4.1+2+22 证当n=1时,等式成立 设n=k时,等式成立,即 1+2+22+…+2* 则对于n=k+1时,有 1+2+22+…+2-1+2 (2*-1)+2=2 即对于n=k十1时,等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 +2+2+…+2 2n-1
5.设 (a…h)…〔 1)h〕及 1,求证 (at b))=>Cmace-mib(m) 其中C是由n个元素中选取m个的组合数,由此推出牛 顿的二项式公式 证当n=1时,由于 La+b 十b 及 b 十b, 所以等式成立 设 时,等式成立,即 (a+b))=∑a (1) 则对于n=k+1时,有 十b (a+b) +b-k) (2) 将(1)式代入(2)式得 (a十b)1=(a+b-h)·∑Ca-"bm) a+b-kh)Cha bco,+ Cia 〔融1A01〕 …+Ca0b} kh)十b}Cab +{a-(-1)h)十(b-h)}Ca-1b0 …十{a+(-h)}Cab Ciat+ 16c0+Cha)+ Claab13 C-1b2)+…十Ca①b t Crab 〔k+1
Ci+a+1bc02+(Ce+C)acb(13 +(C4-1+Cab(1+(+a0)b+1 +a+1)b0+CQ+1a(4 )1 (Ci+)+Ci+laco)b b 故由(a+b)=∑ Cra -)bon可推得下式成立: )(+1=∑Cx+a+1-m)bm 即对于n=k+1时,等式也成立 于是,对于任何自然数n,有 +b) C pb 在式子 h)… (n-1)h 中,令h=0,即得 将(4)式代入(3)式,得牛顿二项式公式 (a+b)=>)Ca-"b 6.证明贝努里不等式 1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+ 式中x1,x2,…,x是符号相同且大于-1的数 证当 时,此式取等号 设n=免时,不等式成立,即