东北财经大学数学与数量经济学院：《应用概率论》第二章 随机变量（2.1）随机变量的概念（郑永冰）

第二章随机变量 郑冰 数学与数量经资学

郑 永 冰 数 学 与 数 量 经 济 学 院 第二章 随机变量

随机变量的概念 维离散型随机变量的分布律 离散型随机变量函数的分布律

❖ 随机变量的概念 ❖ 一维离散型随机变量的分布律 ❖ 离散型随机变量函数的分布律

在第一章里,我们研究了随机事件及其概率, 建立了概率论中的一些基本概念,通过随机事件 的概率计算使我们初步了解了如何定量描述和研 究随机现象及其统计规律的基本方法.然而实际 中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的, 因此,想通过随机事件概率的计算来达到了解随 机现象的规律性显得很不方便

在第一章里，我们研究了随机事件及其概率， 建立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件 的概率计算使我们初步了解了如何定量描述和研 究随机现象及其统计规律的基本方法．然而实际 中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的， 因此，想通过随机事件概率的计算来达到了解随 机现象的规律性显得很不方便．

本章,我们将引进概率论中的一个重要概念 随机变量.随机变量的引进是概率论发展史上的重 大事件,它使概率论的硏究从随机事件转变为随机 变量,使随机试验的结果数量化,这有利于我们用 分析的方法来研究随机现象的统计规律 本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的 分布及一些常见的典型分布,给出分布函数的概念 及计算,最后给出随机变量函数的分布

本章，我们将引进概率论中的一个重要概念— 随机变量．随机变量的引进是概率论发展史上的重 大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随机 变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们用 分析的方法来研究随机现象的统计规律． 本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的 分布及一些常见的典型分布，给出分布函数的概念 及计算，最后给出随机变量函数的分布．

21随机变量的概念 实例做试验抛一枚匀质硬币,其样本空间 2={o}={H,乃 可规定随机变量 1,0=H X=X(0)= 0,0=T 随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数 X:g→R

2.1 随机变量的概念 随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。      0 T 1 H ， ＝ ， ＝ X： →R 实例 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间 ＝{}＝{H,T} 可规定随机变量 X＝X()＝

定义设随机试验E的样本空间是g2,X=X(o),0∈9是定义 在Ω上的一个单值实函数。若对任意实数x,样本点的 集合{oX(o)≤=(X≤x是一随机事件,则X(o)称为随机 变量,简记为Ⅹ.随机变量一般用英文大写字母Ⅹ、Y、Z 等表示,也可用希腊字母ξ、η、《等表示 随机变量的分类: 离散型随机变量 随机变量非离散型 连续型 奇异型(混合型)

定义 设随机试验E的样本空间是，X＝X(), 是定义 在上的一个单值实函数。若对任意实数x，样本点的 集合{| X()x}＝{Xx}是一随机事件，则X()称为随机 变量，简记为X. 随机变量一般用英文大写字母X、Y、Z 等表示 ，也可用希腊字母、、等表示。         奇异型（混合型） 连续型 非离散型 离散型随机变量 随机变量的分类： 随机变量

般地,随机变量X取值的概率称为该随机变量X的概率 分布.要研究随机变量X的概率分布,我们就要完成如下 两件事: 1.随机变量的取值范围是什么? 2.它取每个值或在某个范围内取值的概率是多少? 按随机变量的取值特征常把随机变量分为如下两种形 式:离散型随机变量和非离散型随机变量,非离散型随机 变量中最主要的是连续型随机变量,我们将分别讨论它们 的概率分布

按随机变量的取值特征常把随机变量分为如下两种形 式：离散型随机变量和非离散型随机变量，非离散型随机 变量中最主要的是连续型随机变量，我们将分别讨论它们 的概率分布． 一般地，随机变量X取值的概率称为该随机变量X的概率 分布．要研究随机变量X的概率分布，我们就要完成如下 两件事： 1．随机变量的取值范围是什么？ 2．它取每个值或在某个范围内取值的概率是多少？

2.2一维离散型随机变量的分布律 分布律 1.定义若随机变量X取值x1,x2, 且取这些值的概率 依次为p1,p2,…,pn,灬…,则称X为离散型随机变量,而称 XP(X=xx=pk k=1.2. 为X的分布律或概率分布。 记为

2.2 一维离散型随机变量的分布律 一、分布律 1. 定义 若随机变量X取值x1 , x2 , …, xn , … 且取这些值的概率 依次为p1 , p2 , …, pn , …, 则称X为离散型随机变量，而称             k k p p p x x x X 1 2 1 2 ~ X ~ P{X = xk }= pk k =1, 2 ,  为X的分布律或概率分布。 记为

2.分布律的性质 (1)pk≥0,k=1,2 ∑p k≥1 例1设袋中有5只球,其中有2只白3只黑。现从中任取3 只球(不放回),求抽得的白球数x为k的概率 解k可取值0,1,2 Kn3-k P{X=k}=23 5

 k1 k p ＝1. . C C C P{X k} 3 5 3 k 3 k 2 − ＝ ＝ 2. 分布律的性质 (1) pk  0, k＝1, 2, … ; (2) 例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3 只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0，1，2

写分布律的原则: (1)搞清X的所有可能取值。 (2)依次求出X取每个值的概率,使所有概率和为1。 例某射手有3发子弹,连续向同一目标射击,直到击中目 标为止或子弹用尽为止。设每次击中目标的概率为0.8,求耗用 子弹数分布律。 解X的所有可能取值为1,2,3 P{X=1}=08, P{X=2}(=P{第一次未击中而第二中 =0.2×08=0.16

解 X的所有可能取值为1,2,3. 例 某射手有3发子弹，连续向同一目标射击，直到击中目 标为止或子弹用尽为止。设每次击中目标的概率为0.8，求耗用 子弹数X的分布律。 写分布律的原则： P{X =1} = 0.8, P{X = 2} (= P{第一次未击中而第二次击中｝) = 0.20.8 = 0.16, (1)搞清X的所有可能取值。 (2)依次求出X取每个值的概率，使所有概率和为1