第三章集合 3.1集合论基础 3.2集合运算及其性质 3.3集合的笛卡儿积与无序积 PT PRESS 人民邮电出版社
3.1集合论基础 1.集合与元素 所谓集合,是指某些可辨别的不同对象的 全体,将用大写字母A,B,X,Y,…表示之。 组成集合的对象称为集合的元素或成员,将用 小写字母a,b,x,y…表示之。a是A的元素或a 属于A,记作a∈A;a不属于A或a不是A的元素, 记作a∈A,或者aeA) PT PRESS 人民邮电出版社 合心
集合的元素一旦给定,这一集合便完全确 立。这一事实被形式地叙述为外延公理。 外延公理:两集合A和B相等,当且仅当它 们有相同的元素 若A与B相等,记为A=B;否则,记为AAB。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心
外延公理可形式表为: A=B(x)(xeA以∈B) 或者 A=B(x)( reA-xeB)(Vx)x∈Bx∈B) 顺便指出,在应用外延公理证明集合A与B 相等时,只需考察: 对于任意元素x,应有下式 ∈Bx∈B 成立即可。这就是说,证明两集合相等时 可按此法行事。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心
表示一个特定集合,基本上有两种方法: 是枚举法,在可能时列出它的元素,元 素之间用逗号分开,再用花括号括起。如 A=ta,e, 1,o,u 表明集合A是由字母a,e,I和为元素构成 的。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心
二是谓词法,用谓词公式来确定集合。即 个体域中能使谓词公式为真的那些元素,确定 了一个集合,因为这些元素都具有某种特殊性 质。若Px)含有一个自由变元的谓词公式,则 xP(x定义了集合S,并可表为 Sip()) 由此可见,P(c)为真当且仅当ceS。从而有 x∈S<r∈Px) PT PRESS 人民邮电出版社 合心
例如,(1)可表为 A={xx是英文字母表中元音字母 在用性质来描述集合时,可表述为概括原 理或子集合公理。 子集公理 对于任给集合A和性质P,存在集合B,使 得B中元素恰为A中满足P的那些元素。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心
子集公理可形式地表为 B)(x)(x∈B+xeA9x) 其中q(x)为不含B自由出现。 子集公理的提出,避免了悖论,使集合论 得以存在和发展。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心
应该指出的是:①集合并不决定于它的元 素展示方法。集合的元素被重复或重新排列, 集合并不改变,即{a,ag,iO,u}={a,u,e,a,訃。 但有时对重复出现的元素都认为是集合的元素, 这种集合称为多重集。即{a,a,e,i,a,u,≠{a, e,i,O,u}。本书中集合在不特别指明时,都指 前者,即①中的集合。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心
②集合的元素可以是具体事物,可以是抽 象概念,也可以是集体,不是集合的元素称为 本元。如,一本书,一支笔,集合{1,23}可以 组成集合B={一本书,一支笔,{1,2,3}}。特别 地,以集合为元素的集合称为集合族或集合类 如={1,23},{89,6}}。 ③集合中元素之间可以有某种关联,也可 以彼此毫无关系。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心