作业解答八 作业22设a1=1,①2=1,an+2=2an1+30n,n21,求∑anx”的 收敛半径,收敛域及和函数。 解因an+2=2an+1+3an,故an+2+an+1=3(an+1+an),于是 an1+an=23-1,可解出a,=y+ 3,收敛半径R=。 n→∞ 收敛域为(-,)。 3″+(-1) (-1) n-1 an ∑ n 21-3x21+x(1-3x)(1+x) 作业23设an>0,∑an收敛,=∑。试证:∑一发散 证361=1,N∈z,n>N,因Im=0,故N∈z,当p>N时, 有 取定p>N,则 ∑=∑5-h21∑(-hn)=10x-x-m)=1-xm2 F 由柯西收敛准则知∑发散。 作业24求级数∑((m-”+的和。 解S(x)=∑m(n-1)x2,x
作业解答八 作业 22 设 ， ，a a 1a =1 2 a =1 2 1 2 3 n n n a + = + + ≥1 n a ，n ，求 的 收敛半径，收敛域及和函数。 1 n n n a x ∞ = ∑ 解 因 2 1 2 3 n n a a + = + + ，故 2 1 1 3( ) n n n a a a a + + + = + + n ，于是 1 1 2 3n n n a a − + + = ⋅ ，可解出 1 1 3 ( 1) 2 n n n a − − + − = 。 lim n 3 n n a →∞ = ，收敛半径 1 3 R = 。 收敛域为 1 1 ( , 3 3 − )。 1 1 1 1 1 1 1 3 ( 1) 3 ( 1) 2 2 1 1 (1 ) 2 1 3 2 1 (1 3 )(1 ) n n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x x x x ∞ ∞ − − ∞ − ∞ − = = = = + − − = = + − = ⋅ + ⋅ = − + − + ∑ ∑ ∑ ∑ 1 2 n k 作业 23 设 0, 收敛， a n a > 1 n n a ∞ = ∑ n k n r ∞ = = ∑ 。试证： 1 n n n a r ∞ = ∑ 发散。 证 0 1 2 ∃ = ε ，∀ ∈ N ]+ ，n > N ，因 1 lim 0 N p p N r r + + →+∞ = ，故∃ ∈ N1 ]+ ，当 1 p > N 时， 有 1 1 2 N p N r r + + ≤ 。取定 1 p > N ，则 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 2 N p N p N p n n n N p n n N N p n N n n n N N n N N N a r r r r r r r r r r r r + + + + + + + + + = = = − ∑ ∑= ≥ ∑ − = − = − 1 ≥ 由柯西收敛准则知 1 n n n a r ∞ = ∑ 发散。 作业 24 求级数 ∑ ∞ = − − + 0 2 2 ( 1) ( 1) n n n n n 的和。 解 2 0 ( ) ( 1) , 1 n n S x n n x x ∞ − = = − ∑ < ， 1
(u) du dt 2 从而s(x)=() 4222 (1-x)1-5=27因此,原式 27327 作业25问∑(-)an(n2+2)是否收敛?是否绝对收敛? 解:un=tan(n2+2z)=tan(n2+2-n=如2兀 n2+2+n 当n=2,3,4,…时,>0,u递减且limu=0。于是 (-1)”tan(√n2+2·π)收敛。 又因>,故∑(-1)tmVm2+2m)条件收敛。 作业26讨论收敛性 (2n-1)(2n) 解:当x=1时,级数收敛。 当x>1时,5Sn=0+3++*+2-)-2+4++2my 而 t++…+n=,(1+,+3+ +-)→>+ 为有限数。于是原级数发散 当x<1时,级数写成
则 x x s u du dt x x t n n − = = ∫ ∫ ∑ ∞ = 1 ( ( ) ) 2 0 0 2 从而 3 2 (1 ) 2 )" 1 ( ) ( x x x s x − = − = ， 第一项= 27 4 (1 ) 2 2 3 1 2 = − x=− x x ，因此，原式= 27 22 3 2 27 4 + = 。 作业 25 问 2 1 ( 1) tan( 2 ) n n n π ∞ = ∑ − + ⋅ 是否收敛？是否绝对收敛？ 解： 2 2 2 2 tan( 2 ) tan( 2 ) tan 2 n u n n n n n π = + ⋅π π = + − = + + 当n = 2,3,4,"时，un > 0，un递减且lim 0 n n u →∞ = 。于是 2 1 ( 1) tan( 2 ) n n n π ∞ = ∑ − + ⋅ 收敛。 又因 1 n u n > ，故 2 1 ( 1) tan( 2 ) n n n π ∞ = ∑ − + ⋅ 条件收敛。 作业 26 讨论收敛性 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 (2 1) (2 ) x x x n n − + − + − + + + − "" ""。 解：当 x =1时，级数收敛。 当 x >1时， 2 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) 3 5 2 1 2 4 (2 ) n x x x S n n = + + + + − + + + − " " 而 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 3 5 2n n 1 2 4 6 2 2 2 3 + + + + > + + + + = + + + + → +∞ − " " " ) n 1 1 1 1 1 1 2 4 (2 ) 1 2 x x x x x n n + +" " + < + + + x 故 1 1 1 2 4 (2 ) x x n + +"+ x 为有限数。于是原级数发散。 当 x <1时，级数写成 2
除第一项外每项都是负数,提出负号后可以用正项级数的判别法: lin(2n)2=1n2(2n+1)-(2nn22n+122 (1-lim(2m)1 (2n)2(2n+1) 而级数∑发散,故原级数发散。 作业27设n(x)=∑x2(1-x)-6,证明n(x)在上一致收敛 k=1 证法1 v0k时, (n-1)(1-E)”k时,an(x)=∑x(1-x)y-k<2E对1中的一切x成 k=1 立这表明ln(x)在1[01上一致收敛 证法2当x≠一时 ()=x(1-x)∑x(0-xy+2=x(-x) 1-2. (1-x) 分0<?2下x<1,x=0,x=1四种情形来讨论imun(x)=0
1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 (2 ) 2 1 x x x n n − − − − − − − − + "" "" 除第一项外每项都是负数，提出负号后可以用正项级数的判别法： 1 1 (2 ) 2 1 (2 1) (2 ) 1 (2 ) 1 lim lim (1 lim ) 1 (2 ) (2 1) 2 2 1 2 x x x x x x n n n x n n n n n n n n n n →∞ →∞ →∞ − + + − = = − + + x = 而级数 1 1 x x n ∞ = ∑ 发散，故原级数发散。 作业 27 设 ，证明 在 n k n k k n u x x x − − = ( ) = ∑ (1− ) 1 1 u (x) n [0,1]上一致收敛。 证法 1 1 0 6 ∀ k 时， ( 1)(1 ) 2 n n − − ε k 时， n k n k k n u x x x − − = ( ) = ∑ (1− ) 1 1 < 2ε 对[0,1]中的一切 x 成 立这表明u (x) 在[ 上一致收敛. n 0,1] 证法 2 当 1 2 x ≠ 时 2 2 0 ( ) (1 ) (1 ) n k n k ( ) 2 2 (1 ) 1 1 2 n x x n x x x − − − = − ⎡ − ⎤ − ⎣ ⎦ n k u x x x x x − − − = = − ∑ − 分 1 0 2 < <x ， 1 1 2 < x < ，x = 0，x =1四种情形来讨论 lim ( ) = 0， →∞ u x n n 3
即知极限函数一定连续 而当x∈(0,-)时, un(x)-un+I(x) (1-x)2 0 1-2. 当x∈(,1)时 ln(x)-l1n+1(x)= y ≥0 1-2x 当x=0或x=1时,un(x)=0,时, >0 0+l 于是,Vx∈[O,],有ln(x)≥ln+1(x), 即ln(x)关于n单调,由Dim定理知,ln(x)在D1]上一致收敛
即知极限函数一定连续. 而当 1 (0, ) 2 x∈ 时， ( ) ( ) 1 u x u x n − n+ [( ) 1 ] 0 1 2 (1 ) 2 2 2 2 − − ≥ − − = n− n− x x x x x 当 1 ( ,1) 2 x∈ 时， ( ) ( ) 1 u x u x n − n+ [( ) 1 ] 0 1 2 (1 ) 2 2 2 2 − − ≥ − − = n− n− x x x x x 当 x = 0或 x =1时， ( ) 0 n u x = ，而当 1 2 x = 时， 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 n n k n k n k n u − − = −1 = = ∑ 1 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 0 2 2 2 2 2 n n n n n n n n u u + + + − − − = − = > 于是，∀ ∈x [0,1]，有 ( ) ( ) 1 u x u x n ≥ n+ ， 即un (x) 关于 n 单调，由 Dini 定理知，un (x) 在[0,1]上一致收敛。 4