§4.7二次曲线的访射分类 问题:在射影仿射平面上,给定 秩(an) 适当选取仿射坐标系,将r的方程化为仿射标准方程 依据:T的秩,A3的符号,将双曲型、抛物型、椭圆型三个类 型的曲线进一步细分为若干仿射等价类,得到每一类的标准方程 注意:因为无穷远直线l:x3=0在仿射变换下保持不变,故在 选取新的仿射坐标系时必须保持A1,A2总取在l上
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 问题：在射影仿射平面上, 给定 : 0 , ( ) 1. (1) 3 , 1 = = = i j j i i j i j S ai jxi xj a a 秩 a 适当选取仿射坐标系, 将的方程化为仿射标准方程. 依据： 的秩, A33的符号, 将双曲型、抛物型、椭圆型三个类 型的曲线进一步细分为若干仿射等价类, 得到每一类的标准方程. 注意：因为无穷远直线l∞：x3=0在仿射变换下保持不变, 故在 选取新的仿射坐标系时必须保持A1 ', A2 '总取在l∞上
§4.7二次曲线的访射分类 、「非退化0,秩(an)=3 1.A3:0,有心二阶曲线 取中心为A3,任取一对相异的共轭直径,其与 l的交点分别取作A1,A2.则三点形A12A3为厂 的一个自极三点形 以A14243为坐标三点形,适当选取单位点E(按照(1.10)式要 求),建立新的仿射坐标系.据§44,S=0可以化为 S"l=±x,±x2±x2=0 注意到x1,x2地位平等,而x3特殊,从而有下列三个等价类 x/>02+x2-x2=0实椭圆(x2+y2=1) x2+x2+x2=0虚椭圆(x2+y2=-1) 0 0双曲线(x2-y2=1) 在仿射平面上,任何有心二阶曲线皆可化为上述标准方程之
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 一、 非退化 |aij|≠0,秩(aij)=3. 1. A33≠0, 有心二阶曲线. 取中心为A3 ', 任取一对相异的共轭直径, 其与 l∞的交点分别取作A1 ', A2 '. 则三点形A1 'A2 'A3 '为 的一个自极三点形. 以A1 'A2 'A3 '为坐标三点形, 适当选取单位点E'(按照(1.10)式要 求), 建立新的仿射坐标系. 据§4.4, S=0可以化为 '' 0. 2 3 2 2 2 S x1 x x = 注意到x1 , x2地位平等, 而x3特殊, 从而有下列三个等价类 − − = − = + + = + = − + − = + = 0 0 ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) 0 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 3 3 x x x x y x x x x y x x x x y A 双曲线 虚椭圆 实椭圆 在仿射平面上, 任何有心二阶曲线皆可化为上述标准方程之一
§4.7二次曲线的访射分类 、「非退化0,秩(an)=3 2.A3=0,无心二阶曲线,即抛物线 以l为一边的自极三点形不存在取中心(无穷 远切点为A1取一直径与的有穷远交点为A3,A3 处的切线上无穷远点取作为A2 以上述三点形A1243为坐标三点形,适当选取单位点(限制条 件同上)建立仿射坐标系,据§44,习题2(或见本节教材上的论证) r的方程可以化为 a2x2+2a13xx3=0 再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换,可得的仿射标准方程 x2+2xx3=0 (即y2=2px) 在仿射平面上,任何无心二阶曲线(抛物线)皆可化为上述标准方程
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 一、 Γ非退化 |aij|≠0,秩(aij)=3. 2. A33 =0, 无心二阶曲线, 即抛物线. 以l∞为一边的自极三点形不存在. 取中心(无穷 远切点)为A1 ', 取一直径与的有穷远交点为A3 ', A3 ' 处的切线上无穷远点取作为A2 '. 在仿射平面上, 任何无心二阶曲线(抛物线)皆可化为上述标准方程. 以上述三点形A1 'A2 'A3 '为坐标三点形, 适当选取单位点(限制条 件同上)建立仿射坐标系, 据§4.4, 习题2(或见本节教材上的论证), 的方程可以化为 2 0. ' 3 ' 1 ' 13 2' 2 ' a22 x + a x x = 再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换, 可得的仿射标准方程 2 0. ( 2 ) 2 1 3 2 x2 + x x = 即y = px
§4.7二次曲线的访射分类 秩(an) 二、I退化0 依其奇异点情况及与l的关 秩(an)=1系,分成7个仿射等价类 综上讨论,在仿射平面上,二阶曲线共分为11个等价类任何二 阶曲线皆可通过适当选取仿射坐标系化为上述11种标准方程之 请自学教材中的例422.对于仿射平面上任给的(非退化)二阶 曲线I,我们一般需要做的基本工作有: *判断是否退化; *判断是否有心;给出粗略分类; *求出中心坐标; *求出一对共轭直径,或求出符合某条件的直径方程; *求出渐近线; *求仿射坐标变换,化r的方程为仿射标准方程 *利用中心,直径与共轭直径,渐近线等性质,完成几何证明题
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 二、 Γ退化 |aij|=0 综上讨论, 在仿射平面上, 二阶曲线共分为11个等价类. 任何二 阶曲线皆可通过适当选取仿射坐标系化为上述11种标准方程之一. 秩(aij) =2 秩(aij ) =1 依其奇异点情况及与l∞的关 系, 分成7个仿射等价类. 请自学教材中的例4.22. 对于仿射平面上任给的(非退化)二阶 曲线, 我们一般需要做的基本工作有： * 判断是否退化； * 判断是否有心；给出粗略分类； * 求出中心坐标； * 求出一对共轭直径, 或求出符合某条件的直径方程； * 求出渐近线； * 求仿射坐标变换, 化的方程为仿射标准方程. * 利用中心, 直径与共轭直径, 渐近线等性质, 完成几何证明题
§4.7二次曲线的访射分类 例7.(P143,Ex7过不在渐近线上的一定点所作二阶曲线诸弦 中点的轨迹为另一条二阶曲线 证明.设P为不在渐近线上的定点,过P的 动弦为x,x上的无穷远点为P 则x被P的极线(x的共轭方向直径)平分 设此直径为p x绕P变动 P沿L变动 p绕C变动 透视关系 射影关系 射影关系 引申 x与的交点轨迹为条二阶曲线
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 证明. 设P为不在渐近线上的定点, 过P的 动弦为x, x上的无穷远点为P. 则x被P的极线(x的共轭方向直径)平分. 设此直径为p. x绕P变动 P沿l变动 p绕C变动 透视关系 射影关系 射影关系 x与p的交点轨迹为一条二阶曲线 例7. (P.143, Ex.7)过不在渐近线上的一定点所作二阶曲线诸弦 中点的轨迹为另一条二阶曲线. 引申
§4.7二次曲线的访射分类 (04级期末某小题)设PQR为非退化二阶曲线的自极三点形 1).当P在不与r相切的定直线l上运动时,边QR的运动规律是 什么?为什么? (2)当P在异于的另一条非退化二阶曲线r上运动时,边QR的 动规律是什么?为什么? 答:(1).动直线QR构成以关于Ⅰ的极点L为束心的线束,是点 列(P)关于r的配极像.且L不在r上,点列lP)与线束L(g成射影对 应因为P与QR是关于T的极点极线关系,由配极原则共线的P点 的极线必共点,而不与相切其极点L必定不在厂上 (2)动直线QR形成一条非退化二级曲线r",是关于r的配极 像.因为P与QR是极点极线关系,由配极原则知QR必定形成P的轨 迹关于I的配极对偶图形,二阶曲线的配极对偶图形是二级曲线
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 答：(1). 动直线QR构成以l关于的极点L为束心的线束, 是点 列l(P)关于的配极像. 且L不在上, 点列l(P)与线束L(Q)成射影对 应. 因为P与QR是关于的极点极线关系, 由配极原则共线的P点 的极线必共点, 而l不与相切其极点L必定不在上. (2). 动直线QR形成一条非退化二级曲线'', 是'关于的配极 像. 因为P与QR是极点极线关系, 由配极原则知QR必定形成P的轨 迹关于的配极对偶图形, 二阶曲线的配极对偶图形是二级曲线. (04级期末某小题)设PQR为非退化二阶曲线的自极三点形. (1). 当P在不与相切的定直线l上运动时, 边QR的运动规律是 什么？为什么？ (2). 当P在异于的另一条非退化二阶曲线'上运动时, 边QR的 运动规律是什么？为什么？
§4.7二次曲线的访射分类 例1.(P143,EX8)自无穷远点P,Q2作椭圆的切线,构成一个 外切四边形ABCD求证:这个外切四边形的对角线AC与BD的交 点O是椭圆的中心 反思.回顾第6题,我们有 1.椭圆的任一外切平行四边形的两对角线以及两组对边上切 点连线必四线共点于椭圆的中心 2.椭圆的任一外切平行四边形两对角线为椭圆的一对共轭直 径 3.椭圆的任一外切平行四边形两组对边上的切点连线为椭圆 的一对直径.问:何时为一对共轭直径?
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 例1. (P.143, Ex.8)自无穷远点P , Q作椭圆的切线, 构成一个 外切四边形ABCD. 求证：这个外切四边形的对角线AC与BD的交 点O是椭圆的中心. 反思. 回顾第6题, 我们有 1. 椭圆的任一外切平行四边形的两对角线以及两组对边上切 点连线必四线共点于椭圆的中心. 2. 椭圆的任一外切平行四边形两对角线为椭圆的一对共轭直 径. 3. 椭圆的任一外切平行四边形两组对边上的切点连线为椭圆 的一对直径. 问：何时为一对共轭直径？
§4.7二次曲线的访射分类 例2.(P148,EX2)求证:在仿射坐标系下, (ax++y)2+2(px+q+r)=0 ≠0 p q 表示一条抛物线试说明ax++=0与px+ay+r=0的几何意义 提示:令「x=px+qy+ra≠0, y=ax+ By+r 此变换为仿射变换,代入题给曲线方程,得 I:y2+2x2=0为抛物线 几何意义(不难验证) ax+By+y=0为一条直径 px+qy+c=0为ax+By+y=0与在有穷远交点处的切线
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 例2. (P.148, Ex.2)求证：在仿射坐标系下, ( + + ) + 2( + + ) = 0 0 2 p q x y px qy r 表示一条抛物线. 试说明 x+y+=0 与 px+qy+r=0 的几何意义. 提示：令 ' ' x px qy r y x y = + + = + + 因为 0, p q 此变换为仿射变换, 代入题给曲线方程, 得 2 2 + = ： 为抛物线 y x ' 2 ' 0 . 几何意义(不难验证)： x y + + = 0 . 为一条直径 px qy c x y + + = + + = 0 0 . 为 与 在有穷远交点处的切线