§4.3配极变换 极点与极线 二、配极变换 代数:非退化二阶曲线的矩阵作成的点与直 线之间的异素射影变换 配极变换 几何:非退化二阶曲线的内接完全四点形的 对边三点形一一自极三点形 定理414配极原则点P关于定理414(配极原则)直线p关 I的极线p通过点Q兮点Q关于于r的极点P在直线q上兮直线q I的极线q通过点P 关于T的极点Q在直线p上 3.配极变换的基本应用 (1).几何证明题 (2)极点极线作图
§ 4.3 配极变换 二、配极变换 配极变换 定理4.14(配极原则)点P关于 的极线p通过点Q点Q关于 的极线q通过点P. 定理4.14'(配极原则) 直线p关 于的极点P在直线q上直线q 关于的极点Q在直线p上. 一、极点与极线 代数：非退化二阶曲线的矩阵作成的点与直 线之间的异素射影变换 几何：非退化二阶曲线的内接完全四点形的 对边三点形——自极三点形 3. 配极变换的基本应用 (1). 几何证明题 (2). 极点极线作图
§4.3配极变换 例5.(P120,例412)如图,ABC是二阶曲线的一个自极三点形, 弦RP通过B,RC与的另一个交点为Q求证:PQ通过A 证明.设RC交AB于T,AC交RP于S.因为 ABC为的自极三点形,所以 (RQ,CT)=-1,(RP,SB)=-1. (R,O, C,T)A(R, P,S, B).(R<>R (R,Q,C,T)A(RP,S,B).→PQ,ACAB共点于A,即PQ通过A 教材上的证明二至少丢了一句话,未证完 反思:1.图中自极三点形ABC是如何画的? 答:严格地利用内接完全四点形,不是随手画的 反思:2.基于上述,设AR交于M求证:PC,M共线,且B,Q,M 共线,即BC为完全四点形PQMR的对边三点形
§ 4.3 配极变换 例5. (P.120, 例4.12)如图, ABC是二阶曲线的一个自极三点形, 弦RP通过B, RC与的另一个交点为Q. 求证：PQ通过A. 证明. 设RC交AB于T, AC交RP于S. 因为 ABC为Γ的自极三点形, 所以 (RQ,CT) = −1, (RP,SB) = −1. (R,Q,C,T)(R, P, S,B). (RR) ( , , , ) ( , , , ). R Q C T R P S B PQ, AC, AB共点于A, 即PQ通过A. 教材上的证明二至少丢了一句话, 未证完. 反思：1. 图中自极三点形ABC是如何画的? 答：严格地利用内接完全四点形, 不是随手画的. 反思：2. 基于上述, 设AR交于M, 求证：P,C,M共线, 且B,Q,M 共线, 即ABC为完全四点形PQMR的对边三点形
§4.3配极变换 例5.(P120,例412)如图,ABC是二阶曲线的一个自极三点形, 弦RP通过B,RC与r的另一个交点为Q.求证:PQ通过A 反思:1.图中自极三点形ABC是如何画 的 答:严格地利用内接完全四点形,不是随 手画的 反思:2.基于上述,设AR交T于M,求证: PC,M共线,且B,Q,M共线,即ABC为完全四点 形POMR的对边三点形 反思:3.基于上述,设PC交于M求证:AR,M共线,且B,Q,M 共线,即ABC为完全四点形PQMR的对边三点形 反思:4.题中RP未必是构造出ABC的内接完全四点形的一边 任作RP都可得结论,说明可以有很多内接完全四点形共一个对边 三点形ABC
§ 4.3 配极变换 例5. (P.120, 例4.12)如图, ABC是二阶曲线的一个自极三点形, 弦RP通过B, RC与的另一个交点为Q. 求证：PQ通过A. 反思：1. 图中自极三点形ABC是如何画 的? 答：严格地利用内接完全四点形, 不是随 手画的. 反思：2. 基于上述, 设AR交于M, 求证： P,C,M共线, 且B,Q,M共线, 即ABC为完全四点 形PQMR的对边三点形. 反思：3. 基于上述, 设PC交于M, 求证：A,R,M共线, 且B,Q,M 共线, 即ABC为完全四点形PQMR的对边三点形. 反思：4. 题中RP未必是构造出ABC的内接完全四点形的一边. 任作RP都可得结论, 说明可以有很多内接完全四点形共一个对边 三点形ABC
§44二次曲线的射影分类 二阶曲线的奇异点 1.定义 定义411若点P0p9)的坐标是方程组 ∑ax1=0(a1=an,1=1.2,3秩(an)21) 的非零解,则称P为二阶曲线r:∑4x=0的一个奇异点 注1.P为I的奇异点冷P在T上,且Sn=0 注2.r:S=0有奇异点a0分T为退化的 注3若秩(an)2,则T有唯一奇异点;若秩(a)=1,则T有无穷多 的奇异点,构成一条直线 2.性质 (1)定理416.r上一点P为奇异点分P与上任一点连线上的 点都在r上 证明见教材,请自学
§ 4.4 二次曲线的射影分类 一、二阶曲线的奇异点 1. 定义 定义4.11 若点P0 (p 0 i )的坐标是方程组 0 ( , 1,2,3, ( ) 1) 3 1 = = = = i j j i i j j ai jx j a a i 秩 a 的非零解, 则称P0为二阶曲线 ： = = 3 , 1 0 i j ij i j a x x 的一个奇异点. 注1. P0为的奇异点 P0在上, 且Sp0 =0. 注2. : S=0有奇异点|aij|=0 为退化的. 注3. 若秩(aij)=2, 则有唯一奇异点；若秩(aij)=1, 则有无穷多 的奇异点, 构成一条直线. 2. 性质 (1). 定理4.16. 上一点P为奇异点P与上任一点连线上的 点都在上. 证明见教材, 请自学
§44二次曲线的射影分类 二阶曲线的奇异点 1.定义2.性质 2).平面上任一点P的极线必过奇异点P0 证.将P0的坐标直接代入S=0即得 即奇异点P 无穷多的极线为不过P0的直线 (3)过P的直线上任意异于P0的点有相同的极线为过P的另 直线 证不妨设I退化为两直线m1m2.则据(1 m1×m2=P0过P0的直线p上任一点P(P0)的极 线为满足(PQM1M2=1的点Q的轨迹,显然为 满足(pg,m1m2)=1过P0的另一直线q 从而 过P0的直线—无穷多的极点在过P0的定直线上 综上 关于退化二阶曲线的配极为奇异的(不是双射)
§ 4.4 二次曲线的射影分类 一、二阶曲线的奇异点 1. 定义 2. 性质 (2). 平面上任一点P的极线必过奇异点P0 . 证. 将P0的坐标直接代入Sp=0即得. (3). 过P0的直线上任意异于P0的点有相同的极线为过P0的另 一直线. 证. 不妨设退化为两直线m1 , m2 . 则据(1), m1×m2 =P0 . 过P0的直线p上任一点P(≠P0 )的极 线为满足(PQ,M1M2 )=–1的点Q的轨迹, 显然为 满足(pq,m1m2 )=–1过P0的另一直线q. 从而 过P0的直线 无穷多的极点在过P0的定直线上. 综上 关于退化二阶曲线的配极为奇异的(不是双射). 即:奇异点P0 无穷多的极线为不过P0的直线
§44二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 问题:给定 S x.=0 秩(an)≥1.( 适当选取射影坐标系,将厂的方程化为标准方程(即:只有平方项 没有交叉项,且平方项的系数为1或-1的规定格式) 1.|an0,秩(an)=3 取的一个自极三点形,设其顶点为A1(P),A2(q),A'3(r)取 E(p;+q+r)为新的单位点,建立新的射影坐标系据(1.10)式,坐标 变换的逆式为 P1q1Fi‖x1 r‖x 代入(1),由教材P.124推导,的方程化为 2 S"=a1x1+a2x2+a2x2=0
§ 4.4 二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 : 0 , ( ) 1. (1) 3 , 1 = = = i j j i i j i j S ai jxi xj a a 秩 a 问题：给定 适当选取射影坐标系, 将的方程化为标准方程(即：只有平方项, 没有交叉项, 且平方项的系数为1或－1的规定格式). 1. |aij|≠0,秩(aij)=3. 取Γ的一个自极三点形, 设其顶点为A'1 (pi ), A'2 (qi ), A'3 (ri ). 取 E'(pi+qi+ri )为新的单位点,建立新的射影坐标系. 据(1.10)式, 坐标 变换的逆式为 . (1.10) ' 3 ' 2 ' 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 = x x x p q r p q r p q r x x x 代入(1), 由教材P.124推导, 的方程化为 ' 0. 2' 3 ' 3 3 2' 2 ' 2 2 2' 1 ' S a1 1x + a x + a x =
§44二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 1.|an0,秩(an)=3 2 S"=a1x1+a2x2+a23x32=0 再作一次仅改变单位点的射影坐标变换 x 1,2,3 lI S′0又可化为 2 S"≡±x1±x2±x3=0 去掉“"之后,由于齐次性及x1,x2,x3的平等性,只有两种情况: x2+x2-x32=0.→>实二阶曲线(长圆曲线) x2+x2+x2=0.→虚二阶曲线(零曲线) 综上,非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种标准方程之
§ 4.4 二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 1. |aij|≠0,秩(aij)=3. ' 0. 2' 3 ' 3 3 2' 2 ' 2 2 2' 1 ' S a1 1x + a x + a x = 再作一次仅改变单位点的射影坐标变换 , 1,2,3 | | 1 '' ' ' = x i = a x i i i i S'=0又可化为 '' 0. 2'' 3 2'' 2 2'' S x1 x x = 去掉“'' ”之后, 由于齐次性及x1 , x2 , x3的平等性, 只有两种情况： 2 2 2 1 2 3 x x x + − = →0. 实二阶曲线（长圆曲线） x1 2 + x2 2 + x3 2 = 0.→ 虚二阶曲线（零曲线） 综上, 非退化二阶曲线的方程必可化为上述两种标准方程之一
§44二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 2.=0,秩(n)=2 I退化为两条相交直线m1,m2,r的自极三点 形不存在 取新的射影坐标系如图所示,r的方程可化 为 ±x1±x2=0 x2=0.→>一对相交实直线 x2+x2=0.→>一对共轭虚直线 综上,当二阶曲线r退化且秩为2时,其方程必可化为上述两种 标准方程之
§ 4.4 二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 2. |aij|=0,秩(aij)=2. 退化为两条相交直线m1 ,m2 , 的自极三点 形不存在. 取新的射影坐标系如图所示, 的方程可化 为 0. 2 2 2 x1 x = 即 x1 2 + x2 2 = 0. →一对共轭虚直线 x1 2 − x2 2 = 0.→一对相交实直线 综上, 当二阶曲线退化且秩为2时, 其方程必可化为上述两种 标准方程之一
§44二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 3.n=0,秩(an)=1 I退化为一条完全由奇异点构成的直线.取此直线为坐标三点 形的一边,比如A243,则S=0必可化为 x2=0.→一对重合实直线 综上,当退化且秩为1时,r的方程必可化为上述标准方程 由以上讨论,我们得到教材中列出的二阶曲线的射影分类表 二阶曲线被分成5个等价类,属于同一等价类的二阶曲线的方程 必可化为上述5种标准方程之 注:给定二阶曲线r的方程,适当选取射影坐标系,将I的方程 化为射影标准方程,例见教材,请自学 思考:二阶曲线的射影分类与化二次型为规范形的异同
§ 4.4 二次曲线的射影分类 二、二阶曲线的射影分类 3. |aij|=0,秩(aij)=1. 退化为一条完全由奇异点构成的直线. 取此直线为坐标三点 形的一边, 比如A'2A'3 , 则S=0必可化为 x1 2 = 0. →一对重合实直线 综上, 当退化且秩为1时, 的方程必可化为上述标准方程. 由以上讨论, 我们得到教材中列出的二阶曲线的射影分类表. 二阶曲线被分成5个等价类, 属于同一等价类的二阶曲线的方程 必可化为上述5种标准方程之一. 注：给定二阶曲线的方程, 适当选取射影坐标系, 将的方程 化为射影标准方程, 例见教材, 请自学. 思考：二阶曲线的射影分类与化二次型为规范形的异同
今日作业 P.122,4;P127,1(1),4 The Class is over Goodbye!
今日作业 P.122, 4; P.127, 1(1), 4 The Class is over. Goodbye!