南京师范大学：《高等几何》课程电子教案（PPT课件）第二章 射影变换（2.4）一维射影变换

§24一维射影变换 维射影变换 1、定义 2、代数表示 (1)坐标表示 ∫p∞}=a1+o0≠0.,p≠0 (2.10) x2=a21+a22221a22 其中对应点的坐标是关于一维基本形[]上的同一坐标系取得的 (2)参数表示 定义.形如 axx +bx +cx+d=0 (ad-bc≠0) 的方程称为关于x,x的双线性方程

§ 2.4 一维射影变换 一、一维射影变换 1、定义 2、代数表示 0, 0 (2.10) ' ' 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2      = + = +    a a a a x a x a x x a x a x (1). 坐标表示 其中对应点的坐标是关于一维基本形[π]上的同一坐标系取得的. (2). 参数表示 定义. 形如 axx'+bx +cx'+d = 0 (ad −bc  0) 的方程称为关于x, x'的双线性方程

§24一维射影变换 维射影变换 1、定义2、代数表示 (1)坐标表示(2).参数表示 定理216一维基本形上的一个变换为射影变换兮其对应元素 的参数λ满足一个双线性方程 ann+ +ba+ch'+d=0 (ad-bc≠0)(2.13) 证 见教材,略. <=”.设一维基本形(P)上的一个变换q使得任一对对应元素的 参数λ,'满足双线性方程(2.13)显然是一个双射,只要证保交比 设λ11(=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数则 1-3 b41+d,b13+d(ad-be)(x1-3) a1+ca3+c(a1+c)(a13+c) 同法可以求出2442-43241-4,得到 (1-x3)(2-4)(41-3)(2-A4) (2-232)(41-x4)(2-13)(41-4)

§ 2.4 一维射影变换 一、一维射影变换 1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a'+b +c'+d = 0 (ad −bc  0) (2.13) 证 “=>”. 见教材, 略. “<=”. 设一维基本形(P)上的一个变换φ使得任一对对应元素的 参数λ,λ' 满足双线性方程(2.13). 显然φ是一个双射,只要证φ保交比. 设λi ,λi ' (i=1,2,3,4)为任意四对对应元素的参数. 则 . ( )( ) ( )( ) ' ' 1 3 1 3 3 3 1 1 1 3 a c a c ad bc a c b d a c b d + + − − = + + + + + − =           同法可以求出λ2 '–λ4 ' , λ2 '–λ3 ' , λ1 '–λ4 ' , 得到 . ( )( ) ( )( ) ( ' ')( ' ') ( ' ')( ' ') 2 3 1 4 1 3 2 4 2 3 1 4 1 3 2 4                 − − − − = − − − −

§24一维射影变换 维射影变换 1、定义2、代数表示 (1)坐标表示(2).参数表示 定理216一维基本形上的一个变换为射影变换兮其对应元素 的参数λ满足一个双线性方程 ann+ +ba+ch'+d=0 (ad-bc≠0)(2.13) 注1、(2.13)对于线束的射影变换同样适用 注2、(2.13)对于一般射影对应适用.只要将λ,作为对应元素 对于各自基本形中取定基元素的参数因此,(2.13)可以作为一维 射影对应的参数定义

§ 2.4 一维射影变换 注1、(2.13)对于线束的射影变换同样适用. 注2、(2.13)对于一般射影对应适用. 只要将λ, λ'作为对应元素 对于各自基本形中取定基元素的参数. 因此, (2.13)可以作为一维 射影对应的参数定义. 1、定义 2、代数表示 (1). 坐标表示 (2). 参数表示 定理2.16 一维基本形上的一个变换为射影变换其对应元素 的参数λ,λ' 满足一个双线性方程 a'+b +c'+d = 0 (ad −bc  0) (2.13) 一、一维射影变换

§24一维射影变换 、一维射影变换的分类 1、分类 设有射影变换 P: ann+bn+cn'+d=o (ad-bc≠0)(2.13) 若存在∈R使a+(b+c)+d=0则称A+λB为的一个不变元素 定理217在实复射影平面上,任一个一维射影变换至少有 个不变元素.非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素. 证明.在(2.13)中,令=则有一维射影变换的不变元素方程 a2+(b+c)+d=0, (ad-bc≠0) 立刻可得结论.据此可得一维射影变换的分类: 0 相异实根 相异实不变元双曲型 △{=0→(214)有两个相同实根→(213)有两个相同实不变元称为抛物型 0 共轭虚根 共轭虚不变元椭圆型

§ 2.4 一维射影变换 二、一维射影变换的分类 1、分类 设有射影变换  : a'+b +c'+d = 0, (ad −bc  0) (2.13) 若存在 , 0 R 使 ( ) 0, 0 2 a0 + b + c  + d = 则称A+λ0B为φ的一个不变元素. 定理2.17 在实复射影平面上, 任一个一维射影变换至少有一 个不变元素. 非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素. 证明. 在(2.13)中, 令λ=λ'. 则有一维射影变换的不变元素方程 ( ) 0, ( 0) (2.14) 2 a + b + c  + d = ad −bc  立刻可得结论. 据此可得一维射影变换的分类： 0 0 (2.14) (2.13) 0    =       相异实根 相异实不变元 有两个相同实根 有两个相同实不变元称为 共轭虚根 共轭虚 双曲型 抛 不变元 物型 椭圆型

§24一维射影变换 一维射影变换的分类 、分类2、性质 (1)双曲型、椭圆型射影变换 定理2.18对于双曲、椭圆型射影变换,任一对相异的对应元素 与两个不变元素的交比为定值,称为双曲、椭圆型射影变换的特征 不变量 证明.设X,Y为两个不变元素,PP为任一对相异的对应元素.设 X,Y,P,P的坐标依次为x,y,x+y,x+py.则这四点的参数依次为0,∞, ,.于是 0→ b+cu 0→ 从而,(XY,PP)= C 常数 b

§ 2.4 一维射影变换 二、一维射影变换的分类 1、分类 2、性质 (1). 双曲型、椭圆型射影变换 定理2.18 对于双曲、椭圆型射影变换, 任一对相异的对应元素 与两个不变元素的交比为定值, 称为双曲、椭圆型射影变换的特征 不变量. 证明. 设X, Y为两个不变元素, P≠P'为任一对相异的对应元素. 设 X, Y, P, P'的坐标依次为x, y, x+y, x+μy. 则这四点的参数依次为0, ∞, 1, μ. 于是 00a'+b +c'+d = 0d = 0. 0 0. ' 1 1 ' 1     a + b + c + d =  a =    1 0 . c b    b + c =   = − 从而, . 1 ( , ') = = − = 常数 b c XY PP 

§24一维射影变换 一维射影变换的分类 、分类2、性质 (1)双曲型、椭圆型射影变换 定理2.18对于双曲、椭圆型射影变换,任一对相异的对应元素 与两个不变元素的交比为定值,称为双曲、椭圆型射影变换的特征 不变量 (2)抛物型射影变换 定理2.19抛物型射影变换的不变元参数α与任一对相异的对应 元素的参数λ,满足 k(常数) d-a 2'-a 证明略(见教材)

§ 2.4 一维射影变换 二、一维射影变换的分类 (2). 抛物型射影变换 定理2.19 抛物型射影变换的不变元参数α与任一对相异的对应 元素的参数λ, λ'满足 ( ). ' 1 1 = k 常数 − −  −   证明. 略(见教材). 1、分类 2、性质 (1). 双曲型、椭圆型射影变换 定理2.18 对于双曲、椭圆型射影变换, 任一对相异的对应元素 与两个不变元素的交比为定值, 称为双曲、椭圆型射影变换的特征 不变量

§24一维射影变换 例1.设41A243为坐标三点形,O(1,1,1)A2O×A143=A,P是A243 上的动点,PO×A142=Q,QAA243=P若PP的齐次坐标分别为 (0,3,1),(0,1)求(P)到(P)的射影变换的方程和不变元素 解显然,P=A3+2P=A3+12,所以,只要 求出λ,的关系式 4(010)40:x-x2=0=4101 O(1,1,1) P(O.2),O()1→PO:(-1)x1-x2+x3=0 P(0,,1.4(1,0)→PA:2x1+x2-x3=0 Q PO 1-2-1 PA共点于Q分x1-1=0变换式:2=1=0 A211=0令A=2不变元方程:=0→A=不变元为4 00

§ 2.4 一维射影变换 例1. 设A1A2A3为坐标三点形, O(1, 1, 1). A2O×A1A3 =A, P是A2A3 上的动点, PO×A1A2 =Q, QA×A2A3 =P'. 若P, P'的齐次坐标分别为 (0,λ,1), (0,λ',1). 求(P)到(P')的射影变换的方程和不变元素. 解. 显然, P=A3+λA2 , P'=A3+λ'A2 . 所以, 只要 求出λ, λ'的关系式. (1,1,1) (0,1,0) 2 O A  A2 O：x1 − x3 = 0  A(1,0,1). P(0,,1),O(1,1,1)  :(1 ) 0. PO − x1 − x2 + x3 = P'(0,' ,1), A(1,0,1)  ' : ' ' 0. P A  x1 + x2 − x3 = Q A A P A PO 共点于 1 2 '  0 0 0 1 ' 1 ' 1 1 − = − −      变换式： − '−1= 0.  0 ' 1 1 ' 1 − − =    令 = ' 0 1 2 =  不变元方程：  , .  =  不变元为A2

(如图)§24一维射影变换 例2没设P,P,Q,Q点列P)上射影变换的两对对应点E是不 变点,V,V是过E的直线上任意两点 PVXPV=P",Q×QvQ 求证:PQ"X=F为另一个不变点 证明设PQ"×=F则有 (P,PE,F)ATO,VE, F) (V,E,F1(Q,。E,F) M,1(P, PE,F)N1(0,QE, F) 于是,(PP,EF)=(QQ,EF)从而E,F为两个不变点 另法.由作图,有 (P, O,E,F)((p O", F,F)X(,O,E,F) 所以,E,F为两个不变点 2003级期中试题:已知点列上非抛物型射影变换@的两对相 异的对应点及其一个不变点,求作@的另一个不变点

§ 2.4 一维射影变换 例2. 设P, P', Q, Q'为点列l(P)上射影变换的两对对应点, E是不 变点, V, V'是过E的直线l'上任意两点. PV×P'V'=P'', QV×Q'V'=Q''. 求证：P''Q''×l=F为另一个不变点. 证明. 设P''Q''×l'=F'. 则有 l(P,P'E,F) (P'') l'(V,V 'E, F') l'(V,V 'E, F') (Q'') l(Q,Q'E, F) 从而, l(P,P'E,F) l(Q,Q'E, F) 于是, (PP', EF)=(QQ', EF). 从而E, F为两个不变点. 另法. 由作图, 有 (P,Q, E, F) (V) (P'' ,Q'' ,F' ,F) (V') (P' ,Q' , E, F) 所以, E, F为两个不变点. (如图) 2003级期中试题：已知点列上非抛物型射影变换φ的两对相 异的对应点及其一个不变点, 求作φ的另一个不变点

§24一维射影变换 例3.2003级期中试题:已知P,P为点列P)上非抛物型射影变 换g的两对相异的对应点,E为0一个不变点,求作p的另一个不变 点F 解.作法 (1)过E任作异于的 直线m (2)在m上任取异于E 的相异二点V, (3)连结PV,P交于点P (4)连结QV,Q"交于点Q (5)连结PQ交点于F为所求 证明.见上例

§ 2.4 一维射影变换 例3. 2003级期中试题：已知P, P'为点列l(P)上非抛物型射影变 换φ的两对相异的对应点， E为φ一个不变点, 求作φ的另一个不变 点F. 解. 作法 (1). 过E任作异于l的 直线m. (2). 在m上任取异于E 的相异二点V, V'. (3). 连结PV, P'V'交于点P''. (4). 连结QV, Q'V'交于点Q''. (5). 连结P''Q''交l于点于F为所求. 证明. 见上例

§24一维射影变换 例4设点列(P)上射影变换为抛物型的,E是不变点,P,P为 对相异的对应点当把P看成第一点列的点时,其对应点为R.求证: (EP,PR=1 证明利用上例作图因为E是唯一不变点,所以必有PQ"×=E 考察完全四点形WP"Q",立即可得 (EP,PR)=-1 法二代数法,设E,P,P,R的参数依次为1 λ4.由抛物型射影变换的性质,有 A2,A34 P→)P 13-412-1 P→R 12-4144-x1 k.由此二式,得 2-4=2-n1+元一元1变形可得(EP,PR)=1 思考:仿照上例,设计一个作图题

§ 2.4 一维射影变换 例4. 设点列l(P)上射影变换为抛物型的, E是不变点, P, P'为一 对相异的对应点. 当把P'看成第一点列的点时, 其对应点为R. 求证： (EP', PR)=–1. 证明. 利用上例作图. 因为E是唯一不变点, 所以必有P''Q''×l=E. 考察完全四点形VV'P''Q'', 立即可得 (EP' , PR) = −1. 法二. 代数法. 设E, P', P, R的参数依次为λ1 , λ2 ,λ3 ,λ4 . 由抛物型射影变换的性质, 有 P →P': . 1 1 3 1 2 1 = k − −  −    P'→R: . 1 1 2 1 4 1 = k − −  −    由此二式，得 . 2 1 1 2 1 3 1 4 − 1 + − = − 变形可得(EP', PR)=–1. 思考：仿照上例，设计一个作图题