§4.1二次曲线的射影定义 二次曲线的代数定义 定义4.1坐标满足 定义4.1坐标满足 S=axx,=0 T=∑ (b=b1)(4.) 的所有点(x12x2x3)的集合称为的所有直线[1,22]的集合称 条二阶曲线其中(an)为三阶为一条二级曲线其中(b)为三 实对称阵,秩(an)三1 阶实对称阵,秩(b)三1 代数:S=0,7=0实三元二次型全体零点的集合 几何:S=0,点的集合(轨迹),二阶曲线;7=0,直线的集合(包络 二级曲线对同一几何对象的不同表达 统称:二次曲线
一、二次曲线的代数定义 § 4.1 二次曲线的射影定义 定义4.1 坐标满足 = = = 3 , 1 0 ( ) (4.1) i j i j i j ai j aj i S a x x 的所有点(x1 , x2 , x3 )的集合称为 一条二阶曲线. 其中(aij)为三阶 实对称阵, 秩(aij)≧1. 定义4.1' 坐标满足 = = = 3 , 1 0 ( ) (4.1') i j T bi jui uj bi j bj i 的所有直线[u1 , u2 , u3 ]的集合称 为一条二级曲线. 其中(bij)为三 阶实对称阵, 秩(bij)≧1. 代数：S=0, T=0实三元二次型全体零点的集合. 几何：S=0, 点的集合(轨迹), 二阶曲线; T=0, 直线的集合(包络), 二级曲线. 对同一几何对象的不同表达. 统称：二次曲线
§4.1二次曲线的射影定义 次曲线的几何结构 定理4.1不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成 条经过此二线束束心的二阶曲线r 即:O(p)xO()T={P=pxpp∈O(p),p∈O(p)} 若A+AB<→A+B:a'+b+cx+d=0(ad-bc≠0) 则r的方程为aAA+dBB-bAB-cA'B=0
二、二次曲线的几何结构 § 4.1 二次曲线的射影定义 定理4.1 不同心的两个射影线束的对应直线交点的全体构成一 条经过此二线束束心的二阶曲线. 即：O(p) O'(p') ={P = p p'| pO( p), p'O'( p')}. 若A+B↔A'+'B'： a b c d ad bc ' ' 0 ( 0) + + + = − 则的方程为 aAA dBB bAB cA B ' ' ' ' 0. + − − =
§4.1二次曲线的射影定义 、二次曲线的几何结构 定理42设二阶曲线r由射影线束O(P)与O(P生成则在r上 任意取定相异二点A,B,与上的动点M连线可得两个射影线束 A(M) B(M) 注:由本定理,一旦二阶曲线T由两个射影线束生成,则其上点 的地位平等任意取定r上相异二点为束心与r上的点连线则得到 两个也生成此r的射影线束
§ 4.1 二次曲线的射影定义 注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成, 则其上点 的地位平等,任意取定上相异二点为束心与上的点连线则得到 两个也生成此的射影线束. 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P)生成. 则在上 任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 A(M ) B(M ). 二、二次曲线的几何结构
§4.1二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 定理42设二阶曲线r由射影线束O(P)与O(P生成则在r上 任意取定相异二点A,B,与上的动点M连线可得两个射影线束 A(M)入B(M) 证明设I由OP)xO(P)生成A(M)xB(M AM×OP=K 设 4(M)元Q(K)>只要证(2 BM×OP=KB(M)xOP(K") OP(K)xOP(K").设 O' BM=A,OB×AM=B O(P)NO(P): O(A, B, P, M)O(A, B, P, M) 分别以AM,BM截得AM(AB,K,M)BM(A,B,K,M)注意到 M<>M, .AM(A, B, K,MA BM(A, B,K, M 从而对应点的连线共点,即AA,BB,KK共点于S但是S= O AxOB 为定点,故当M变动时,KK经过定点S.即OP(K)OP(K)
二、二次曲线的几何结构 § 4.1 二次曲线的射影定义 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P)生成. 则在上 任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 A(M ) B(M ). 证明. 设由O(P) O'(P)生成. A(M ) B(M ) 设 = = BM O'P K' AM OP K A(M ) OP(K) B(M ) O'P(K') 只要证 OP(K) O'P(K'). 设 O' A BM = A' ,OB AM = B'. O(P) O'(P), O(A,B,P,M) O'(A,B,P,M). 分别以AM, BM截, 得 注意到 M M , AM(A,B' ,K,M) BM (A' ,B,K' ,M). AM(A,B' ,K,M) BM (A' ,B,K' ,M). 从而对应点的连线共点, 即AA', BB', KK'共点于S.但是 S = O' AOB 为定点, 故当M变动时, KK'经过定点S. 即 OP(K) O'P(K')
§4.1二次曲线的射影定义 二、二次曲线的几何结构 定理42设二阶曲线r由射影线束O(P)与O(P)生成则在上 任意取定相异二点A,B,与上的动点M连线可得两个射影线束 A(M) B(M) 推论41平面上五点(其中 推论41平面上五直线(其 无三点共线)唯一确定一条非中无三线共点唯一确定一条 退化二阶曲线 非退化二级曲线 推论42任一二阶曲线可 推论42任一二级曲线可 由两个射影线束生成 由两个射影点列生成 推论4.3二阶曲线上四个 推论43二级曲线上四条 定点与其上任意一点连线所得定直线被其上任意一条直线所 四直线的交比为定值 截得四点的交比为定值 注:推论4.3对于解析几何中的各种二次曲线都适用
二、二次曲线的几何结构 § 4.1 二次曲线的射影定义 定理4.2 设二阶曲线由射影线束O(P)与O'(P')生成. 则在上 任意取定相异二点A,B, 与上的动点M连线可得两个射影线束 推论4.1 平面上五点(其中 无三点共线)唯一确定一条非 退化二阶曲线. 推论4.1' 平面上五直线(其 中无三线共点)唯一确定一条 非退化二级曲线. 推论4.2 任一二阶曲线可 由两个射影线束生成. 推论4.2' 任一二级曲线可 由两个射影点列生成. 推论4.3 二阶曲线上四个 定点与其上任意一点连线所得 四直线的交比为定值. 推论4.3' 二级曲线上四条 定直线被其上任意一条直线所 截得四点的交比为定值. 注：推论4.3对于解析几何中的各种二次曲线都适用. A(M ) B(M )
§4.1二次曲线的射影定义 三、二次曲线的射影定义 由上述的两个定理及其推论,我们有 定义43在射影平面上,称 定义43在射影平面上,称 两个射影线束对应直线交点的两个射影点列对应点连线的集 集合为一条二阶曲线 合为一条二级曲线 思考:试研究本定义是如何包含退化二次曲线的 提示:考虑透视对应、射影变换的情况 注请自学教材例42,并与§2.3(P67)习题6,7比较
§ 4.1 二次曲线的射影定义 三、二次曲线的射影定义 由上述的两个定理及其推论, 我们有 定义4.3 在射影平面上, 称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线. 定义4.3' 在射影平面上, 称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线. 思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的. 提示：考虑透视对应、射影变换的情况. 注 请自学教材例4.2, 并与§2.3(P.67)习题6, 7比较
§4.1二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 本部分总假定:所论二次曲线为非退化的 1.定义 定义44与二阶曲线交于两个重合的点的直线称为的切线 相异的实切线 般地,点P在上→过P有的两条重合的实切线 内 共轭的虚切线
§ 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 本部分总假定：所论二次曲线为非退化的. 1. 定义 定义4.4 与二阶曲线交于两个重合的点的直线称为的切线. 共轭的虚切线 重合的实切线 相异的实切线 过 有 的两条 内 上 外 一般地,点P在 P
§4.1二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 问题:已知二阶曲线 :S=∑axx=0(an=an) 求过定点P(p)的r的切线方程 设Qq为平面上任一点则直线PQ上任一点可表为xp2+1qn PQ为的切线兮Q为的过P的切线上的点分PQ交于两个重 合的点将x=p+q代入:S=0后只有一个解代入得 ∑a(p+4)P,+1)=0 即 ∑a(PD+9+1p+2gg)=0 即2∑991+∑qn9+2a19p1)+∑a1PP1=0
§ 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 问题：已知二阶曲线 : 0 ( ) (1) 3 , 1 i j j i i j S ai jxi xj = a = a = 求过定点P(pi )的的切线方程. 设Q(qi )为平面上任一点. 则直线PQ上任一点可表为xi =pi+qi . PQ为的切线Q为的过P的切线上的点 PQ交于两个重 合的点将xi =pi+qi代入 ：S=0后只有一个解. 代入得 aij( pi +qi )( pj +qj ) = 0 即 ( + + + ) = 0 2 ai j pi pj pi qj qi pj qi qj 即 ( ) 0 (2) 2 ai jqi qj + ai j pi qj +ai jqi pj +ai j pi pj =
§4.1二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 ∑aq91+C∑a1pq+∑a9D)+∑aPP1=0(2) 为简便计,引入记号 Sm2=∑ dipp ai gi g ∠a1Pq1 ∠a,91P ∑ ∵a.=a..∴.S=S qp 以上述记号代入,(2)式可写为 Sx2+2S2+S=0
§ 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 ( ) 0 (2) 2 ai jqi qj + ai j pi qj +ai jqi pj +ai j pi pj = 为简便计, 引入记号 Spp =aij pi pj Sqq =aijqi qj Spq =aij pi qj Sqp =aijqi pj p = ij i j S a p x q = ij i j S a q x , . aij = aji Spq = Sqp 以上述记号代入，(2)式可写为 2 0 (3) 2 Sqq + Spq + Spp =
§4.1二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 S2+2S2+S=0 pp 从而,Q(q)在过P(p)的切线上分(3)对有二重根分A=0 q9 pp (4)式即为Qq)是过P(p)的切线上的点的充要条件习惯地,将其 中的流动坐标q换为x,得到二阶曲线过点P(p)的切线方程为 5 (5)式为一个二次方程,故经过平面上一点P一般有两条切线.如果 P在T上,则Sn=0,从而,二阶曲线上一点P处的切线方程为 (6)
§ 4.1 二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线 2、切线的方程 2 0 (3) 2 Sqq + Spq + Spp = 从而, Q(qi )在过P(pi )的切线上(3)对有二重根=0 (4) 2 Spq = SqqSpp (4)式即为Q(qi )是过P(pi )的切线上的点的充要条件. 习惯地, 将其 中的流动坐标qi换为xi , 得到二阶曲线过点P(pi )的切线方程为 (5) 2 Sp = SppS (5)式为一个二次方程, 故经过平面上一点P一般有两条切线. 如果 P在上, 则Spp=0, 从而, 二阶曲线上一点P处的切线方程为 = 0 (6) Sp