试卷号:GJ.0312 南京师范大学考试试卷 《高等几何》,2003级期末考试,2006年1月9日 参考标准答案 题号 二三四五六七总分 得分2051616121516100 一、多种选择题(把代表正确答案的字母圈起来,每小题4分,共20分) 1.对于三角形ABC,下述概念哪些是仿射不变的? A.重心;B.旁心;C.两边中点的连线;D.内心 (ABOD) 2.下列说法是正确的 A.设为非退化二阶曲线,则有无数个自极三点形; B.若一个三点形的某一顶点在二阶曲线r上,则此三点形必不是r的自极 三点形; C.交于相异四点的两条非退化二阶曲线和r必有公共的自极三点形; D.设abcd是二级曲线r的外切四线形,xyz是它的对顶三线形,则xyz是r 的一个自极三点形 () 3.下列点偶是关于二阶曲线x-x3-4x1x2-21x3+2x23=0的共轭点偶 A.(1,0,1)与(1,4,-1) B.(1,1,1)与(1,-5,1) C.(2,0,1)与(1,-1,1) D.(1,0,1)与(0,2,-1).(ABCD) 4.一条非退化二阶曲线为无心曲线的依据是 A.A33=0 B.r与l相切; C.没有中心; D.r的中心为无穷远点(C) 5.判断一条非退化二阶曲线r是否为有心二阶曲线的依据是 A.A33是否非零; B.的任意一对共轭直径是否相互垂直; C.是否具有渐近线; .与l是否不相切 (④B) 二、判断题(正确则圈上字母Y,否则圈字母N,每小题1分,共5分 1.两射影线束x1-Ax3=0,x2-x3=0(μ=1)生成的二阶曲线方程为 x1x3+x2x3-x2=0. (Y) 2.关于任一指定二阶曲线的配极确定了以该射影平面为底的点场与线场间 的一个双射 (Y) 3.在以非退化二阶曲线的中心为束心的线束中,“直径←共轭直径”的对 应是一对合对应,其对合不变元素为两条渐近线 (N) 4.二阶曲线上四定点与其上任一点所连四直线的交比为定值(N) 5.Q是二阶曲线的奇异点的充要条件是上任一点与Q的连线上的点都 在r上 (N)
1 ✁✂✄ GJ.0312 ☎✆✝✞✟✠✡☛☛☞ ✌✍✎✏✑✒✓ 2003 ✔✕✖✗✘✓ 2006 ✙ 1 ✚ 9 ✛ ✜✢✣✤✥✦ ✧✂ ★ ✩ ✪ ✫ ✬ ✭ ✮ ✯✰ ✱✰ 20 5 16 16 12 15 16 100 ✲✳✴✵✶✷✸ (✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅✓❆❇✸ 4 ❈✓❉ 20 ❈). 1. ❊❋✪●❍ ABC, ■ ❏❑▲▼◆❖P◗❘❙❚❯ A. ❱❲❳ B. ❨❲❳ C. ❩ ❬ ❭❪❚❫❴❳ D. ❵❲❛ ( A B C D ) 2. ■ ❜❝❞❖❡❢❚❛ A. ❣ Γ ❤✐❥❦✩❧♠❴✓♥ Γ ♦♣qr s t✪❪❍❳ B. ✉ ★ r ✪❪❍❚✈★✇❪①✩❧♠❴ Γ ②✓♥③✪❪❍④❘❖ Γ ❚ s t ✪❪❍❳ C. ⑤❋⑥⑦✫❪❚ ❩ ⑧ ✐ ❥❦✩❧♠❴ Γ ⑨ Γ 0 ④ ♦⑩❶❚ s t✪❪❍❳ D. ❣ abcd ❖✩❷ ♠❴ Γ ❚❸❹✫❴❍✓ xyz ❖❺❚❊ ✇✪❴❍✓♥ xyz ❖ Γ ❚★r s t✪❪❍❛ ( A B C D ) 3. ■ ❜❪❻❖❼❋ ✩❧♠❴ x 2 1 − x 2 3 − 4x1x2 − 2x1x3 + 2x2x3 = 0 ❚ ❶❽❪❻❛ A. (1, 0, 1) ❾ (1, 4, −1); B. (1, 1, 1) ❾ (1, −5, 1); C. (2, 0, 1) ❾ (1, −1, 1); D. (1, 0, 1) ❾ (0, 2, −1). ( A B C D ) 4. ★⑧ ✐ ❥❦✩❧♠❴ Γ ❤♣❲ ♠❴❚❿➀❖ A. A33 = 0 ❳ C. Γ ➁♦ ❭❲❳ B. Γ ❾ l∞ ⑥ ❹❳ D. Γ ❚❭❲ ❤♣➂➃❪❛ ( A B C D ) 5. ➄➅★⑧ ✐ ❥❦✩❧♠❴ Γ ❖➆❤♦❲✩❧♠❴❚❿➀❖ A. A33 ❖➆✐ ➇❳ C. Γ ❖➆➈♦➉➊❴❳ B. Γ ❚➋➌★ ❊❶❽➍➎❖➆⑥➏➐➍❳ D. Γ ❾ l∞ ❖➆❘⑥ ❹❛ ( A B C D ) ➑✳➒➓✸ (✼✽➔❃→ ❁❂ Y ✓➣➔❃❁❂ N, ❆❇✸ 1 ❈✓❉ 5 ❈). 1. ❩ ◗↔❴↕ x1 − λx3 = 0, x2 − µx3 = 0 (λ + µ = 1) ➙ ➛❚✩❧♠❴➜➝❤ x1x3 + x2x3 − x 2 1 = 0. ( Y N ) 2. ❼ ❋ ➋★➞➟✩❧♠❴❚➠t❢➟ ➡➢➤◗↔➥➦❤➧ ❚❪➨ ❾ ❴➨ ➩ ❚★r➫◗❛ ( Y N ) 3. ① ➢ ✐ ❥❦✩❧♠❴❚❭❲ ❤ ↕❲❚❴↕ ❭✓ “➍➎ ←→ ❶❽➍➎” ❚ ❊ ➭❖★❊➯❊➭✓➲❊➯❘❙➳➵❤❩⑧ ➉➊❴❛ ( Y N ) 4. ✩❧♠❴ ② ✫➟❪ ❾➲ ② ➋★❪➸❫✫ ➍ ❴❚ ⑤➺❤ ➟➻❛ ( Y N ) 5. Q ❖✩❧♠❴ Γ ❚➼ ⑦ ❪❚➽➾⑧➚❖ Γ ② ➋★❪ ❾ Q ❚❫❴② ❚❪➪ ① Γ ②❛ ( Y N )
基本题(每小题8分,共16分) 1.已知二阶曲线r:n1x2-a2a3=0(a≠0 (1).证明r为双曲线 (2).求r的中心 (3).求r的渐近线方程 解(1).r的矩阵为 因为a≠0,所以r的矩阵为非异矩阵,从而r为非退化二阶曲线 因为A3=-<0,所以为双曲线 (2).r的中心为(0,0,1). (3).利用中心和渐近方向,容易求出两条渐近线的方程分别为x1=0与x=0 注:(1).(3),3分;(2),2分 2.已知二级曲线r:2+v2-2u1+4u13+4243=0 (1).求直线l[1,4,0关于r的极点方程 (2).求点P(1,-1,1)关于r的极线坐标 解(1).直线[1,4,0关于I的极点方程为T=0,即 (1,4.0)-112 220 即u1-2-2u3=0 (2).点、P(1,-1,1)关于r的极线坐标为 解之,得[1,-1,0 注:每小题各4分
2 ➶ ➹➘➴➷ (➬➮➷ 8 ➱✃❐ 16 ➱). 1. ❒ ❮❰ÏÐÑ Γ : x1x2 − a 2x 2 3 = 0 (a 6= 0). (1). ÒÓ Γ ÔÕ ÐÑ Ö (2). × Γ ØÙÚÖ (3). × Γ Ø ÛÜÑÝÞß à (1). Γ á âãä 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 −a 2 . åä a 6= 0, æç Γ á âãäèéâã✃êë Γ äèìíîïðñß åä A33 = − 1 4 < 0, æç Γ äòðñß (2). Γ áóôä (0, 0, 1). (3). õöóô÷øùúû✃ üýþ ÿ✁øùñ áú✂✄☎ä x1 = 0 ✆x2 = 0. ✝✞ (1),(3), 3 ✄Ö (2), 2 ✄ß 2. ❒ ❮❰✟ ÐÑ Γ : u 2 1 + u 2 2 − 2u1u1 + 4u1u3 + 4u2u3 = 0. (1). × ✠Ñ l[1, 4, 0] ✡☛ Γ Ø ☞✌ÝÞß (2). × ✌ P(1, −1, 1) ✡☛ Γ Ø ☞Ñ✍✎ß à (1). ✏ ñ l[1, 4, 0] ✑✒ Γ á✓✔ú✂ä Tl = 0, ✕ (1, 4, 0) 1 −1 2 −1 1 2 2 2 0 u1 u2 u3 = 0 ✕ u1 − u2 − 2u3 = 0. (2). ✔ P(1, −1, 1) ✑✒ Γ á✓ñ✖✗ä 1 −1 2 −1 1 2 2 2 0 u1 u2 u3 = 1 −1 1 ✘✙✃✚ [1, −1, 0]. ✝✞✛✜✢✣ 4 ✄ß
四、证明题(16分).设A为圆外一点,AP,AQ为圆的切线,第三条切线交 APAQ于E,F,且交切点弦PQ于H,第三条切线的切点为G.求证:(EF,GH)=-1 证法一如上左图,连结AG交PQ于B(2分)因为A为PQ的极点、(3分),G 为EF的极点、(3分),所以AG为H= PQ X EF的极线(3分).因此(PQ,BH)=-1(2 分),于是有A(PQ,BH)=(EF,GH)=-1(3分) 证法二如上右图,注意到三点形AEF外切于圆,据 Brianchon定理的极限 情况,有PF,QE,AG三线共点于B(6分).连结QG交PA于R(4分),考察完全四 点形AEBF立刻可得(EA,RP)=-1(3分).于是Q(EA,RP)=(EF,GH)=-1(3分 五、证明题(12分).设 ABC DEF是一条二次曲线的内接六点形,且 ABXCD P, CD X EF=Q, DE X AF=L, AF X BC= M, BC X DE= N, EF X AB=R. 求证:PL,MQ,RN共点 R 证明因为六点形 ABCDEF内接二次曲线,据 Pascal定理有 AB X DE=X,BC×EF=Y,DC×FA=Z, 三点共线(5分),即三点形PQR与LMN的对应边的交点共线(2分,据 Desargues 定理,其三双对应顶点的连线PL,MQ,RN必定共点、(5分)
3 ✤ ✥✦✧★ (16 ✩). ✪ A ✫✬✭✮✯✰ AP, AQ ✫✬✱✲✳✰✴✵✶✲ ✳✷ AP, AQ ✸ E, F, ✹ ✷✲✯✺P Q ✸ H, ✴✵✶✲✳✱ ✲✯ ✫ G. ✻✼✽(EF, GH) = −1. ✾✿❀ ❁❂❃❄✰❅❆ AG ❇ P Q ❈ B(2 ❉). ❊❋ A ❋ P Q ●❍■ (3 ❉), G ❋ EF ●❍■ (3 ❉), ❏❑ AG ❋ H = P Q × EF ●❍▲ (3 ❉). ❊▼ (P Q, BH) = −1(2 ❉), ❈◆❖ A(P Q, BH) = (EF, GH) = −1(3 ❉). ✾✿P ❁❂◗❄✰❘❙❚❯■❱ AEF ❲❳❈❨✰❩ Brianchon ❬❭●❍❪ ❫❴✰❖ P F, QE, AG ❯▲❵■❈ B(6 ❉). ❅❆ QG ❇ P A ❈ R(4 ❉), ❛❜❝❞❡ ■❱ AEBF ❢❣❤✐ (EA, RP) = −1(3 ❉). ❈◆ Q(EA, RP) = (EF, GH) = −1(3 ❉). ❥ ✥✦✧★ (12 ✩). ✪ ABCDEF ❦ ✮ ✶❧♠ ♥✳ ✱♦♣q✯r ✰✹ AB×CD = P, CD × EF = Q, DE × AF = L, AF × BC = M, BC × DE = N, EF × AB = R. ✻✼✽ P L, MQ, RN s ✯ t ✾✉ ❊❋✈■❱ ABCDEF ✇ ①②③④▲ ✰❩ Pascal ❬❭❖ AB × DE = X, BC × EF = Y, DC × F A = Z, ❯■❵▲ (5 ❉), ⑤❯■❱ P QR ⑥ LMN ● ⑦⑧⑨●❇■❵▲ (2 ❉), ❩ Desargues ❬❭✰⑩❯❶⑦⑧❷■ ● ❅▲ P L, MQ, RN ❸❬❵■ (5 ❉)
六、作图题(15分).如图,已知直线l与非退化二阶曲线r交于两点X,Y.求 作:直线l为底的点列上以X,Y为两个不变点的对合的任意两对相异的对应点 解法一作法(1).在l上取 异于X,Y的一点T,过T作异于l 且不与I相切的直线l交I于点 A.B. (2).连AYBX交于点C,连 AX,BY交于点D (3).连结CD交I于E,F,交 l于S. (4).在r上取异于已知点的 点R (5).连结RF交l于P;连结 RE交l于Q 则S,T;P,Q为所求对合对应 点对 证明由作法(1)、(2),(3)可知,完全四点形AXYB内接于I,所以其对边三点 形CDT为r的一个自极三点形,于是CD为T关于r的极线,从而有 (ST,XY)=-1 于是F(ST,XY)=-1.注意到E,F为CD与r的交点,所以TE,TF与r相切于 E,F.因此有F(ST,XY)=F(EF,XY)=-1,由此又有R(EF1XY)=-1,于是 (PQ, XY= 由此断定S,T;P,Q是点列l上以X,Y为不变点的对合的两对对应点 解法二作法(1).在l上取异于X,Y的一点T,过T作异于l且不与I相切 的直线交I于点A,B (2).连AY,BX交于点C,连AX,BY交于点D. (3).连结CD交1于S (4).在1上取异于X,Y,ST的一点、P,过P作异于l且不与r相切的直线 交I于点A′,B (5).连A'Y,B'X交于点C",连AX,B'Y交于点D (6).连结C"D交l于Q 则S,T;P,Q为所求对合对应点对
4 ❹❺❻❼❽ (15 ❾). ❿ ➀➁➂➃➄➅ l ➆➇➈➉➊➋➌➅ Γ ➍➎➏➐ X, Y . ➑ ➒➓➄➅ l ➔→➣➐↔↕ ➙ X, Y ➔➏➛➜➝➐➣➞➟➣ ➠➡➏ ➞➢➤➣ ➞➥➐➦ ➧➨➩ ❻➫ (1). ➭ l ➯➲ ➳➵ X, Y ➸➺➻ T , ➼ T ➽ ➳➵ l ➾➚➪ Γ ➶➹➸➘➴ l 0 ➷ Γ ➵➻ A, B. (2). ➬ AY, BX ➷➵➻ C, ➬ AX, BY ➷➵➻ D. (3). ➬➮ CD ➷ Γ ➵ E, F, ➷ l ➵ S. (4). ➭ Γ ➯➲➳➵ ➱✃➻ ➸ ➺➻ R. (5). ➬➮ RF ➷ l ➵ P; ➬➮ RE ➷ l ➵ Q. ❐ S, T ; P, Q ❒❮❰ÏÐÏÑ ➻Ï➦ ÒÓ Ô ➽Õ (1),(2),(3) Ö✃ ➁×ØÙ➻Ú AXY B Û Ü➵ Γ, ❮ÝÞ Ïßà➻ Ú CDT ❒ Γ ➸➺á âã à➻Ú➁➵ä CD ❒ T å ➵ Γ ➸ã➴ ➁æçè (ST, XY ) = −1. ➵ä F(ST, XY ) = −1. éêë E, F ❒ CD ➪ Γ ➸➷➻➁❮Ý T E, T F ➪ Γ ➶➹➵ E, F. ìí è F(ST, XY ) = F(EF, XY ) = −1, Ôíîè R(EF, XY ) = −1, ➵ä (P Q, XY ) = −1. Ôíïð S, T ; P, Q ä➻ñ l ➯Ý X, Y ❒➚ò➻➸ÏÐ➸óÏÏÑ➻➦ ➧➨ô ❻➫ (1). ➭ l ➯➲➳➵ X, Y ➸➺➻ T , ➼ T ➽ ➳➵ l ➾➚➪ Γ ➶➹ ➸ ➘➴ l 0 ➷ Γ ➵➻ A, B. (2). ➬ AY, BX ➷➵➻ C, ➬ AX, BY ➷➵➻ D. (3). ➬➮ CD ➷ l ➵ S. (4). ➭ l ➯➲➳➵ X, Y, S, T ➸➺➻ P, ➼ P ➽ ➳➵ l ➾➚➪ Γ ➶➹➸➘➴ l 00 ➷ Γ ➵➻ A0 , B0 . (5). ➬ A0Y, B0X ➷➵➻ C 0 , ➬ A0X, B0Y ➷➵➻ D0 . (6). ➬➮ C 0D0 ➷ l ➵ Q. ❐ S, T ; P, Q ❒❮❰ÏÐÏÑ➻Ï➦
证明由作法(1)(2,(3)可 完全四点形AXYB内接于I, 所以其对边三点形CDT为T的 个自极三点形,于是CD为T关 于I的极线,从而有 (ST,XY)=-1 p xt 再由作法(4)、5)、6)可知,完全四 点形AXYB′内接于I,所以其对 边三点形C"DP为r的一个自极 三点形,于是C"D为P关于r的 极线,从而有 由此断定S,T;P,Q是点列1上以X,Y为不变点的对合的两对对应点 解法三作法(1)过X,Y各作异于1的两条直线,设其两两交点A,B,C, 如图 (2).连结AC,BD分别交l于S,T (3).过XY各作异于l且异于(1)的两条直线,设其两两交点、A',B',C,D'如 (4).连结AC,BD分别交l 于Q,P. 则S,T;P,Q为所求对合对应 点对 证明由作法(1)、2),ABCD 为一个完全四点形,X,Y为其对 边点,所以有 (ST,XY)=-1 由作法(3),(4,AB'C"D为一 个完全四点形,X,Y为其对边 点,所以有 (PQ,XY)=-1 由此断定S,T;P,Q是点列l上以 X,Y为不变点的对合的两对对应 注:作法、画图、证明各5分
5 õ ö ÷ø ù (1),(2),(3) ú ûüýþÿ✁ AXY B ✂ ✄☎ Γ, ✆✝✞✟✠✡✁ CDT ☛ Γ ☞✌ ✍ ✎✏✡✁ü☎✑ CD ☛ T ✒ ☎ Γ ☞✏✓ü✔✕✖ (ST, XY ) = −1. ✗÷øù (4),(5),(6) úûüýþÿ ✁ A0XY B0 ✂ ✄☎ Γ, ✆✝✞✟ ✠✡✁ C 0D0P ☛ Γ ☞✌✍ ✎✏ ✡✁ü☎✑ C 0D0 ☛ P ✒ ☎ Γ ☞ ✏✓ü✔✕✖ (P Q, XY ) = −1. ÷✘✙✚ S, T ; P, Q ✑✛ l ✜ ✝ X, Y ☛✢✣ ☞ ✟✤☞✥✟✟✦✧ ★✩✪ ✫✬ (1). ✭ X, Y ✮ ø✯☎ l ☞✥✰✱✓ü✲✞ ✥✥✳ A, B, C, D ✴✵✧ (2). ✶✷ AC, BD ✸✹✳ l ☎ S, T . (3). ✭ X, Y ✮ ø✯☎ l ✺ ✯☎ (1) ☞✥✰✱✓ü✲✞ ✥✥✳ A0 , B0 , C0 , D0 ✴ ✵✧ (4). ✶✷ A0C 0 , B0D0 ✸✹✳ l ☎ Q, P. ✻ S, T ; P, Q ☛ ✆✼✟✤✟✦ ✟✧ õ ö ÷øù (1),(2), ABCD ☛✌✍ýþÿ✁ü X, Y ☛ ✞✟ ✠ü✆✝✖ (ST, XY ) = −1. ÷øù (3),(4), A0B0C 0D0 ☛✌ ✍ ýþÿ✁ü X, Y ☛ ✞✟✠ ü✆✝✖ (P Q, XY ) = −1. ÷✘✙✚ S, T ; P, Q ✑✛ l ✜ ✝ X, Y ☛✢✣ ☞ ✟✤ ☞✥✟✟✦ ✧ ✽✾øù✿❀✵✿❁❂✮ 5 ✸ ✧
七、计算题(16分求二维射影变换m=-1+2+x3的不变元素 解题给射影变换矩阵的特征方程为 1-入1 12-入 入 即 (1-)(1+A)(2-入)=0 于是特征根为A1=1,A2=-1,A3=2 题给射影变换的不变点方程组为 r1+(2-x2+x3=0 将A1=1代入(I),得 2x3=0 解之,得不变点坐标为(3,2,1) 将A2=-1代 2x1+x2-2x3=0 r1+3x2+x3=0 解之,得不变点坐标为(1,0,1) 将A3=2代入(I),得 0 解之,得不变点坐标为(1,3,1). 题给射影变换的不变直线方程组为 1-入 a1+(2-)u2+3=0 +u2-(1+)u3=0
6 ❃✿❄❅❆ (16 ❇). ❈❉❊❋●❍■ ρx0 1 = x1 + x2 − 2x3 ρx0 2 = −x1 + 2x2 + x3 ρx0 3 = x2 − x3 ❏❑❍▲▼✧ ★ ◆❖P◗✣ ❘❙❚☞ ❯❱❲❳☛ 1 − λ 1 −2 −1 2 − λ 1 0 1 −1 − λ = 0. ❨ (1 − λ)(1 + λ)(2 − λ) = 0. ☎✑❯❱❩☛ λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2. ◆❖P◗✣ ❘ ☞✢✣❲❳❬☛ (1 − λ)x1 + x2 − 2x3 = 0 −x1 + (2 − λ)x2 + x3 = 0 x2 − (1 + λ)x3 = 0 (I) ❭ λ1 = 1 ❪❫ (I), ❴ x2 − 2x3 = 0 −x1 + x2 + x3 = 0 x2 − 2x3 = 0 ❵❛ü ❴✢✣❜❝☛ (3, 2, 1). ❭ λ2 = −1 ❪❫ (I), ❴ 2x1 + x2 − 2x3 = 0 −x1 + 3x2 + x3 = 0 x2 = 0 ❵❛ü ❴✢✣❜❝☛ (1, 0, 1). ❭ λ3 = 2 ❪❫ (I), ❴ −x1 + x2 − 2x3 = 0 −x1 + x3 = 0 x2 − 3x3 = 0 ❵❛ü ❴✢✣❜❝☛ (1, 3, 1). ◆❖P◗✣ ❘ ☞✢✣✱✓❲❳❬☛ (1 − λ)u1 − u2 = 0 u1 + (2 − λ)u2 + u3 = 0 −2u1 + u2 − (1 + λ)u3 = 0 (I 0 )
将A1=1代入(),得 -2u1+u2-2u3=0 解之,得不变直线坐标为[,0,-1] 将A2=-1代入(),得 0 0 解之,得不变直线坐标为[1,2,-7] 将A3=2代入(),得 l1-u2 0 解之,得不变直线坐标为[,-1,-1] 注:求出特征根,3分;列出不变点方程组,4分;列出不变直线方程组 3分;每个不变点、,每条不变直线各1分
7 ❭ λ1 = 1 ❪❫ (I 0 ), ❴ u2 = 0 u1 + u2 + u3 = 0 −2u1 + u2 − 2u3 = 0 ❵❛ü ❴✢✣✱✓❜❝☛ [1, 0, −1]. ❭ λ2 = −1 ❪❫ (I 0 ), ❴ 2u1 − u2 = 0 u1 + 3u2 + u3 = 0 −2u1 + u2 = 0 ❵❛ü ❴✢✣✱✓❜❝☛ [1, 2, −7]. ❭ λ3 = 2 ❪❫ (I 0 ), ❴ −u1 − u2 = 0 u1 + u3 = 0 −2u1 + u2 − 3u3 = 0 ❵❛ü ❴✢✣✱✓❜❝☛ [1, −1, −1]. ✽✾✼ ❞❯❱❩ü 3 ✸❡✛ ❞ ✢✣❲❳❬ü 4 ✸❡✛ ❞ ✢✣✱✓❲❳❬ü 3 ✸❡❢✍ ✢✣ü ❢✰✢✣✱✓ ✮ 1 ✸ ✧
